小学奥数5-3-1-质数与合数(一).教师版.doc

5-3-1.质数与合数（一）知识框架1. 掌握质数与合数的定义2. 能够用特殊的偶质数2与质数5解题3. 能够利用质数个位数的特点解题4. 质数、合数综合运用知识点拨一、质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点： 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.例题精讲模块一、判断质数合数【例 1】 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为156号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话【考点】判断质数合数 【难度】1星 【题型】填空【解析】 按要求编号排序，并画出质数号码：美 少 年 华 朋 会 友，幼 长 相 亲 同 切 磋；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 杯 赛 联 谊 欢 声 响，念 一 笑 慰 来 者 多； 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 九 天 九 霄 志 凌 云，九 七 共 庆 手 相 握； 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 聚 起 华 夏 中 兴 力，同 唱 移 山 壮 丽 歌 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山【答案】少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山【例 2】 著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。如6=3+3，12=5+7，等。那么，自然数100可以写成多少种两个不同质数的和的形式？请分别写出来（100=3+97和100=97+3算作同一种形式）。【考点】判断质数合数 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第13题，15分【解析】 逐一试验，可知：为所有符合条件的情况，所以共种。【答案】【例 3】 在19、197、2009这三个数中，质数的个数是（ ）.（A） 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【考点】判断质数合数 【难度】2星 【题型】选择【关键词】华杯赛初赛第4题【解析】 19是常见的质数，197容易检验知也是质数，本题主要是考查2009这个数是否是质数。实际上，2009=741，是个合数，所以在19，197，2009这三个数中有2个质数。正确答案为C。【答案】【例 4】 大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把的值精确到7位小数的人现代人利用计算机已经将的值计算到了小数点后515亿位以上这些数排列既无序又无规律但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，哪些是质数？【考点】判断质数合数 【难度】2星 【题型】填空【关键词】祖冲之杯【解析】 注意到3141，31415，3141592，31415926，31415927依次能被3，5，2，2，31整除，所以，质数是314159【答案】质数是314159【例 5】 用L表示所有被3除余1的全体正整数如果L中的数(1不算)除1及它本身以外，不能被L的任何数整除，称此数为“L质数”问：第8个“L质数”是什么？【考点】判断质数合数 【难度】2星 【题型】填空【关键词】保良局亚洲区城市小学数学邀请赛【解析】 “L数”为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，“L质数”应为上列数中去掉1，16，28，即为4，7，10，13，19，22，25，31，34，所以，第8个“L质数”是31【答案】31【例 6】 9个连续的自然数，每个数都大于80，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组【考点】判断质数合数 【难度】2星 【题型】解答【解析】 我们知道任意连续9个自然数中最多有4个质数，本题考察对100以外的质数的熟练情况，有101，103，107，109是4个质数。【答案】101，103，107，109是4个质数【例 7】 从以内的质数中选出个，然后把这个数分别写在正方体木块的个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？【考点】判断质数合数 【难度】2星 【题型】解答【解析】 小于的质数有，其中.每个木块掷在地上后向上的数可能是六个数中的任何一个，三个数的和最小是，最大是，经试验，三个数的和可以是从到的所有奇数，所有可能的不同值共有个。【答案】22【例 8】 自然数是一个两位数，它是一个质数，而且的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？【考点】判断质数合数 【难度】2星 【题型】解答【关键词】全国小学奥林匹克【解析】 这样的自然数有4个：23，37，53，73【答案】4【例 9】 小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为，其中，而且和都是质数(和是两个数字)具有这种形式的数共有多少个？