2018-2019-学年八年级上期末质量检测数学试题.doc

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2018-2019 学年八年级上期末质量检测数学试题
班级 姓名 成绩
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1. 在①角、②等边三角形、③平行四边形、④梯形中是轴对称图形的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
2. 计算 4x2•x3 的结果是（ ）
A．4x6 B．4x5 C．x6 D．x5
3. 若 x，y 的值均扩大为原来的 2 倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算中，正确的是（
）

A．2a3÷a3＝6

B．（a﹣b）2＝﹣a2﹣b2
C．2a6÷a2＝a3

D．（﹣ab）2＝a2b2
5. 长度分别为 2，7，x 的三条线段能组成一个三角形，x 的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
6. 内角和等于外角和的多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
7. 如图，点 P 是∠AOB 平分线 IC 上一点，PD⊥OB，垂足为 D，若 PD＝3， 则点 P 到边 OA 的距离是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
8. 如图，△AOC≌△BOD，点 A 与点 B 是对应点，那么下列结论中错误的是（ ）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AO＝BO D．∠A＝∠B

9. 如图，在△ABC 中，∠B＝30°，BC 的垂直平分线交 AB 于 E，垂足为 D， 如果 ED＝5，则 EC 的长为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
10. 如图，AD 是△ABC 的中线，E，F 分别是 AD 和 AD 延长线上的点，且 DE
＝DF，连接 BF，CE，下列说法：①△ABD 和△ACD 面积相等；②∠BAD
＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE．其中正确的是（ ）

A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）计算：40+2﹣1＝ ．
12．（3 分）要使分式 有意义，则 x 的取值范围为 ．
13．（3 分）若 x2﹣2ax+16 是完全平方式，则 a＝ ．
14．（3 分）若一个等腰三角形的周长为 26，一边长为 6，则它的腰长为 ．

15．（3 分）如图，在△ABC 中，CD，BE 分别是 AB，AC 边上的高，且 CD，BE
相交于点 P，若∠A＝70°，则∠BPC＝ °．

16． （3 分）如图，在锐角三角形 ABC 中，AC＝6，
△ABC 的面积为 15，∠BAC的平分线交 BC 于点 D，
M，N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 ．

三、解答题（本大题共 7 题，共 62 分，解答应写出文字说明．
17．（8 分）计算：
（1）（x+2）（2x﹣1） （2）（﹣2x3）2﹣3x2（x4﹣y2）

18．（8 分）分解因式：
（1）2a2﹣8 （2）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3

19．（8 分）计算：
（1）+ （2）•（1+ ）

20．（8 分）如图，平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A（1，3），
B（3，3），C（4，﹣1）．
（1） 画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1，写出点 A1，B1 ，C1 的坐标；
（2） 求△A1B1C1 的面积．

21．（10 分）如图，AE⊥DB，CF⊥DB，垂足分别是点 E，F，DE＝BF，AE＝ CF，求证：∠A＝∠C．

22．（10 分）某美术社团为练习素描需要购买素描本，第一次用 600 元购买了若干本素描本，用完后再花了 1200 元继续在同一家商店购买同样分素描本，但
这次的单价是第一次单价的 1.2 倍，购买的数量比第一次多了 40 本，求第一次的素描本单价是多少元？

23．（10 分）如图，在等腰 Rt△ABC 中，角 ACB＝90°，P 是线段 BC 上一动点
（与点 B，C 不重合）连接 AP，延长 BC 至点 Q，使 CQ＝CP，过点 Q 作 QH⊥AP 于点 H，交 AB 于点 M．
(1)∠APC＝α，求∠AMQ 的大小（用含α的式子表示）；
(2)在（1）的条件下，过点 M 作 ME⊥QB 于点 E，试证明 PC 与 ME 之间的数量关系，并证明．

参考答案：
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
4. 在①角、②等边三角形、③平行四边形、④梯形中是轴对称图形的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得到轴对称图形，再根据对称轴的条数进行进一步筛选可得答案．
解：①角、②等边三角形、③平行四边形、④梯形中是轴对称图形的是①②， 故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是找到图形的对称轴．
5. 计算 4x2•x3 的结果是（ ）
A．4x6 B．4x5 C．x6 D．x5
【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
解：4x2•x3＝4x5． 故选：B．
【点评】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6. 若 x，y 的值均扩大为原来的 2 倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
解：A、原式＝，与原来的分式的值不同，故本选项错误； B、原式＝，与原来的分式的值不同，故本选项错误； C、原式＝，与原来的分式的值不同，故本选项错误；
D、原式＝＝，与原来的分式的值相同，故本选项正确． 故选：D．

【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
4．下列计算中，正确的是（
）

A．2a3÷a3＝6

B．（a﹣b）2＝﹣a2﹣b2
C．2a6÷a2＝a3

D．（﹣ab）2＝a2b2
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 解：∵2a3÷a3＝2，故选项 A 错误，
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项 B 错误，
∵2a6÷a2＝a4，故选项 C 错误，
∵（﹣ab）2＝a2b2，故选项 D 正确， 故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．
11. 长度分别为 2，7，x 的三条线段能组成一个三角形，x 的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
【分析】已知三角形的两边长分别为 2 和 7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的．
解：由三角形三边关系定理得 7﹣2＜x＜7+2，即 5＜x＜9．
因此，本题的第三边应满足 5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案． 4，5，9 都不符合不等式 5＜x＜9，只有 6 符合不等式，
故选：C．
【点评】考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
12. 内角和等于外角和的多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和是固定的 360°， 从而可根据外角和等于内角和列方程求解．
解：设所求 n 边形边数为 n，

