山西省忻州一中长治二中临汾一中康杰中学2014届高三第四次四校联考数学文Word版.doc

山西省忻州一中 长治二中 临汾一中 康杰中学2013-2014学年高三第四次四校联考数学试题（文科）A卷
命题：长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中
考试时间120分钟，满分150分
第Ⅰ卷（选择题 60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1．复数满足(为虚数单位)，则 =
A． B． C． D．
2．已知全集,集合 ，，则右图中阴影部分表示的集合为
A． B．
C． D．
3．命题“,使得”的否定是
A．“使得”
B．“使得”
C．“,使得”
D．“,使得>0”
4．设公比的等比数列的前项和为，则
A． B． C． D．

5．某一个班全体学生参加历史测试，成绩的频率分布直方图如图，则该班的平均分估计是
20
100
80
60
40
0.02
0.005
0.015
0.01
成绩/分

A．70 B．75
C．66 D．68

（第7题图）

6．将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为
A. B.
C. D.
7．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的
结果为，则判断框中应填入的条件是
A．？ 　 B．？
C．？ 　 D．？
8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

俯视图
正视图
侧视图
4
4
4
2
2
A． B．
C． D．

D
x
y
O
O
A
y
x
B
y
x
O
C
O
x
y
ｘ X
9．函数的图像大致为

10.已知双曲线以及双曲线的渐近线将第一象限三等分，则双曲线的离心率为
A． 2或 B．或
C．或 D． 2或
11．已知函数满足，关于轴对称，
当时，，则下列结论中正确的是
A． B．
C． D．
12．已知曲线与轴的交点为，分别由两点向直线作垂线，垂足为，沿直线将平面折起，使，则四面体的外接球的表面积为
A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数 则不等式的解集为 ．
14．已知实数满足约束条件，则的最小值是　　　　　　．
15．在中, +=2，||=1,点P在AM上且满足=2,
则•(+)=　　　　　　．
16．已知为数列的前项和，，且，则　　　　　　．
三、解答题（本大题共70分）
17．(本小题满分12分) 在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且满足.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，求．
18．(本小题满分12分) 太原市启动重污染天气Ⅱ级应急响应，大力发展公共交通.为了调查市民乘公交车的候车情况，交通部门从在某站台等车的60名候车乘客中随机抽取15人，按照他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成6组，如下表所示：
组别
一
二
三
四
五
六
候车时间

人数
2
5
3
2
2
1
（Ⅰ）为了线路合理设置，估计这60名乘客中候车时间不少于12分钟的人数．
（Ⅱ）若从上表第三、四组的5人中随机抽取2人做进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率.
试题类型：A

19．(本小题满分12分)
如图，在几何体中，,为线段的中点，.
（Ⅰ）求证：.
(II)求几何体的体积.

20．（本小题满分12分）
设点，动圆经过点且和直线相切．记动圆的圆心的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；
(II) 过点的直线与曲线交于、两点，且直线与轴交于点,
设，，求证：为定值.

21．（本小题满分12分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）若是的极值点，求的值；
(II) 若，恒成立，求的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22．（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲
D
E
B
A
O
C
P
如图，已知与圆相切于点，经过点的割线交圆于点,的平分线分别交于点，
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）若，求的值．

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程是圆C的极坐标方程为．
（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；
（Ⅱ）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知,
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求的取值范围．
2013-2014学年四校四联数学(文科)参考答案A
一、选择题（本大题共60分）
1-5 BACAD 5-10 CBBBD 11-12 AC
二、填空题（本大题共20分）
13或 14． 15. 16.
三、解答题（本大题共70分）
17．（Ⅰ）解：
∵cos2A+2sin2(p+B)+2cos2(+C)-1=2sinBsinC
∴sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC …………2分
由正弦定理得b2+c2-a2=bc,
由余弦定理得cosA= …………4分
∵0<A<p, A= …………6分
（Ⅱ）∵a2= b2+c2-2bccosA=16+25-2×4×5×=21,∵a=
由=，得sinB= …………12分
18．解：（Ⅰ）从60名候车乘客中随机抽取15人，每人被抽到的概率为，
则60名乘客中候车时间不少于12分钟的人数为3¸=12人。 ……………4分。
（Ⅱ）记第三组的3个人为,第四组的2个人为，则从这五个人中随机抽取2人的基本事件，，，，，，， 共10种， ……7分
设事件”从五个人中随机抽取2人,这两个人恰好来自不同组”为事件,包含六个基本事件：，，，，……10分
则抽到的2人恰好来自不同组的概率 ……12分

19．解：（Ⅰ）

…………3分
…………4分
…………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知……8分
……12分
20．（Ｉ）解：设动圆圆心，由抛物线定义得：点轨迹是以为焦
点以为准线的抛物线，方程为　　 4分
（Ⅱ）设直线的方程为：，
联立方程可得得: ①
设，，，
则， ② …………8分
由，得，
， ………10分
即得：，，
则
代入得，故为定值且定值为 ……12分
21．解：（Ｉ） ……2分，
因为是的极值点，所以 ……3分，
解得 ……4分，
（Ⅱ）依题意，
……5分
时，恒成立 ……6分
且时，由
得 ……7分
设，， ……8分，
当时，当时
所以， ……10分
所以，当且时，，从而 ……11分，
综上所述，的取值范围为 ……12分．
22．解：（Ｉ）∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C
又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE.
∵∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE.
∴∠ADE=∠AED ……………5分
（Ⅱ）由(1)知∠BAP=∠C,又∠APC=∠BPA,∴DAPC∽DBPA,=,
∵AC=AP, ∠BAP=∠C=∠APC,
由三角形的内角和定理知：∠C+∠APC+∠PAC=180º,
∵BC是圆O的直径,∴∠BAC=90º,∴∠C+∠APC+∠BAP=90º,
∴∠C=∠APC=∠BAP=30º,
在RtDABC中, =,∴= ……………10分
23．解：（Ｉ）∵ρ=2cos(θ+)
∴ρ= cosθ-sinθ,∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ …………(2分)
∴圆C的直角坐标方程为x2+y2-x+y=0 …………(3分)
∴圆心C的直角坐标为(,- ) …………(5分)
（Ⅱ）法一： 由直线上的点向圆C引切线长为
==≥2,
∴直线上的点向圆C引切线长的最小值为2 …………（10分）
法二：直线l的普通方程为x-y+4=0, …………(6分)
圆心C到距离是， …………(8分)
∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 …………（10分）
24．解：（Ｉ）∵a2+b2≥2ab,
c2+d2≥2cd
∴a2+b2+c2+d2≥2(ab+cd), 当且仅当a=b=c=d=时取“=” …………（2分）
又∵a2+b2=1, c2+d2=1
∴2(ab+cd)≤2 …………（4分）
∴ab+cd≤1 …………（5分）
（Ⅱ）设=(a,b),=(1,),
∵|×|≤||×||, …………（8分）
∴|a+b|≤2=2 ∴-2≤a+b≤2
∴a+b的取值范围为-2，2 …………（10分）

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