高中数学必修四全册学案人教课标版(精美教案).doc

目录第一章 三角函数1.1.1任意角1.1.2 弧度角 1.2.1 任意角的三角函数() 1.2.1 任意角的三角函数() 1.2.2 同角三角函数的关系() 1.2.2 同角三角函数的关系() 1.2.3 三角函数的诱导公式() 1.2.3 三角函数的诱导公式() 1.2.3 三角函数的诱导公式() 1.3.1 三角函数的周期性 1.3.2 三角函数的图象和性质() 1.3.2 三角函数的图象和性质() 1.3.2 三角函数的图象和性质() 1.3.3 函数的图象() 1.3.3 函数的图象() 1.3.4 三角函数的应用三角函数复习与小结 第二章 平面的向量 向量的概念及表示2.2.1 向量的加法2.2.2 向量的减法2.2.3 向量的数乘() 2.2.3 向量的数乘() 2.3.1 平面向量的基本定理 2.3.2 向量的坐标表示()2.3.2 向量的坐标表示()2.4.1 向量的数量积() 2.4.1 向量的数量积()第三章 三角恒等变换3.1.1 两角和与差的余弦公式 3.1.2 两角和与差的正弦公式 3.1.3 两角和与差的正切公式 3.2.1 二倍角的三角函数() 3.2.1 二倍角的三角函数() 第一章 三角函数1.1.1 任意角【学习目标】1 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念2 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角【自主学习】一、复习引入问题：回忆初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围是什么？问题：在体操、跳水中，有“转体”这样的动作名词，这里的“”，怎么刻画？二、建构数学角的概念角可以看成平面内一条绕着它的从一个位置到另一个位置所形成的图形。射线的端点称为角的，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的和。角的分类按方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个，它的和重合。这样，我们就把角的概念推广到了，包括、和。.终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个，即任一与角终边相同的角，都可以表示成。象限角、轴线角的概念我们常在 直角坐标系 内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的与重合，角的与重合。那么，角的(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是。如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为。象限角的集合（）第一象限角的集合：（）第二象限角的集合：（）第三象限角的集合：（）第四象限角的集合：轴线角的集合（）终边在轴正半轴的角的集合：（）终边在轴负半轴的角的集合：（）终边在轴正半轴的角的集合：（）终边在轴负半轴的角的集合：（）终边在轴上的角的集合：（）终边在轴上的角的集合：（）终边在坐标轴上的角的集合：三、课前练习在直角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。【典型例题】例 （）钟表经过分钟，时针和分针分别转了多少度？ （）若将钟表拨慢了分钟，则时针和分针分别转了多少度？例 在的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角。（） （） （） （）例 已知角的终边相同，判断是第几象限角。例 写出终边落在第一、三象限的角的集合。例 写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界） （）（）（）【拓展延伸】已知角是第二象限角，试判断为第几象限角？【巩固练习】、设，则与角终边相同的角的集合可以表示为.、把下列各角化成的形式，并指出它们是第几象限的角。（） （） （） （）、终边在轴上的角的集合;终边在直线上的角的集合;终边在四个象限角平分线上的角的集合.4、 终边在角终边的反向延长线上的角的集合.5、 若角的终边与角的终边关于原点对称，则；若角的终边关于直线对称，且，则。6、 集合，则、若是第一象限角，则的终边在【课后训练】1、 分针走分钟所转过的角度为;时针转过的角度为.、若，则的范围是，的范围是.、（）与终边相同的最小正角是; （）与终边相同的最大负角是; （）与终边相同且绝对值最小的角是; （）与终边相同且绝对值最小的角是.、与终边相同的在之间的角为.、已知角的终边相同，则的终边在.、若是第四象限角，则是第象限角；是第象限角。、若集合，集合，则、已知集合，下列说法：（），（），（），（）其中正确的是.、角小于而大于，它的倍角的终边又与自身终边重合，求角。、已知与角的终边相同，分别判断是第几象限角。【课堂小结】【布置作业】（编者：李春林）1.1.2 弧度制【学习目标】3 理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数4 掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题5 了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系【学习重点、难点】弧度的概念，弧度与角度换算【自主学习】一、复习引入请同学们回忆一下初中所学的的角是如何定义的？