则 360°＝（n﹣2）•180°， 解得 n＝4．
∴外角和等于内角和的多边形是四边形． 故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和与外角和、方程的思想，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，比较简单．
13. 如图，点 P 是∠AOB 平分线 IC 上一点，PD⊥OB，垂足为 D，若 PD＝3， 则点 P 到边 OA 的距离是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【分析】作 PE⊥OA 于 E，根据角平分线的性质解答． 解：作 PE⊥OA 于 E，
∵点 P 是∠AOB 平分线 OC 上一点，PD⊥OB，PE⊥ OA，
∴PE＝PD＝3， 故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14. 如图，△AOC≌△BOD，点 A 与点 B 是对应点，那么下列结论中错误的是（ ）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AO＝BO D．∠A＝∠B

【分析】根据全等三角形的对应边、对应角相等，可得出正确的结论，可得出答案．
解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠A＝∠B，AO＝BO，AC＝BD，
∴B、C、D 均正确，
而 AB、CD 不是不是对应边，且 CO≠AO，
∴AB≠CD， 故选：A．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边、角相等是解题的关键．
15. 如图，在△ABC 中，∠B＝30°，BC 的垂直平分线交 AB 于 E，垂足为 D， 如果 ED＝5，则 EC 的长为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出 BE＝CE，故可得出∠B＝∠DCE， 再由直角三角形的性质即可得出结论．
解：∵在△ABC 中，∠B＝30°，BC 的垂直平分线交 AB 于 E，ED＝5，
∴BE＝CE，
∴∠B＝∠DCE＝30°， 在 Rt△CDE 中，
∵∠DCE＝30°，ED＝5，
∴CE＝2DE＝10． 故选：D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点， 到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
16. 如图，AD 是△ABC 的中线，E，F 分别是 AD 和 AD 延长线上的点，且 DE
＝DF，连接 BF，CE，下列说法：①△ABD 和△ACD 面积相等；②∠BAD
＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE．其中正确的是（ ）

A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
【分析】根据三角形中线的定义可得 BD＝CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明△BDF 和△CDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得 CE＝BF，全等三角形对应角相等可得∠F＝∠CED， 再根据内错角相等，两直线平行可得 BF∥CE．
解：∵AD 是△ABC 的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD 和△ACD 面积相等，故①正确；
∵AD 为△ABC 的中线，
∴BD＝CD，∠BAD 和∠CAD 不一定相等，故②错误； 在△BDF 和△CDE 中，
，

∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；
∴∠F＝∠DEC，
∴BF∥CE，故④正确；
∵△BDF≌△CDE，
∴CE＝BF，故⑤错误， 正确的结论为：①③④， 故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等， 熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）计算：40+2﹣1＝ 1 ．

【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
解：∵40+2﹣1＝1+ ＝1． 故答案为：1．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
12．（3 分）要使分式 有意义，则 x 的取值范围为 x≠﹣3 ．
【分析】根据分式有意义，分母不等于 0 列不等式求解即可． 解：由题意得，x+3≠0，
解得 x≠﹣3．
故答案为：x≠﹣3．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1） 分式无意义⇔分母为零；
（2） 分式有意义⇔分母不为零；
（3） 分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
13．（3 分）若 x2﹣2ax+16 是完全平方式，则 a＝ ±4 ．
【分析】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，这里首末两项是 x 和 4 这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去 x 和 4 积的 2 倍．
解：∵x2﹣2ax+16 是完全平方式，
∴﹣2ax＝±2×x×4
∴a＝±4．
【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的 2
倍，就构成了一个完全平方式．注意积的 2 倍的符号，避免漏解．
14．（3 分）若一个等腰三角形的周长为 26，一边长为 6，则它的腰长为 10 ．
【分析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．
解：①当 6 为腰长时，则腰长为 6，底边＝26﹣6﹣6＝14，因为 14＞6+6，所以不能构成三角形；
②当 6 为底边时，则腰长＝（26﹣6）÷2＝10，因为 6﹣6＜10＜6+6，所以能构

成三角形； 故腰长为 10． 故答案为：10．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检验．
15．（3 分）如图，在△ABC 中，CD，BE 分别是 AB，AC 边上的高，且 CD，BE
相交于点 P，若∠A＝70°，则∠BPC＝ 110 °．

【分析】根据四边形的内角和等于 360°，求出∠DPE 的度数，再根据对顶角相等解答．
解：∵CD、BE 分别是 AB、AC 边上的高，
∴∠DPE＝360°﹣90°×2﹣70°＝110°，
∴∠BPC＝∠DPE＝110°． 故答案为：110°．
【点评】本题考查了多边形的内角和，对顶角相等的性质，熟记定理并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
16．（3 分）如图，在锐角三角形 ABC 中，AC＝6，△ABC 的面积为 15，∠BAC的平分线交 BC 于点 D，M，N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 5 ．

