2019年广州市荔湾区中考一模数学.doc

2019年荔湾区初中毕业生学业考试
数 学
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（）的相反数是（ ）.
A． B． C． D．
2．将如图所示的图形绕中心按逆时针方向旋转120°后可得到的图形是（ ）.
第2题

A． B． C． D．
3．北京气象部门测得冬季某周内七天的气温如下：3，5，5，4，6，5，7（单位：°C），则这组数据的平均数和众数分别是（ ）.
A．6，5 B．5.5，5 C．5，5 D．5，4
4．下列运算正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
5．如图，在△ABC中，AC=AD=DB，∠C=70°，则∠CAB的度数为（ ）.
第5题

A．75° B．70° C．40° D．35°

6．如图，数轴上表示某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ ）.
第6题

A． B． C． D．
7．下列命题是真命题的是（ ）.
A．一元二次方程一定有两个实数根
B．对于反比例函数，随的增大而减小
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
8．在同一直角坐标系中，若正比例函数的图象与反比例函数的图象有公共点，则（ ）.
A． B． C． D．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.
第9题

A．3 B． C． D．
10．二次函数的对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．

第二部分 非选择题（共120分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）
11．如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b．若∠1=38°，则∠2= °．
第11题

12．分解因式：= ．
13．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=4cm，则PB= cm．
14．已知扇形的面积为3，半径为3，则该扇形的圆心角度数为 °．
15．如图，在4×4的正方形网格图中有△ABC，则∠ABC的余弦值为 ．
第15题

16．如图，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，连接OD，OC，下列结论：①∠=90°，②，③，④，其中正确的有 （填序号）．
第16题

三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本题满分10分）
计算：（1）；（2）

18．（本题满分8分）
如图，在菱形ABCD中， M，N分别为BC，CD的中点．
求证：AM=AN．
第18题

19．（本小题满分10分）
已知．
（1）化简；
（2）若，求的值．

20．（本题满分10分）
为了解本校学生平均每天的课外学习时间情况，学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A，B，C，D四个等级，设学习时间为t (小时）：
A：t＜1，B：1≤t＜1.5，C：1.5≤t＜2，D：t≥2，
根据调查结果绘制了如图所示的两副不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：

（1）本次抽样调查共抽取了 名学生，请将条形统计图补充完整；
（2）求表示B等级的扇形圆心角的度数；
（3）在此次问卷调查中，甲班有2人平均每天课外学习时间超过2小时，乙班有3人平均每天课外学习时间超过2小时，若从这5人中任选2人去参加座谈，请用列表或画树状图的方法求选出的2人中至少有1人来自甲班的概率．

21．（本题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（0，-4），反比例函数（）的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P是反比例函数在第二象限的图象上的一点，若△PBC的面积等于正方形ABCD的面积，求点P的坐标．
第21题

22．（本题满分12分）
某商店销售一种旅游纪念品，第一周的营业额为200元，第二周该商店对纪念品打8折销售，结果销售量增加3件，营业额增加了40%．
（1）求该商店第二周的营业额；
（2）求第一周该种纪念品每件的销售价格．

23．（本题满分12分）
已知，如图，△ABC中，∠C=90°，E为BC边中点．
（1）尺规作图：以AC为直径，作⊙O，交AB于点D（保留作图痕迹，不需写作法）．
（2）连结DE，求证：DE为⊙O的切线；
（3）若AC=5，DE=，求BD的长．
第23题

24．（本题满分14分）
如图1，图2，△ABC中，BF，CE分别为AC，AB边上的中线，BF⊥CE于点P．
（1）如图1，当BC=，∠PCB=45°时，PE= ，AB= ；
（2）如图2，猜想、、三者之间的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，ABCD中，点M，N分别在AD，BC上，AD=3AM，BC=3BN，连接AN，BM，CM，AN与BM交于点G，若BM⊥CM于点M，AB=4，AD=，求AN的长．
第24题
图1
图2
图3

25．（本题满分14分）
如图，已知抛物线与x轴从左到右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，-3），连接AC，BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线的对称轴上的一个动点，连接PA，PB，PC，设点P的纵坐标为h，
试探究：
①当h为何值时，的值最大？并求出这个最大值．
②在P点的运动过程中，∠APB能否与∠ACB相等？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由．
备用图
第25题

2018学年第二学期九年级期中教学质量检测数学科参考答案
一、选择题：（每小题3分，共30分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
D
A
B
D
D
C
B

二、填空题：（每小题3分，共18分）
题号
11
12
13
14
15
16
答案
142

4
120

①③

三、解答题：注：下面只是给出各题的一般解法，其余解法对应给相应的分数
17．（本题满分10分）
解：（1）原式= ……………………4分
……………………5分
（2）原式= ……………………3分
……………………5分
18．（本题满分8分）
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D， ……………………2分
∵M，N分别是BC，CD的中点，
∴BM=BC，DN=CD，∴BM=DN． ……………………4分
在△ABM和△ADN中，
，∴△ABM≌△ADN（SAS） …………………7分
∴AM=AN． ……………………8分
19．（本题满分10分）
……………………3分
……………………4分
……………………5分
……………………6分
（2）由得， ……………………8分
，
……………………10分
20．（本题满分10分）
解：（1）200，如图； ……………………2分
（2）∵B等级所占的比为：,
∴ ………………4分
（3）设甲班的2名同学分别用，表示，乙班3名同学分别用，，表示，随机选出两人参加座谈的树状图如下：