二、建构数学弧度制角还可以用为单位进行度量，叫做弧度的角，用符号表示，读作。弧度数：正角的弧度数为，负角的弧度数为，零角的弧度数为如果半径为的圆心角所对的弧的长为，那么，角的弧度数的绝对值是。 这里，的正负由决定。角度制与弧度制相互换算 角的概念推广后,在弧度制下,与之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即)与它对应;反过来,每一个实数也都有(即)与它对应。弧度制下的弧长公式和扇形面积公式： 角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径） 弧长公式： 扇形面积公式：【典型例题】例把下列各角从弧度化为度。 （） （） （） （） （）例把下列各角从度化为弧度。 （） （） （） （） （）例（）已知扇形的周长为，圆心角为，求该扇形的面积。（）已知扇形周长为，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数。例已知一扇形周长为（），当扇形圆心角为何值时，它的面积最大？并求出最大面积。【巩固练习】、特殊角的度数与弧度数的对应。度数弧度数、若角，则角的终边在第象限；若，则角的终边在第象限。、将下列各角化成，的形式，并指出第几象限角。（） （） （） （）、圆的半径为，则的圆心角所对的弧长为；扇形的面积为。、用弧度制表示下列角终边的集合。（）轴线角 （）角平分线上的角 （）直线上的角、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么该圆弧的圆心角等于。【课堂小结】【布置作业】 （编者：李春林）2.2.2任意角的三角函数（）【学习目标】6 掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义7 会用三角函数线表示任意角三角函数的值8 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号【学习重点、难点】任意角的正弦、余弦、正切的定义【自主学习】一、复习旧知，导入新课在初中，我们已经学过锐角三角函数：角的范围已经推广，那么对任意角是否也能定义其三角函数呢？二、建构数学在平面直角坐标系中，设点是角终边上任意一点，坐标为,它与原点的距离，一般地，我们规定：比值叫做的正弦,记作,即；比值叫做的余弦,记作,即；比值叫做的正切,记作,即.当时, 的终边在轴上,这时点的横坐标等于,所以无意义.除此之外,对于确定的角,上面三个值都是.所以, 正弦、余弦、正切都是以为自变量,以为函数值的函数,我们将它们统称为.由于与之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为的函数.其中，和的定义域分别是；而的定义域是.根据任意角的三角函数定义将这三种函数的值在各象限的符号填入括号。 【典型例题】例已知角的终边经过点，求的正弦、余弦、正切的值。变题 已知角的终边经过点，求的正弦、余弦、正切的值。变题 已知角的终边经过点，且，求的值例已知角的终边在直线上，求的正弦、余弦、正切的值例确定下列三角函数值的符号：（）（）（）（）例若两内角、满足，判断三角的形状。【巩固练习】、已知角的终边过点（）的值为 、是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 、填表：a弧度、已知角的终边过点（4a,3a）（）,则的值是、若点(，)是角终边上一点，且，则的值是、是第二象限角，（,）为其终边上一点，且，则的值为【课堂小结】【布置作业】 （编者：李春林）任意角的三角函数（）【学习目标】、掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义、会用三角函数线表示任意角三角函数的值、掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号【学习重点、难点】会用三角函数线表示任意角三角函数的值【自主学习】一、复习回顾单位圆的概念：在平面直角坐标系中，以为圆心，以为半径的圆。有向线段的概念：把规定了正方向的直线称为； 规定了（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段。有向线段的数量：若有向线段在有向直线上或与有向直线，根据有向线段与有向直线的方向或，分别把它的长度添上或，这样所得的叫做有向线段的数量。三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过点作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，设它与的终边（当为第象限角时）或其反向延长线（当为第象限角时）相交于点。根据三角函数的定义：；。【典型例题】例作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：例利用三角函数线比较大小: :; 例解下列三角方程变题解下列三角不等式变题求函数的定义域.【巩固练习】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线利用余弦线比较的大小；若，则比较、的大小；分别根据下列条件，写出角的取值范围： （） ； （） ； （）当角，满足什么条件时，有若，写出角的取值范围。