【分析】如图，作 N 关于 AD 的对称点 N′，连接 MN′，作 BN″⊥AC 于 N″ 交 AD 于 M′．因为 BM+MN＝BM+MN′≤BN″，所以当 M 与 M′，N 与 N″重合时，BN″最小，求出 BN″即可解决问题．

解：如图，作 N 关于 AD 的对称点 N′，连接 MN′，作 BN″⊥AC 于 N″交 AD
于 M′．
∵BM+MN＝BM+MN′≤BN″，
∴当 M 与 M′，N 与 N″重合时，BN″最小，
∵×AC×BN″＝15，AC＝6，
∴BN″＝5，
∴BM+MN 的最小值为 5， 故答案为：5．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、垂线段最短等知识，解题的关键是重合利用对称，垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共 7 题，共 62 分，解答应写出文字说明．
17．（8 分）计算：
（1）（x+2）（2x﹣1）
（2）（﹣2x3）2﹣3x2（x4﹣y2）
【分析】（1）根据多项式的乘法解答即可；
（2）根据整式的混合计算解答即可． 解：（1）原式＝2x2﹣x+4x﹣2
＝2x2+3x﹣2；
（2）原式＝4x6﹣3x6+3x2y2
＝x6+3x2y2．
【点评】此题考查整式的混合计算，关键是根据整式的混合计算顺序和法则解答．
18．（8 分）分解因式：
（1）2a2﹣8
（2）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3
【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；

（2）原式利用十字相乘法分解即可．
解：（1）原式＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；
（2）原式＝（x﹣1﹣3）（x﹣1+1）＝x（x﹣4）．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19．（8 分）计算：
（1）+
（2）•（1+ ）
【分析】（1）先通分，再根据同分母分式的加法法则计算可得；
（2）先利用乘法分配律展开计算，再进一步计算可得． 解：（1）原式＝+＝；
（2）原式＝+ •
＝+1
＝+
＝．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20．（8 分）如图，平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A（1，3），
B（3，3），C（4，﹣1）．
（3） 画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1，写出点 A1，B1 ，C1 的坐标；
（4） 求△A1B1C1 的面积．

【分析】（1）分别作出点 A、B、C 关于 x 轴的对称点，再顺次连接可得；
（2）结合图形，利用三角形的面积公式计算可得． 解：（1）如图所示，△A1B1C1 即为所求，
其中 A1 的坐标为（1，﹣3），B1 的坐标为（3，﹣3），C1 的坐标为（4，1）；

（2）△A1B1C1 的面积为×2×4＝4．
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质及三角形的面积公式．
21．（10 分）如图，AE⊥DB，CF⊥DB，垂足分别是点 E，F，DE＝BF，AE＝ CF，求证：∠A＝∠C．
【分析】欲证明∠A＝∠C，只要证明△AEB≌△CFD 即可． 证明∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
∵DE＝BF，
∴DF＝BE，
在△AEB 和△CFD 中，

，

△AEB≌△CFD（SAS），
∴∠A＝∠C．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
22．（10 分）某美术社团为练习素描需要购买素描本，第一次用 600 元购买了若干本素描本，用完后再花了 1200 元继续在同一家商店购买同样分素描本，但
这次的单价是第一次单价的 1.2 倍，购买的数量比第一次多了 40 本，求第一次的素描本单价是多少元？
【分析】设第一次的素描本单价是 x 元，根据结果比上次多买了 40 本列出方程解答即可
解：设第一次的素描本单价是 x 元，
依题意得：﹣＝40 解得 x＝10
经检验 x＝10 是原方程的解
答：第一次的素描本单价是 10 元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数， 找出合适的等量关系，列方程解答即可．
23．（10 分）如图，在等腰 Rt△ABC 中，角 ACB＝90°，P 是线段 BC 上一动点

（与点 B，C 不重合）连接 AP，延长 BC 至点 Q，使 CQ＝CP，过点 Q 作 QH
⊥AP 于点 H，交 AB 于点 M．
(1)∠APC＝α，求∠AMQ 的大小（用含α的式子表示）；
(2)在（1）的条件下，过点 M 作 ME⊥QB 于点 E，试证明 PC 与 ME 之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°
﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；
（2）由 AAS 证明△APC≌△QME，得出 PC＝ME， 解：（1）∠AMQ＝45°+α；理由如下：
∵∠PAC＝α，△ACB 是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°﹣α，
∵QH⊥AP，
∴∠AHM＝90°，
∴∠AMQ＝180°﹣∠AHM﹣∠PAB＝45°+α；

（2）结论：PC＝ME．
理由：连接 AQ，作 ME⊥QB，如图所示：
∵AC⊥QP，CQ＝CP，
∴∠QAC＝∠PAC＝α，
∴∠QAM＝45°+α＝∠AMQ，
∴AP＝AQ＝QM，
在△APC 和△QME 中，

，

∴△APC≌△QME（AAS），
∴PC＝ME，

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．