……………………7分
共有20种等可能结果，而选出2人中至少有1人来自甲班的有14种， …………9分
∴所求概率为：. ……………………10分
21．（本题满分12分）
解：（1）∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（0，-4），∴AB=7 ……………1分
∵四边形ABCD为正方形，∴点C的坐标为（7，-4） ……………………2分
代入，得k=-28， ……………………4分
∴反比例函数的解析式为； ……………………5分
（2）设点P到BC的距离为h．
∵△PBC的面积等于正方形ABCD的面积，
∴ ×7×h=72，解得h=14， ……………………8分
∵点P在第二象限，yP=h-4=10， ……………………10分
此时，xP==， ……………………11分
∴点P的坐标为（，10）． ……………………12分
22．（本题满分12分）
解：（1） ……………………2分
答：该商店第二周的营业额为280元． ……………………3分
（2）设该种纪念品第一周每件的销售价格为元 ……………4分
依题意，列方程得 ……………………8分
解得 ……………………10分
经检验是所列方程的解且符合题意． …………………11分
答：该种纪念品第一周每件的销售价格是50元． ……………12分

23．（本题满分12分）
（1）解：如图1， ……………………3分
（2）证明：如图2，连结OD，CD，
图1
∵AC为直径，∴∠ADC=90°， ……………4分
∵E为BC边中点，
∴DE为Rt△BDC斜边BC上的中线，
∴DE=EC=BE，∴∠1=∠2， ………………5分
∵OC=OD，∴∠3=∠4，
∴∠ODE=∠2+∠4=∠1+∠3=∠ACB=90° ……6分
∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线； …………7分
（3）解：∵E为BC边中点，∴BC=2DE= ……8分
∵AC=5 ∴AB= ………………9分
∵∠DBC=∠CBA， ∴Rt△BDC∽Rt△BCA， ………10分
图2
∴，即， ……………11分
∴BD=． ………………12分

24．（本题满分14分）
解：（1）3， ………………2分
（2）猜想：， ………………3分
证明：连接EF，∵BF，CE是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，EF=BC, ==， ………………4分
设 PF=m，PE=n，则PB=2m，PC=2n，
在Rt△PBC中， ①
在Rt△PBE中， ②
在Rt△PCF中， ③
由①，②，③得： ………………7分
图1
（3）法一：在△AGM与△NGB中，
，
∴△AGM≌△NGB，
∴BG=MG，AG=NG， ………………8分
∴BG是△ABN的中线，
如图1，取AB的中点F，连接NF并延长交DA的延长线于E ………………9分
同理，△AEF≌△BNF，
∴AE=BN，EM=2BN =NC，∵EM∥NC，
∴四边ENCM是平行四边形 ………………10分
∴EN∥CM，
∵BM⊥CM，
∴EN⊥BM，即BG⊥FN ………………11分
∵NF，BG都为△ABN的中线，
由（2）知， ………………12分
∵AB=4，BN=AD=，
∴，∴AN=． ………………14分

法二：如图2，作BP⊥DA延长线于点P，CQ⊥AD于点Q，
在ABCD中，AD=BC
易知四边形PBCQ为矩形
∴PQ=BC ∴PA=QD ………………8分
图2
依题意：AM=BN=，MD=2
设PA=QD=x，PB=CQ=y，
∴PM=x+，MQ=2-x
∵BM⊥CM于点M，∠BMC=90°
∴∠BMP+∠CMQ=90°
又∠BMP+∠PBM=90°
∴∠PBM=∠CMQ
又∵∠BPM=∠MQC=90°
∴△PBM∽△QMC
∴，即
化简得： ① ………………10分
作AH⊥BC于点H，则BH=PA=x，AH=y，
在Rt△ABH中，
∴ ② ………………11分
由①②得：
∴， ………………12分
在Rt△AHN中，AN==
==． ………………14分
25．（本题满分14分）
解：（1）把B（3，0），C（0，-3）代入
解得：， ………………2分
∴此抛物线的解析式为； ………………3分
（2）①∵抛物线的对称轴为直线x=2 ，∴设点P（2，h） ………4分
由三角形的三边关系可知，|PA-PC|＜AC，
∴当P，A，C三点共线时，|PA-PC|的值最大，为AC的长度，
∴延长CA交直线x=2于点P，则点P为所求． ……5分
求得A（1，0），又C（0，-3），
则有OA=1，OC=3，
∴AC==． ………………6分
设直线AC的解析式为（），
则， 解得．
∴直线AC的解析式为，…………7分
∴h=3×2-3=3，
∴当h=3时，|PA-PC|的值最大，最大值为． …8分
②设直线x=2与x轴的交点为点D，作△ABC的外接圆⊙E与直线x=2位于x轴下方的部分的交点为P1，P1关于x轴的对称点为P2，则P1、P2均为所求的点． ………9分
∵∠AP1B、∠ACB都是弧AB所对的圆周角，
∴∠AP1B=∠ACB，且射线DE上的其它点P都不满足∠APB=∠ACB．
∵圆心E必在AB边的垂直平分线即直线x=2上．
∴点E的横坐标为2．
又∵OB=OC=3，BC边的垂直平分线即直线y=-x．
∴圆心E也在直线y=-x上
∴E（2，-2）． ………………11分
在Rt△ADE中，DE=2，AD=AB=（OB-OA）=（3-1）=1，
由勾股定理得EA===， ………………12分
∴EP1=EA=，
∴DP1=DE+EP1=2+，
∴P1（2，-2-）． ………………13分
由对称性得P2（2，2+）．
∴符合题意的点P的坐标为P1（2，-2-），P2（2，2+）． …………14分

九年级数学试卷 第15页 共15页