初中数学全等三角形的知识点梳理.doc

《全等三角形》

概念
一、结构梳理
全等图形

应用
特征
丰富的生活情境

全等三角形特征

全等三角形
特例

全等三角形条件

画三角形

二、知识梳理
（一）概念梳理
1．全等图形
定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形．

图1
图2

2．全等三角形
这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等．

（二）性质与判定梳理
1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等．
全等三角形的对应边、对应角分别相等．
2．全等三角形的判定
这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有：
（1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ；
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA；
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS；
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS．
若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL）。由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等．
（5）注意判定三角形全等的基本思路
从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得到判定两个三角形全等的思路有：
已知一边一角
已知两边

已知两角

（6）学会辨认全等三角形的对应元素
辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定对应角和对应边，如已知△ABC≌EFD，这种记法意味着A与E、B与F、C与D对应，则三角形的边AB与EF、BC与FD、AC与ED对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还有如下规律：（1）全等三角形的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2）全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角．
（三）基本图形梳理
注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种：
1．平移型 如图3，下面几种图形属于平移型：
图3
它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的，故该对应边
的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到．
2．对称型 如图4，下面几种图形属于对称型：

图4

图5
它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点．
3．旋转型 如图5，下面几种图形属于旋转型：
它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转
所构成的，故一般有一对相等的角隐含在
图6（1）
对顶角、某些角的和 或差中．
三、易混、易错点剖析
1．探索两个三角形全等时，要注意两个特例
（1）三边对应相等的两个三角形全等，但三角对应相等的
两个三角形不一定全等；如图6（1）中的两个三角形的每个
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
图6（2）
角都是60，但这两个三角形显然不全等；
（2）两边和其中一边的对角对应相等的两个
三角形不一定全等，如图6（2），中的△ABC和△ABD中，
虽然有AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但它们显然不全等．
2．在判定三角形全等时，还要注意的问题
在判定三角形全等时，应做到以下几点：
（１）根据已知条件与结论认真分析图形；
（２）准确无误的确定每个三角形的六个元素；
（３）根据已知条件，确定对应元素，即找出相等的角或边；
（４）对照判定方法，看看还需什么条件两个三角形就全等；
（５）想办法找出所需的条件来．
四、例题：
例1．如图7（1），E、F分别是四边形ABCD的边BA、DC延长线上的点，AB//CD，AD//BC，且AE=CF，EF交AD于G，交BC于H．
（1）图中的全等三角形有 对，它们分别是 ；（不添加任何辅助线）
（2）请在（1）问中选出一对你认为全等的三角形进行证明．
我选择的是： ．
解：（1）2，△AEG≌△CFH和△BEH≌△DFG．
（2）如求证明：△AEG≌△CFH．
图7（2）
证明：在平行四边形ABCD中，有∠BAG=∠HCD，
图7（1）
所以∠EAG=1800－∠BAG=1800－∠HCD=∠FCH．
图6
又因BA∥DC，所以∠E=∠F．又因AE=CF，所以△AEG≌△CFH．
点评：本题简单地考察学生对图形的识别能力以及证明能力，
主要是根据全等三角形的判定条件去寻找，然后再作出证明．

例2．如图8，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：
2
1
E
C
B
A
图8
AB=AC AD=AE 1=∠2BD=CE.
请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，
写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）．
（提示：答案不唯一）．
点评：本题是条件组装题，答案不唯一，它重点考查学生的
创新意识和能力，四个命题进行组合，有六种情况，这六种情况中
有的是假命题，请同学们注意分辨．
E
C
D
B
A
图10

例3．如图9，点E在AB上，AC=AD，
请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。
所添条件为 ，
你得到的一对全等三角形是 ．
图10
（提示：可选择等条件中的一个。
可得到， 证明过程略）．

例4．如图10，AB=CD=ED，AD=EB，BE⊥DE，垂足为E．
(1)求证：△ABD≌△EDB
(2)只需添加一个条件，即________，可使四边形ABCD为矩形.
请加以证明.
提示：(1)证明略
(2)添加AB∥CD，或添加AD=BC或BE=BC或∠A=∠ADC或∠ADC=90°或∠A=∠C或∠C=90°或∠ABD=∠BDC或∠A=∠ABC或∠ADB=∠DBC或∠ABC=90°等.证明略.