广东工业大学高等数学复习题及答案.doc

资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 .广东工业大学复习题及参考答案高等数学一、 填空题1x -11函数 y = x2- 4 +的定义域是.解. (-, - 2U2, +)。2若函数 f (x +1) = x2+ 2x -5, 则 f (x) =解.x 2 - 63 lim x - sin x = _xx答案: 1正确解法: lim x - sin x = lim(1-sin x) = lim1- lim sin x = 1- 0 = 1xxxxxxx4.已知lim x2+ ax + b- x - 2 = 2, 则a =_, b =_。2x2x由所给极限存在知 , 4 + 2a + b = 0 ,得 b = -2a - 4 , 又由lim x +-axx-+2b = lim x + a + 2 =2a + 4= 2,知a = 2,b = -82x + 13x2xx2e - bx5.已知lxim0 (x - a)(x -1) = , 则a =_, b =_。ex- b(x - a)(x -1) =0a1- bQ lxim0 (x - a)(x -1)= ,即lim= 0, a = 0,b 1e - bxx1x 0 x2 + y 2 1 0 x2 + y 2 11- x2 - y 2 1x2 + y 2 0 z的定义域为: (x, y) | 0 x+ y2 2 0) 223解: a22n -1 x2n-22n18.; n=12n -1 y解: 令 y = x2, 则原幂级数成为不缺项的幂级数n-1, 记其各项系数为bn, 因2nn=1b2n -1 2n+1 = 2lim 2n -1= 2, 则- 2 y 2 0 x2 2, 1为 R = lim bn= limnn 2n 2n +1n 2n +n+1故- 2 x 0,a 1)( +1) aA.是奇函数; B.是偶函数; C.既奇函数又是偶函数; D.是非奇非偶函数。解: 利用奇偶函数的定义进行验证。f (-x) = (-x) a-a-xx+-11 = -xa-a-xx(1- a(1+ axx)= x +-11 = f (x)axax因此B正确。112若函数 f (x + ) = x2+2, 则 f (x) =( ) xxA. x2; B. x2- 2; C.(x -1) D. x -1。2; 2解: 因为 x2+12 = x2+ 2 + 12 - 2 = (x + )2 - 2, 因此 f (x + ) = (x + )1112- 2xxxxx则 f (x) = x2- 2, 故选项 B正确。3设 f (x) = x +1, 则 f ( f (x) +1)=( ) A xBx + 1Cx + 2Dx + 3解由于 f (x) = x +1, 得 f ( f (x) +1) = ( f (x) +1) +1 f (x) + 2将 f (x) = x +1代入, 得 f ( f (x) +1)=(x +1) + 2 = x + 3正确答案: D4已知lim( x2) x x +1 - ax - b) = 0, 其中 a ,b是常数, 则( (A) a =1,b =1,(C) a =1,b = -1(B) a = -1,b =1(D) a = -1,b = -1解. Q lim( x 2 - ax - b) = lim (1- a)x 2 - (a + b)x - b = 0 ,x +1 x +11- a = 0,a + b = 0,a =1,b = -1答案: Cxx5下列函数在指定的变化过程中, ( ) 是无穷小量。1A.ex, (x ); B.sin x , (x ); x C. ln(1+ x), (x 1); D.x +1 -1, (x 0)x解: 无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量, 因此sin x = 0limxx而 A, C, D三个选项中的极限都不为 0, 故选项 B正确。6下列函数中, 在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是( ) (A) y = xsin 1x (x ) ;(B) y = n(-1)n (n ) ;11(C) y = ln x(x +0); (D) y = cos (x 0)xx11 1x =1 ,x解 . Q lim xsin = lim sin故不选 (A).取 m = 2k +1 ,则xxx1k 2k +11np + p,则 lim 1 cos 1= 0 ,故不选xlim n(-1) = limn= 0 ,故不选 (B).取 xn=nnxnn2(D).答案: C1xsin , x 0, 则 f (x)在 x = 0处( 07设 f (x) = ) xx, xA连续且可导C不连续但可导解: ( B) B连续但不可导D既不连续又不可导1lim f (x) = lim x = 0, lim f (x) = lim xsin = 0, f (0) = 0xx0-x0-x0+x0+因此 f (x)在 x = 0处连续1xsin - 0f+(0) = lim f (x) - f (0) = lim= lim sin 1x, 此极限不存在xx - 0x - 00+x0+x0x从而 f+(0)不存在, 故 f (0)不存在8曲线 y = x3 - x在点( 1, 0) 处的切线是( ) A y = 2x - 2C y = 2x + 2B y = -2x + 2D y = -2x - 2解由导数的定义和它的几何意义可知, y(1) = (x3 - x) = (3x2 -1) = 2x=1x=1是曲线 y = x3 - x在点( 1, 0) 处的切线斜率, 故切线方程是y - 0 = 2(x -1), 即 y = 2x - 2正确答案: A9已知 y = 1x, 则 y=( ) 44x3B. 3x2C. 6xD. 6A.