广东工业大学高等数学复习题及答案.doc

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.广东工业大学复习题及参考答案
《高等数学》
一、 填空题
1
x -1
1．函数 y = x
2
- 4 +
的定义域是
.
解. (-¥, - 2]U[2, +¥)。
2．若函数 f (x +1) = x
2
+ 2x -5, 则 f (x) =
．
解.
x 2 - 6
3． lim x - sin x = ________________
x®¥
x
答案: 1
正确解法: lim x - sin x = lim(1-
sin x) = lim1- lim sin x = 1- 0 = 1
x®¥
x
x®¥
x
x®¥
x®¥
x
4.已知lim x
2
+ ax + b
- x - 2 = 2, 则a =_____, b =_____。
2
x®2
x
由所给极限存在知 , 4 + 2a + b = 0 ,得 b = -2a - 4 , 又由
lim x +-axx-+2b = lim x + a + 2 =
2
a + 4
= 2,知a = 2,b = -8
2
x + 1
3
x®2
x
x®2
e - b
x
5.已知lxi®m0 (x - a)(x -1) = ¥, 则a =_____, b =_____。
e
x
- b
(x - a)(x -1) =
0
a
1- b
Q lxi®m0 (x - a)(x -1)
= ¥,即lim
= 0, \a = 0,b ¹1
e - b
x
x
®
ì
1
ï
x < 0的间断点是 x =
xsin
6．函数 f (x) = í
。
x
ïî x +1 x ³ 0
解: 由 f (x)是分段函数, x = 0是 f (x)的分段点, 考虑函数在 x = 0处的连续性。
1
因为 lim xsin = 0 lim (x +1) = 1 f (0) = 1
x
x®0
+
x®0
-
因此函数 f (x)在 x = 0处是间断的,
又 f (x)在(-¥,0)和(0,+¥)都是连续的, 故函数 f (x)的间断点是 x = 0。

7.设 y = x(x -1)(x - 2)×L ×(x - n),则 y (n+1) = (n+1)!
8． f (x) = x
, 则 f ( f ¢(x) +1) = __________。
答案: (2x +1) + 4x +1
或4x
2
2
2
4x - y
2
9．函数 z = ln(1- x
)的定义域为
- y
2
。
2
解: 函数 z的定义域为满足下列不等式的点集。
ì
4x - y 2 ³ 0
ì 2
ï
ì 2
y £ 4x
y £ 4x
ï
ï
ï
ï
ï
1- x2 - y 2 > 0 Þ x2 + y 2 < 1 Þ 0 < x2 + y 2 < 1
í
ï
í
ï
í
ï
1- x2 - y 2 ¹ 1
x2 + y 2 ¹ 0
ï
ï
ï
î
î
î
Þ z的定义域为: {(x, y) | 0 < x
+ y
2 2 <1且 y 2 £ 4x }
10．已知 f (x + y, x - y) = x
2
y + xy
2
,则 f (x, y) =
.
令 x+ y = u, x- y = v, 则 x = u + v , y =
u - v
, f (x+ y)(x- y) = xy(x+ y)
2
解
2
f (u,v) = u + v u - v u = u4 (u
- v
), f (x, y) = x (x
- y
)
2
2
2
2
2
2 2
4
x
+ y
,则 f x¢(0,1) =
。 f y¢(0,1) =
11．设 f (x, y) = xy +
x
2
2
∵
f ( 0 , 1=) +0 =0
Dx
2
Dx + Dx
+1- 0 = 2
f (Dx,1) - f (0,1) =
fx¢(0,1) =
lim
lim
Dx®0
Dx
Dx
D ®
x
0
f (0,Dy +1)- f (0,1) =
lim
Dy®0
0- 0
Dy
= 0。
f y¢(0,1) =
lim
Dy
D ®
y
0
dz＝
dt
12．设 z = x
2
+ sin y, x = cost, y = t
3
,则
。
解
dzdt = -2xsint + 3t 2 cos y
d ò dò d f (x)dx =
dx
13.
.
d ò dò d f (x)dx = f (x).
dx
解: 由导数与积分互为逆运算得,
14.设 f (x)是连续函数, 且ò
x3-1 f (t)dt = x, 则 f (7) =
0
.
1
解: 两边对 x求导得3x f (x -1) =1, 令 x -1= 7, 得 x = 2, 因此 f (7) =
2 3
3
3x
= 1 .
2
12
x=2

