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圆的知识点总结及题型分析
知识点一、圆的定义及有关概念[
1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。
知识点二、平面内点和圆的位置关系
平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内
当点在圆外时，d＞r；反过来，当d＞r时，点在圆外。
当点在圆上时，d＝r；反过来，当d＝r时，点在圆上。
当点在圆内时，d＜r；反过来，当d＜r时，点在圆内。
知识点三、圆的基本性质
1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。
3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆周角定理推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
圆周角定理推论２：直径所对的圆周角是直角；９０°的圆周角所对的弦是直径。
知识点四、圆与三角形的关系
1、 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
2、 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。
3、 三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。
4、 三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。
5、 三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。
知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离
当直线和圆相交时，d＜r；反过来，当d＜r时，直线和圆相交。
当直线和圆相切时，d＝r；反过来，当d＝r时，直线和圆相切。
当直线和圆相离时，d＞r；反过来，当d＞r时，直线和圆相离。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径
切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。
知识点六、圆与圆的位置关系
外离：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离：
内含：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的内部
相切：外切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部
内切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部
相交：两圆只有两个公共点。
设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系，d与r1和r2之间的关系．
外离d>r1+r2
外切d=r1+r2
相交│r1－r2│<d<r1+r2
内切d=│r1－r2│
内含0≤d<│r1－r2│（其中d=0，两圆同心）
知识点七、正多边形和圆
重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．
难点：使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．
正多边形的中心：所有对称轴的交点；
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。
正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。
正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。
知识点八、弧长和扇形、圆锥侧面积面积
1．n°的圆心角所对的弧长L=
2．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=
3.全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积=rL+r2．
【边做边讲】
1如图，在⊙O中，已知°，∥，则 .
第1题 第2题 第3题 第4题
2如图，一条公路的转变处是一段圆弧（图中的），点是这段弧的圆心，是上一点，，垂足为，则这段弯路的半径是 m．
3如图，为⊙O的直径，点在⊙O上，，则 ．
4如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于 ．
5若O为的外心，且,则
【基础练】
1、平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（ ）
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D、等腰梯形
2、若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(3，4)，点P的坐标是(5，8)，你认为点P的位置为（ ）
A、在⊙A内 B、在⊙A上 C、在⊙A外 D、不能确定
3、下列所述图形中对称轴最多的是（ ）
A、圆 B、正方形 C、正三角形 D、线段
4、下列四个命题中正确的是（ ）
①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线 ③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线 ④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线
A、①② B、②③ C、③④ D、①④
5、过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA、PB，切点为A和B，若AB=8，AB的弦心距为3，则PA的长为( )
A、5 B、 C、 D、8
6、如图1，PA切⊙O于A，AB⊥OP于B，若PO=8 cm，BO=2 cm，则PA的长为( )
A、16 cm B、48 cm C、 cm D、4 cm
图1 图2 图3
7、如图2，半径为1的四个圆两两相切，则图中阴影部分的面积为（ ）
A、4－π B、8－π C、(4－π) D、4－2π
8、如图3，一块边长为8 cm的正三角形木板ABC，在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转至A′BC′的位置时，顶点C从开始到结束所经过的路径长为(点A、B、C′在同一直线上)（ ）
A、16π B、π C、π D、π
【计算练】
1、要修一段如图8所示的圆弧形弯道，它的半径是48 m，圆弧所对的圆心角是60°，那么这段弯道长_____________________m(保留π).
图8 图9 图10 图11
2、如图9，两个半圆中，长为6的弦CD与直径AB平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于_____________.
3、要制造一个圆锥形的烟囱帽，如图10，使底面半径r与母线l的比r∶l=3∶4，那么在剪扇形铁皮时，圆心角应取_____.
4、将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5 cm，高为12 cm的圆柱形水杯中(如图11).设筷子露在杯子外面的长为h cm，则h的取值范围是_____.
5、(10分)如图12,小虎牵着小狗上街，小虎的手臂与绳长共为2.5 m(手臂与拉直的绳子在一条直线上)手臂肩部距地面1.5 m.当小虎站立不动时，学习方法和中高考复习资料免费下载，小狗在平整的地面上活动的最大区域是多少？并画出平面图.
图12
【圆的性质应用】
圆的对称性：
如图，AB是⊙的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（ ）
A.CM=DM B. C.∠ACD=∠ADC D..OM=MD
如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB= ，0C=1，则半径OB的长为________．
2
工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.
8
圆周角和圆心角:
如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A =500 ，则∠OCD的度数是
A.．40° B．45° C．50° D．60°
如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=( )
A．35° B.．55° C．70° D．110°
如图，在⊙O中，弦∥,若，则
A. B.
C. D..
如图，点A、B、C在圆O上，∠A=60°，则∠BOC = 度．
120
已知：如图，OA,OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上则∠ACB的度数为( )
A..45° B.35° C.25° D.20°
【尝试】
.如图，半圆的直径，点C在半圆上，．
（1）求弦的长；
（2）若P为AB的中点，交于点E，求的长．
2.已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．
（1）求证：BC＝CD；
（2）求证：∠ADE＝∠ABD；
（3）设AD＝2，AE＝1，求⊙O直径的长．
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