【考点】判断质数合数 【难度】2星 【题型】解答【解析】 若两位数、均为质数，则、均为奇数且不为5，故有1331，3113，1771，7117，7337，3773，9779，7997共8个数【答案】8【例 10】 炎黄骄子 菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组例如，时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而 ， ， 是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)【考点】判断质数合数 【难度】3星 【题型】填空【关键词】南京市青少年“科学小博士”思维训练【解析】 最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12，所以2不能在所要求的数组中而且由于个位是5的质数只有一个5，所以个位是3的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：【答案】5、17、29答案不唯一【例 11】 图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?【考点】判断质数合数 【难度】3星 【题型】解答【关键词】华杯赛，口试【解析】 质数中只有一个偶数2，其余的质数均为奇数所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5外，其余的均为不小于8的偶数乙填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数所以甲填的数与乙填的数都不相同【答案】质数中只有一个偶数2，其余的质数均为奇数所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5外，其余的均为不小于8的偶数乙填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数所以甲填的数与乙填的数都不相同【例 12】 从19中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？【考点】判断质数合数 【难度】3星 【题型】解答【关键词】全国小学数学奥林匹克【解析】 由于质数除了2以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间排列切开后的数仍然具有“相邻两数之和是质数”，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件，最高位选9，第二位选8，第三位最大可以选7，但7与8之和不是质数，再改选5，8与5之和是质数，符合要求第四位可选剩余的最大数字6，如此类推十位可选3，个位选2所以，可以读到的最大数是98567432数字排列如下图 【答案】98567432【例 13】 九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘32人的大巴前去参观兵马俑如果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴那么有多少个老人？原有多少辆大巴？【考点】判断质数合数 【难度】3星 【题型】解答【关键词】祖冲之杯【解析】 仍按每车坐22人计算，少开一辆车将有23人无座位，这些人刚好平均分乘余下的车，23是质数，所以余下23辆车，原有24辆车，原有老人 (个)【答案】24辆车，529位老人【例 14】 一个两位数，数字和是质数而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数满足条件的两位数为 【考点】判断质数合数 【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第4题，8分【解析】 两位数乘以3之后，数字和一定被3整除。又因为是质数，所以只能是3。有102，111，120， 201，210这五种情况。依次分析：3倍原数数字和5倍数字和7倍数字和102347（质）1708（合）111 37 10（合）120404（合）2016713（质）33511（质）46919（质）210707（质）3508（合）所以，满足条件的两位数为67【答案】【例 15】 三位数满足：它的所有质因数之和是。这样的三位数有 个。【考点】判断质数合数 【难度】4星 【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，1试，第6题【解析】 以内的质数有、，所以这样的三位数有个。【答案】模块二、质数个位性质【例 16】 哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以袤示成两个质数之和”。问：168是哪两个两位数的质数之和，并且其中的一个的个位数宇是1?【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】填空【关键词】华杯赛初赛第8题【解析】 个位数字是1的两位质数有：11，31，41，61，71，其中16811157，16831137，16841127 16861107，都不是两位数，只有1687197是两位数而且是质数所以1687197是唯一的解【答案】与【例 17】 有些三位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数最小是_，最大是_。【考点】判断质数合数 【难度】3星 【题型】解答【关键词】走美杯，四年级，初赛，第7题【解析】 数要最小，首先位数高的要尽可能的小，则最小的为112，最大的为711.【关键词】最小的为112，最大的为711【例 18】 万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？【考点】质数个位性质 【难度】2星 【题型】解答【关键词】俄罗斯数学奥林匹克【解析】 因为是质数所以个位数不可能为偶数0，2，4，6，8也不可能是奇数5如果末位数字是3或9，那么数字和就将是3或9的两倍，因而能被它们整除，这就不是质数了所以个位数只能是7这个三位质数可以是167，257，347，527或617中间的任一个【答案】可以是167，257，347，527或617中间的任一个【例 19】 从小到大写出5个质数，使后面数都比前面的数大12.这样的数有几组？【考点】质数个位性质 【难度】2星 【题型】解答【解析】 考虑到质数中除了2以外其余都是奇数，因此这5个质数中不可能有2；又质数中除了2和5，其余质数的个位数字只能是1、3、7、9.若这5个质数中最小的数其个位数字为1，则比它大24的数个位即为5，不可能是质数；若最小的数其个位数字为3，则比它大12的数个位即为5，也不可能为质数；由此可知最小的数其个位数字也不可能是7和9，因此最小的数只能是5，这5个数依次是5，17，29，41，53.