1
2
15．若ò
+¥e-kxdx =
0
, 则k = _________。
1
2
1
+¥
ò
be-kxd(-kx)
0
答案: ∵
= ò
e-kxdx = lim
-
0
b®+¥
k
1
1
1
1
= lim - e-kx b = - lim
-kb
e =
b
®+¥
k
0
k
b®+¥
k
k
∴ k = 2
òò
16．设函数 f(x,y)连续, 且满足 f (x, y) = x f (x, y)ds + y 2
+ y £ a
, 其中 D : x ,则
2 2 2
D
f(x,y)=______________.
+ 4pa
4
解
y
2
x.
4
òò
记 A = f (x, y)ds , 则
f (x, y) = Ax + y
2
, 两端在 D上积分有:
D
òò
òò
òò
A = Axds +
y
2
ds
,
其
中
A xds = 0
(
由
对
称
性
) ,
D
D
D
jdr = pa
4
.
òò y 2ds = ò2p
dj a r
ò
3
sin
2
4
0
0
D
即
A = pa 4
, 因此, f (x, y) = y
+ pa
4
x.
2
4
4
ay
17．求曲线 y
2
= 4ax, x
2
=
所围成图形的面积为
, ( a>0)
2
2
3
解:
a
2
¥
2n -1 x
2n-2
2
n
å
18.
;
n=1
¥
2n -1 y
å
解: 令 y = x
2
, 则原幂级数成为不缺项的幂级数
n-1, 记其各项系数为bn, 因
2
n
n=1
b
2n -1× 2n+1 = 2lim 2n -1
= 2, 则- 2 < y < 2 Þ 0 £ x
2
< 2,
1
为 R = lim b
n
= lim
n®¥
n®¥ 2n 2n +
1
n®¥ 2n +
n+1
故- 2 < x < 2 .
1
2
¥
å
当 x = ± 2时, 幂级数成为数项级数
为(- 2, 2).
(2n -1), 此级数发散, 故原幂级数的收敛区间
n=1

y = 1 æ - 1 ö3
的特解为
ç x
÷ .
12 è 2ø
19．(y¢¢)2
- y¢ = 0的满足初始条件 y(1)= , y¢(1)= 1
1
12
4
= +
20．微分方程 y¢¢-3y¢ = 0的通解为 y c c2e3x .
1
21．微分方程 y¢¢+6y¢+13y = 0的通解为 y = e-3x c1 cos2x + c2 sin 2x .
(
)
22.设 n阶方阵 A满足|A|=3, 则=| 2A* -7A-1 |=
.
答案: (-1)n 1
3
-1
1
1
23. 1 -1 x是关于 x的一次多项式, 则该多项式的一次项系数是
.
1
1 -1
答案: 2;
3 1 x
24. f(x)= x 2 5是
1 4 x
次多项式, 其一次项的系数是
。
解: 由对角线法则知, f(x)为二次多项式, 一次项系数为 4。
25.A、 B、 C代表三事件, 事件”A、 B、 C至少有二个发生”可表示为 AB+BC+AC
.
(
26.事件A、 B相互独立, 且知 P(A) = 0.2,P(B) = 0.5则 P AUB) =
.
解: ∵A、 B相互独立, ∴P(AB)=P(A)P(B)
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.2+0.5–0.1=0.6
27. A, B二个事件互不相容, P(A) = 0.8,P(B) = 0.1,则 P( A- B) =
.
解: A、 B互不相容, 则 P(AB)=0, P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.8
28.对同一目标进行三次独立地射击, 第一、 二、 三次射击的命中率分别为 0.4,0.5,0.7,
则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为
.
解: 设 A、 B、 C分别表示事件”第一、 二、 三次射击时击中目标”, 则三次射击中恰
有一次击中目标可表示为 ABC + ABC + ABC, 即有
P( ABC + ABC + ABC )
=P(A) P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) =0.36
29.
已知事件 A、 B的概率分别为 P( A) ＝0.7,P( B) ＝0.6,且 P( AB) ＝0.4, 则 P( AUB)
＝
; P( A－B) ＝
;
解: P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.9
P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.7–0.4=0.3
30.
若随机事件 A和 B都不发生的概率为 p, 则 A和 B至少有一个发生的概率为
.