解直接利用导数的公式计算: 1y = ( x4) = x3,y = (x3) = 3x24正确答案: B110若 f ( ) = x, 则 f (x) =( ) 。xA 1B1C-1D-1xx2xx2答案: D先求出 f (x), 再求其导数。11 z = ln x- y2 2的定义域为( ) Ax2- y2 1Bx2- y2 0Cx2- y2 1Dx - y 02 2解 z的定义域为(x, y) x2 -y2 0 个, 选 D。12.下列极限存在的是( ) x0 x + y1x +10 x + yy0( A) lim( B) ( C) x 2x + y( D) lim xsinlimlimx0y0xxx0y0yy0解A.当 P沿 x = 0时, lim f (0, y) = 0, 当 P沿直线 y = 0时, lim f (x,0) = 1, 故 limy0x0x0y0xx + y1x + yx2x + y不存在; B. lim= , 不存在; C.如判断题中 1题可知 lim不存在; D.x0x0y0y01x + y1x + y因为 lim xsin lim x = 0, 因此 lim xsin= 0, 选 Dx0y0x0y0x0y0 ( ) 0, f (x) 0,则在(0,+)内13.若 f (-x) = f (x)(- x ( ) .( A) f (x) 0, f (x) 0( C) f (x) 0, f (x) 0, f (x) 0( D) f (x) 0解: 因f (x)为偶函数,则f (x)为奇函数, f (x)为偶函数,故应选(C).14设 f (x)为奇函数, 且 x 0时 f (x) 0, 则 f (x)在-10,-1上的最大值为( ) A f (-10)B f (-1)C f (10)D f (1)解: ( B) 因为 f (x)是奇函数, 故 f (-x) = - f (x), 两边求导 - f (-x) = - f (x) , 从而f (x) = f (-x), 设 x 0, 从而 f (x) = - f ( x) 0, 因此 f (x)在-10, -1上单调增加, 故最大值为 f (-1)15函数 f (x, y, z) = 4(x - y) - x2- y2()(A)、 有极大值 8( B) 、 有极小值 8( C) 无极值( D) 有无极值不确定 fx = 0 x = 2解fx = 4-2x, f y = -4- 2y, f = 0y = -2yH = -2 0 H 0- 2, f (2,-2) = 8为极大值 ( A) 0 -2a+T15.设 f (x)是以T为周期的连续函数,则I = f (x)dx的值( ) .a( A) 依赖于a,T( B) 依赖于a,T和x( C) 依赖于T, x, 不依赖于 a( D) 依赖于T, 不依赖于a解: 根据周期函数定积分的性质有, l+T f (x)dx = 0Tf (x)dx,故应选(D).l3217.曲线 y = sinx (0 x p )与 x轴围成的图形绕 x轴旋转所成的旋转体的体积为( ) .44232( B) p( C) p2( D) p( A) 333解: 所求旋转体的体积为V = py2dx = pp sin 3 xdx = -p(1- cos2x)d cos x = -pcos x - cos x3p0= 4p.pp33000 故应选(B).pp4 xdx, N = p (sin2-sin x18.设 M =22 cos3x + cos4x)dx, p2 1+ x2-pP = (x sin x - cos2 3 4x)dx, 则有( ) .2p-2( A) N P M( C) N M P( B) M P N( D) P M 0, P = -2cos4xdx 0, 2200因此 P M 0(B)I 033040121设 f(t)是可微函数, 且 f(0)=1, 则极限( lim f ( x 2 + y 2 )dxdy) ()pt3t0+x2+ y2t 2( A) 等于 0( B) 等于 2 f (0)3(C)等于+C) ( D) 不存在且非2p0t rf (r)dr1pt= 2f (t) = +解: 由极坐标, 原极限 = lim3 02p dj0t rf (r)dr = limlimpt33tt0+t0+t0+22.设函数项级数 un (x), 下列结论中正确的是(n=1).( A) 若函数列un (x)定义在区间 I上, 则区间 I为此级数的收敛区间( B) 若 S(x)为此级数的和函数, 则余项rn(x) = S(x) - Sn(x), lim rn(x) = 0nn=1( C) 若 x0 I使 un (x0)收敛, 则| x | 0为常数, 则级数 (-1)n(1- cos an)( ) .n=1( A) 绝对收敛( B) 条件收敛( C) 发散( D) 敛散性与a有关2a2解: 因为 (-1)n(1- cos an) = 2sin2a a 2, 而2收敛, 因此原级数绝对收敛.故2n 2n2nn=1选( A) .(x - a)n24.若级数 (-1)n在 x 0时发散, 在 x = 0处收敛, 则常数a =( ) .nn=1( A) 1( B) -1( C) 2( D) 2(-a)nn (x - a)nn解: 由于(-1)n收敛, 由此知 a 1.当-1 0时发散矛盾, 因此 a = -1.故选( B) .25. y+ 2y+5y = e-xcos2x的特解可设为( ) ( A) y* = e-x A* = xe -x Acos2x;( B) ycos2x;( C) y*= xe -x(Acos2x + Bsin2x);( D) y* = e-x(Acos2x + Bsin2x).