这样的数只有一组.【答案】1组【例 20】 若、都是质数，则_（是指十位数字为1，个位数字为的两位数)【考点】质数个位性质 【难度】2星 【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛，第2题【解析】 是质数，只能为2、3、5、7，但是12、15、27都不是质数，所以=3【答案】【例 21】 已知，都是质数，那么 。【考点】质数个位性质 【难度】2星 【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级【解析】 由于，除以的余数分别为，所以， ，这个数除以的余数互不相同，那么其中必然有除以余的，也就是有的倍数，而这个数都是质数，那么只能是。由于，都比大，所以为。【答案】5【例 22】 某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来. 【考点】质数个位性质 【难度】2星 【题型】解答【解析】 有六个这样的数，分别是11，13，17，23，37，47.【答案】6个，11，13，17，23，37，47.【例 23】 有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来. 【考点】质数个位性质 【难度】3星 【题型】解答【解析】 抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32；抽三张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整除，所以都是合数.这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31.【答案】2，3，13，23，31【例 24】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数.【考点】质数个位性质 【难度】3星 【题型】解答【解析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67所以这9个数字最多可以组成6个质数。【答案】6【巩固】 用0-9这10个数字组成若干个质数，每个数字都恰好用一次，这些质数的和最小是 。【考点】质数个位性质 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯，6年级，决赛，第4题，10分【解析】 2+3+5+67+89+401=567.【答案】【例 25】 用09这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是_【考点】质数个位性质 【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初试，第5题）【解析】 根据题意，这些合数之和要尽量的小，首先要选择这些合数中是本身是合数的，有4、68、9，还剩下0、1、2、3、5、7这六个数构成两位数为合数，让十位上的数尽量的小，则为1、2、3，个位上的数有0、5、7，根据题意，10、27、35或15、27、30均为合数，所以合数的最小值为：4+6+8+9+10+27+35=99。【答案】【例 26】 用数字卡片1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，7，9，9（不允许把6倒过来当作9，也不许把9倒过来当作6）组成七个不同的两位质数，这七个质数之和等于_【考点】质数个位性质 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第2题【解析】 ； 和为【答案】【例 27】 如果一些不同质数的平均数是21，那么这些质数中最大的一个可能是多少？ 【考点】质数个位性质 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如果想使得这些质数中最大的一个尽可能大，那么一定要求这些质数在满足平均数为21的条件下数量尽可能多，且比21大的质数只能有一个。21以下的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，则说明这些质数最多可能有8+1=9个，则大于21的那个数为21+19+18+16+14+10+8+4+2=112 ，但112不是质数。分析原因，发现在上面算式中有一个除了21以外的奇数19，使得结果为偶数，说明在原来的一组质数中不能有2，否则无法使得比21大的数是质数。去掉2再次求和为112-19=93，仍然不是质数，则可以做微调93-4=89，即在原来的一组质数中再去掉一个17即可，这组数为3，5，7，11，13，19，89，最大的一个是89。【答案】89【例 28】 如果某整数同时具备如下三条性质： 这个数与1的差是质数，这个数除以2所得的商也是质数，这个数除以9所得的余数是5，那么我们称这个整数为幸运数。求出所有的两位幸运数【考点】质数个位性质 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由条件可知，所求的数是偶数，因此可设所求的幸运数是质数的两倍，即此幸运数为2，则的所有可能取值为5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。于是2-1的所有可能取值为9，13，21，25，33，37，45，57，61，73，81，85，93。根据题目条件，2-1应为质数，因此2-1只可能为13，37，61或73。再由条件知2-1除以9所得的余数应为4，于是2-1只可能是13，从而这个幸运数只能是2=14。【答案】14王国维在人间词话中说，古今之成大事业、大学问者，必经过三重境界：第一境界:昨夜西风凋碧树,独上高楼,望尽天涯路。第二境界:衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴。第三境界:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处。没有登高望远，无以确定有价值的探索目标。第 7 页 共 7 页