解: P(A+B)=1–P(A+ B) =1- P(AB) =1- p
二、 单项选择题
1．函数 f (x) = x a
x
x
-1(a > 0,a ¹ 1)(
+1
)
a
A.是奇函数;
B.是偶函数;
C.既奇函数又是偶函数;
D.是非奇非偶函数。
解: 利用奇偶函数的定义进行验证。
f (-x) = (-x) a-
a-
x
x
+-11 = -x
a-
a-
x
x
(1- a
(1+ a
x
x
)
)
= x +-11 = f (x)
a
x
a
x
因此B正确。
1
1
2．若函数 f (x + ) = x
2
+
2, 则 f (x) =(
)
x
x
A. x
2
;
B. x
2
- 2;
C.(x -1) D. x -1。
2
;
2
解: 因为 x
2
+
12 = x
2
+ 2 + 12 - 2 = (x + )2 - 2, 因此 f (x + ) = (x + )
1
1
1
2
- 2
x
x
x
x
x
则 f (x) = x
2
- 2, 故选项 B正确。
3．设 f (x) = x +1, 则 f ( f (x) +1)=(
) ．
A． x
B．x + 1
C．x + 2
D．x + 3
解
由于 f (x) = x +1, 得 f ( f (x) +1) = ( f (x) +1) +1＝ f (x) + 2
将 f (x) = x +1代入, 得 f ( f (x) +1)=(x +1) + 2 = x + 3
正确答案: D
4．已知lim( x
2
)
x®¥ x +1 - ax - b) = 0, 其中 a ,b是常数, 则(
(A) a =1,b =1,
(C) a =1,b = -1
(B) a = -1,b =1
(D) a = -1,b = -1
解. Q lim( x 2 - ax - b) = lim (1- a)x 2 - (a + b)x - b = 0 ,
x +1 x +1
\1- a = 0,a + b = 0,\a =1,b = -1答案: C
x®¥
x®¥
5．下列函数在指定的变化过程中, (
) 是无穷小量。
1
A.e
x
, (x ® ¥);
B.
sin x , (x ® ¥);
x

C. ln(1+ x), (x ®1);
D.
x +1 -1, (x ® 0)
x
解: 无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量, 因此
sin x = 0
lim
x®¥
x
而 A, C, D三个选项中的极限都不为 0, 故选项 B正确。
6．下列函数中, 在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是( )
(A) y = xsin 1x (x ® ¥) ;
(B) y = n(-1)n (n ® ¥) ;
1
1
(C) y = ln x(x ®+0);
(D) y = cos (x ® 0)
x
x
1
1 1
x =1 ,
x
解 . Q lim xsin = lim sin
故不选 (A).取 m = 2k +1 ,
则
x®¥
x
x®¥
1
k®¥ 2k +1
1
np + p
,则 lim 1 cos 1
= 0 ,故不选
x
lim n(-1) = lim
n
= 0 ,故不选 (B).取 xn
=
n®¥
n®¥
x
n
n
2
(D).答案: C
ì
1
ïxsin , x > 0, 则 f (x)在 x = 0处(
£ 0
7．设 f (x) = í
)
x
x, x
ï
î
A．连续且可导
C．不连续但可导
解: ( B)
B．连续但不可导
D．既不连续又不可导
1
lim f (x) = lim x = 0, lim f (x) = lim xsin = 0, f (0) = 0
x
x®0
-
x®0
-
x®0
+
x®0
+
因此 f (x)在 x = 0处连续
1
xsin - 0
f+¢(0) = lim f (x) - f (0) = lim
= lim sin 1x, 此极限不存在
x
x - 0
x - 0
®
0
+
x
®
0
+
+
x®0
x
从而 f+¢(0)不存在, 故 f ¢(0)不存在
8．曲线 y = x3 - x在点( 1, 0) 处的切线是(
) ．
A． y = 2x - 2
C． y = 2x + 2
B． y = -2x + 2
D． y = -2x - 2
解
由导数的定义和它的几何意义可知,