解: C26.微分方程的阶数是指( ) ( A) 方程中未知函数的最高阶数; ( C) 方程中未知函数的最高次数; 解: B( B) 方程中未知函数导数或微分的最高阶数; ( D) 方程中函数的次数.27.下面函数()能够看作某个二阶微分方程的通解.( A) x2+ y2= c;( B) y = c1x2+ c2x + c3;( C) y = c1 sin 2 x + c2 cos 2 x;( D) y = ln(c1x)+ ln(c2 cos x).解: C28.A、 B均为 n阶可逆矩阵, 则 A、 B的伴随矩阵 (AB)* =( ) .( A) A*B*; 解答: D( B) | AB | A-1B -1; ( C) B-1A-1( D) B* A*; 29.设 A、 B均为 n阶方阵, 则必有。 (A) |A+B|=|A|+|B|(C) |AB|=|BA|(B) AB=BA(D) (A+B)1=A1+B1解: 正确答案为(C)30.A,B都是 n阶矩阵,则下列各式成立的是( ) =AT BT( B) (A+ B)T = AT + BT( A) (AB)T( C) (AB)-1 = A-1B-1( D) (A+ B)-1 = A-1 + B-1解答: B31.在随机事件A, B, C中, A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为( ) ( A) ACUBC解由事件间的关系及运算知, 可选( A) 32.袋中有5个黑球, 3个白球, 大小相同, 一次随机地摸出4个球, 其中恰有3个白球的( B) ABC( C) ABCUABCUABC( D) AUBUC概率为( ) 38 35 1( B) 8 8 33 1 8 85( D) ( A) ( C) C48 C48解基本事件总数为C84, 设 A表示”恰有 3个白球”的事件, A所包含的基本事件数为C51=5, 故 P(A)= C584, 故应选( D) 。( )( )1( )2() )33.已知0P B1, 0P A1, 0P A1, 且P A1 U A2 | B= P(A1 | B) +P( A2 | B),则下列选项成立的是( ) () ) () ()( A) P A1 U A2 | B = P A1 | B + P A2 | B ;() ) ( ) ( )1 2( B) P A1 UA2 | B = P A + P A() = ( ) ()+ ( ) ()( C) P A1BUA2B P A P B | A1 P A P B | A212( D) P(B) = ( ) (P A P B | A1 P A P B | A2)+ ( ) ()12解由题可知 A1、 A2互斥, 又 0P(B)1, 0P(A1)1, 0P(A2)1, 因此P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)P(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)故应选( C) 。 三、 解答题1.设函数1xsin + b x 0sin xx问( 1) a,b为何值时, f (x)在 x = 0处有极限存在? ( 2) a,b为何值时, f (x)在 x = 0处连续? 解: ( 1) 要 f (x)在 x = 0处有极限存在, 即要 lim f (x) = lim f (x)成立。0-+x0x1因为 lim f (x) = lim (xsin + b) = b0-0-xxxsin x = 1lim f (x) = limxx0+x0+因此, 当b = 1时, 有 lim f (x) = lim f (x)成立, 即b = 1时, 函数在 x = 0处有极限0-+x0x存在, 又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关, 因此此时 a能够取任意值。( 2) 依函数连续的定义知, 函数在某点处连续的充要条件是lim f (x) = lim f (x) = f (x0)x0-xx+0x于是有b =1= f (0) = a, 即a = b =1时函数在 x = 0处连续。2已知lim x 3 + ax2+ b = 8, 试确定 a和b的值x - 2x2解. Q lim x3+ ax2+ b = 8,lim(x 3+ ax + b = + a + b = 0 ,即b = -8- 4a) 8 42x - 2x2x2lim x 3+ ax2+ b = lim x 3+ ax2- 4a - 8 = limx+ (a + 2)x + 2a + 4= 4a +12 = 8,2x - 2x - 2x2x2x2a = -1,故b = -41x-1e,x 03设 f (x) = , 求 f (x)的间断点, 并说明间断点的所属类型ln(1+ x),-1 x 011解. f (x)在 (-1,0),(0,1),(1,+)内连续 ,lim e x-1 = , lim e x-1 = 0 , f (0)= 0 ,因此 ,x1+x1- 1x =1是 f (x)的第二类无穷间断点; lim f (x)= lim e x-1,= e -1x0+x0+lim f (x)= lim ln(1+ x)= 0 ,因此 x = 0是 f (x)的第一类跳跃间断点.x0-x0-4求方程中 y是 x的隐函数的导数( 1) xy - e x + e y =1, y解: 方程两边对自变量 x求导, 视 y为中间变量, 即(xy)- (ex )+ (e y ) =1+ ey + xy- e