y¢(1) = (x3 - x)¢ = (3x2 -1) = 2
x=1
x=1
是曲线 y = x3 - x在点( 1, 0) 处的切线斜率, 故切线方程是
y - 0 = 2(x -1), 即 y = 2x - 2
正确答案: A
9．已知 y = 1
x
, 则 y¢¢=(
) ．
4
4
x
3
B. 3x
2
C. 6x
D. 6
A.
解
直接利用导数的公式计算:
1
y¢ = ( x
4
)¢ = x
3
,
y¢¢ = (x3)¢ = 3x2
4
正确答案: B
1
10．若 f ( ) = x, 则 f ¢(x) =(
) 。
x
A． 1
B．
1
C．-
1
D．-
1
x
x
2
x
x
2
答案: D
先求出 f (x), 再求其导数。
11． z = ln x
- y
2 2
的定义域为(
) ．
A．x
2
- y
2
³ 1
B．x
2
- y
2
³ 0C．
x
2
- y
2
> 1
D．x - y > 0
2 2
解 z的定义域为{(x, y) x2 -
y
2 > 0 }个, 选 D。
12.下列极限存在的是(
)
x
®0 x + y
1
x +
1
0 x + y
®
y®0
( A) lim
( B)
( C)
x 2
x + y
( D) lim xsin
lim
lim
x®0
y®0
x
x
x®0
y®0
y
y®0
解
A.当 P沿 x = 0时, lim f (0, y) = 0, 当 P沿直线 y = 0时, lim f (x,0) = 1, 故 lim
y®0
x®0
x®0
y®0
x
x + y
1
x + y
x2
x + y
不存在; B. lim
= ¥, 不存在; C.如判断题中 1题可知 lim
不存在; D.
x
®
0
x
®
0
y®0
y®0
1
x + y
1
x + y
因为 lim xsin
£ lim x = 0, 因此 lim xsin
= 0, 选 D
x®0
y®0
x®0
y®0
x
®
0
y®0

( ) 0, f ¢¢(x) < 0,则在(0,+¥)内
13.若 f (-x) = f (x)(-¥< x < +¥), 在 (-¥,0)内f ¢ x >
(
) .
( A) f ¢(x) > 0, f ¢¢(x) < 0
( C) f ¢(x) < 0, f ¢¢(x) < 0
( B) f ¢(x) > 0, f ¢¢(x) > 0
( D) f ¢(x) < 0, f ¢¢(x) > 0
解: 因f (x)为偶函数,则f ¢(x)为奇函数, f ¢¢(x)为偶函数,故应选(C).
14．设 f (x)为奇函数, 且 x > 0时 f ¢(x) > 0, 则 f (x)在[-10,-1]上的最大值为(
)
A． f (-10)
B． f (-1)
C． f (10)
D． f (1)
解: ( B)
因为 f (x)是奇函数, 故 f (-x) = - f (x), 两边求导 - f ¢(-x) = - ¢
f (x) , 从而
f ¢(x) = f ¢(-x), 设 x < 0, 则- x > 0, 从而 f ¢(x) = ¢ - >
f ( x) 0, 因此 f (x)在[-10, -1]
上单调增加, 故最大值为 f (-1)
15．函数 f (x, y, z) = 4(x - y) - x
2
- y
2
(
)
(A)、 有极大值 8( B) 、 有极小值 8( C) 无极值( D) 有无极值不确定
ì fx = 0 ¾¾®íìx = 2
解
fx = 4-2x, f y = -4- 2y, ïí
f = 0
îy = -2
ïî
y
H = çæ-2 0 ö
H > 0
- <2, f (2,-2) = 8为极大值 ( A)
÷
è 0 -2ø
a+T
15.设 f (x)是以T为周期的连续函数,则I = ò
f (x)dx的值(
) .
a
( A) 依赖于a,T
( B) 依赖于a,T和x
( C) 依赖于T, x, 不依赖于 a
( D) 依赖于T, 不依赖于a
解: 根据周期函数定积分的性质有,ò l+T f (x)dx = ò0
T
f (x)dx,故应选(D).
l
3
2
17.曲线 y = sin
x (0 £ x £ p )与 x轴围成的图形绕 x轴旋转所成的旋转体的体积为
(
) .
4
4
2
3
2
( B) p
( C)
p
2
( D) p
( A)
3
3
3
解: 所求旋转体的体积为
V = py
2dx = pòp sin 3 xdx = -pò
(1- cos
2
x)d cos x = -p[cos x - cos x]
3
p
0
= 4p.
p
p
ò
3
3
0
0
0

故应选(B).
p
p
4 xdx, N = ò
p (sin
2
-
sin x
ò
18.设 M =
2
2 cos
3
x + cos
4
x)dx,
p2 1+ x
2
-
p
P = ò
(x sin x - cos
2 3 4
x)dx, 则有(
) .
2
p
-
2
( A) N < P < M
( C) N < M < P
( B) M < P < N
( D) P < M < N
p
p
解: 利用定积分的奇偶性质知 M = 0, N = 2ò
cos 4
xdx > 0, P = -2ò
cos
4
xdx < 0,
2
2
0
0
因此 P < M < N, 故选( D) .
19．下列不定积分中, 常见分部积分法的是(
) 。
ò
A． xsin x 2dx
B．ò xsin(2x +1)dx
ln xdx
x
1+ x
C．ò
D．ò
dx
x
答案: B。
1
) 3 dxdy
òò
20．设 I =
(1- x
2
- y
2
, 则必有( )
x2+ y2£4
( A) I>0
(B)I<0
(C)I=0
( D) I¹ 0的符号位不能确定
4 2
ì0 £q £ 2p
解: D: í
î0 £ r £ 2
1
I = ò 2p dqò
02(1- r2)
rdr = -p × 3 (1- r 2)
> 0
3
3
0
4
0
1
21．设 f(t)是可微函数, 且 f(0)=1, 则极限( lim
òò f ( x 2 + y 2 )dxdy) (
)
pt
3
t®0
+
x2+ y2£t 2
( A) 等于 0
( B) 等于 2 f '(0)
3
(C)等于+¥
C)
( D) 不存在且非¥
2pò0t rf (r)dr
1
pt
= 2
f (t) = +¥
解: 由极坐标, 原极限 = lim
3 ò
0
2p djò0t rf (r)dr = lim
lim
pt
3
3
t
t®0
+
t®0
+
t®0
+
¥
å
22.设函数项级数 un (x), 下列结论中正确的是(
n=1
).
( A) 若函数列{un (x)}定义在区间 I上, 则区间 I为此级数的收敛区间
( B) 若 S(x)为此级数的和函数, 则余项rn(x) = S(x) - Sn(x), lim rn(x) = 0
n®¥
¥
¥
å
n=1
å
( C) 若 x0 Î I使 un (x0)收敛, 则| x |<| x0 |所有 x都使 un (x)收敛
n=1

¥
å
( D) 若 S(x)为此级数的和函数, 则 un (x0)必收敛于 S(x0)
n=1
解: 选( B) .
23.设a > 0为常数, 则级数 (-1)n(1- cos an)(
¥
) .
å
n=1
( A) 绝对收敛
( B) 条件收敛
( C) 发散
( D) 敛散性与a有关
2
¥
a
2
å
解: 因为 (-1)
n
(1- cos an) = 2sin
2
a £ a 2, 而
2收敛, 因此原级数绝对收敛.故
2n 2n
2n
n=1
选( A) .
¥
(x - a)
n
å
24.若级数 (-1)n
在 x > 0时发散, 在 x = 0处收敛, 则常数a =(
) .
n
n=1
( A) 1
( B) -1
( C) 2
( D) 2
¥
(-a)
n
¥
n (x - a)
n
n
å
å
解: 由于
(-1)n
收敛, 由此知 a £ 1.当-1< a £1时, 由于 (-1)
的收
n
n=1
n=1
敛半径为1, 因此该幂级数在区间(a -1,a +1)内收敛, 特别地, 在(0,a +1)内收敛, 此与幂
级数在 x > 0时发散矛盾, 因此 a = -1.故选( B) .
25. y¢¢+ 2y¢+5y = e-x
cos2x的特解可设为(
)
( A) y* = e-x A
* = xe -x Acos2x;
( B) y
cos2x;
( C) y
*
= xe -
x(Acos2x + Bsin2x);
( D) y* = e-x(Acos2x + Bsin2x).
解: C
26.微分方程的阶数是指(
)
( A) 方程中未知函数的最高阶数;
( C) 方程中未知函数的最高次数;
解: B
( B) 方程中未知函数导数或微分的最高阶数;
( D) 方程中函数的次数.
27.下面函数(
)能够看作某个二阶微分方程的通解.
( A) x
2
+ y
2
= c;
( B) y = c1x
2
+ c2x + c3;
( C) y = c1 sin 2 x + c2 cos 2 x;
( D) y = ln(c1x)+ ln(c2 cos x).
解: C
28.A、 B均为 n阶可逆矩阵, 则 A、 B的伴随矩阵 (AB)* =(
) .
( A) A*B*;
解答: D
( B) | AB | A-1B -1; ( C) B-1A-1
( D) B* A*;
29.设 A、 B均为 n阶方阵, 则必有[
]。

(A) |A+B|=|A|+|B|
(C) |AB|=|BA|
(B) AB=BA
(D) (A+B)–1=A–1+B–1
解: 正确答案为(C)
30.A,B都是 n阶矩阵,则下列各式成立的是
(
)
=
AT BT
( B) (A+ B)T = AT + BT
( A) (AB)T
( C) (AB)-1 = A-1B-1
( D) (A+ B)-1 = A-1 + B-1
解答: B
31.在随机事件A, B, C中, A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表
示为(
)
( A) ACUBC
解由事件间的关系及运算知, 可选( A)
32.袋中有5个黑球, 3个白球, 大小相同, 一次随机地摸出4个球, 其中恰有3个白球的
( B) ABC
( C) ABCUABCUABC( D) AUBUC
概率为(
)
3
8
æ 3ö5 1
( B) ç ÷
è 8ø 8
æ 3ö3 1
è 8ø 8
5
( D)
( A)
( C) C
4
8
ç ÷
C
4
8
解基本事件总数为C8
4
, 设 A表示”恰有 3个白球”的事件, A所包含的基本事件数
为C5
1=5, 故 P(A)= C584, 故应选( D) 。
( )
( )
1
( )
2
((
) )
33.已知0＜P B＜1, 0＜P A＜1, 0＜P A＜1, 且P A1 U A2 | B
= P(A1 | B) +P( A2 | B),则下列选项成立的是(
)
((
) ) (
) (
)
( A) P A1 U A2 | B = P A1 | B + P A2 | B ;
((
) ) ( ) ( )
1 2
( B) P A1 UA2 | B = P A + P A
(
) = ( ) (
)+ ( ) (
)
( C) P A1BUA2B P A P B | A1 P A P B | A2
1
2
( D) P(B) = ( ) (
P A P B | A1 P A P B | A2
)+ ( ) (
)
1
2
解
由题可知 A1、 A2互斥, 又 0<P(B)<1, 0<P(A1)<1, 0<P(A2)<1, 因此
P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B)–P(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)
故应选( C) 。

三、 解答题
1.设函数
ì
ï
1
xsin + b x < 0
x
f (x) = ïí
a
x = 0
x > 0
ï
sin x
ï
î
x
问( 1) a,b为何值时, f (x)在 x = 0处有极限存在?
( 2) a,b为何值时, f (x)在 x = 0处连续?
解: ( 1) 要 f (x)在 x = 0处有极限存在, 即要 lim f (x) = lim f (x)成立。
®0
-
+
x®0
x
1
因为 lim f (x) = lim (xsin + b) = b
®0-
®0-
x
x
x
sin x = 1
lim f (x) = lim
x
x®
0
+
x®0
+
因此, 当b = 1时, 有 lim f (x) = lim f (x)成立, 即b = 1时, 函数在 x = 0处有极限
®0
-
+
x®0
x
存在, 又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关, 因此此时 a能够取任意值。
( 2) 依函数连续的定义知, 函数在某点处连续的充要条件是
lim f (x) = lim f (x) = f (x0)
®
x
0
-
x
®x
+
0
x
于是有b =1= f (0) = a, 即a = b =1时函数在 x = 0处连续。
2．已知lim x 3 + ax
2
+ b = 8, 试确定 a和b的值
x - 2
x®2
解. Q lim x
3
+ ax
2
+ b = 8,\lim(x 3
+ ax + b = + a + b = 0 ,即b = -8- 4a
) 8 4
2
x - 2
x®2
x
®
2
\lim x 3
+ ax
2
+ b = lim x 3
+ ax
2
- 4a - 8 = lim[x
+ (a + 2)x + 2a + 4]= 4a +12 = 8,
2
x - 2
x - 2
x®2
x®2
x®2
\a = -1,故b = -4
ì
ï
1
x-1
e
,
x > 0
3．设 f (x) = í
, 求 f (x)的间断点, 并说明间断点的所属类型
ïîln(1+ x),-1< x £ 0
1
1
解. f (x)在 (-1,0),(0,1),(1,+¥)内连续 ,
lim e x-1 = ¥ , lim e x-1 = 0 , f (0)= 0 ,因此 ,
x®1+
x®1
-

1
x =1是 f (x)的第二类无穷间断点; lim f (x)= lim e x-1
,
= e -1
x®0+
x®0+
lim f (x)= lim ln(1+ x)= 0 ,因此 x = 0是 f (x)的第一类跳跃间断点.
x®0
-
x®0
-
4．求方程中 y是 x的隐函数的导数
( 1) xy - e x + e y =1, y¢
解: 方程两边对自变量 x求导, 视 y为中间变量, 即
(xy)¢- (ex )¢+ (e y )¢ =1¢
+ e
y + xy¢- e