【课堂小结】【布置作业】 （编者：李春林）.2.2同角三角函数的关系（）【学习目标】1、 掌握同角三角函数的两个基本关系式2、 能准确应用同角三角函数关系进行化简、求值3、 对于同角三角函数来说，认清什么叫“同角”，学会运用整体观点看待角4、 结合三角函数值的符号问题，求三角函数值【重点难点】同角三角函数的两个基本关系式和应用【自主学习】一、数学建构：同角三角函数的两个基本关系式：; .二、课前预习：、，则的值等于、化简：【典型例题】例1、 已知，并且是第二象限角，求的值变：已知，求的值例、已知，求的值解题回顾与反思：通过以上两个例题，你能简单归纳一下对于和的“知一求二”问题的解题方法吗？例、化简（） （） （）（是第二象限角） （）【课堂练习】、已知，求和的值、化简、若为二象限角，且，那么是第几象限角。【课堂小结】（编者：鲁明耀）.2.2同角三角函数的关系（）【学习目标】1、 能用同角三角函数关系解决简单的计算、化简与证明2、 掌握“知一求二”的问题【重点难点】奇次式的处理方法和“知一求二”的问题【自主学习】一、 复习回顾：1、 同角三角函数的两个基本关系式：2、 有何关系？（用等式表示）二、 课前练习、已知则、若，则；【典型例题】例1、 已知求下列各式的值（） （） （）例、求证：（） （）例、已知,求的值例、若（）求的值； （）求的值【课堂练习】、已知,则的值等于 、已知是第三象限角，且，则、如果角满足,那么的值是 、若是方程的两根，则的值为5、 求证：【课堂小结】（编者：鲁明耀）.2.3三角函数的诱导公式（）【学习目标】1、 巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式2、 能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值3、 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程4、 准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值口诀：函数名不变，符号看象限【重点难点】诱导公式的推导与运用【自主学习】1、 利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值：为角的终边与单位圆的交点，则2、 诱导公式由三角函数定义可以知道：（1） 终边相同的角的同一三角函数值相等。 公式一（）：; ; .()当角的终边与角的终边关于轴对称时，与的关系为：公式二（）：; ; .()当角的终边与角的终边关于轴对称时，与的关系为：公式三（）：; ; .()当角的终边与角的终边关于原点对称时，与的关系为：公式四（）：; ; .思考：这四组公式可以用口诀“函数名不变，符号看象限”来记忆，如何理解这一口诀？【典型例题】例、求下列三角函数值：（）； （）； （）例、化简：例、判断下列函数的奇偶性：（）； （）（）例、求证【课堂练习】1、 求下列各式的的值（） （） （）2、 判断下列函数的奇偶性：（） （）)、化简：【课堂小结】（编者：鲁明耀）.2.3三角函数的诱导公式（）【学习目标】1、 能进一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值2、 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程3、 进一步准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值。口诀：奇变偶不变，符号看象限【重点难点】诱导公式的推导和应用【自主学习】、复习四组诱导公式：函数名不变，符号看象限、已知：求的值3、 若角的终边与角的终边关于直线对称（如图），（1） 角与角的正弦函数与余弦函数值之间有何关系？（2） 角与角有何关系？（3） 由（），（）你能发现什么结论？当角的终边与角的终边关于对称时，与的关系为：公式五（）：; ; .思考：若角的终边与角的终边关于直线对称，你能得到什么结论？当角的终边与角的终边关于对称时，与的关系为：公式六（）：; ; .思考：这六组公式可以用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，如何理解这一口诀？【典型例题】例1、 求证：，例2、 化简：（）（）例、已知，且，求【课堂练习】1、 求证：，2、 化简： （）、已知，是第三象限角，求的值、判断函数的奇偶性、求值：【课堂小结】（编者：鲁明耀）.2.3三角函数的诱导公式（）【学习目标】1、 能进一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值2、 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程3、 进一步准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值。【重点难点】诱导公式的综合应用【自主学习】、若则、化简：、化简：【典型例题】例1、 已知，求的值例2、 已知，为的三个内角，求证：例3、 若求满足时的的值例、已知，求证：【课堂练习】、若求的值、在中，若试判断的形状。、已知是关于的方程的两实根，且求的值、已知是第三象限角，且（1） 化简 （）若求的值（2） 若求的值【课堂小结】（编者：鲁明耀）1.3.1 三角函数的周期性【学习目标】1、 理解三角函数的周期性的概念；2、 理解三角函数的周期性与函数的奇偶性之间的关系；3、 会求三角函数的最小正周期，提高观察、抽象的能力。【重点难点】函数周期性的概念；三角函数的周期公式一、 预习指导1、 对于函数，如果存在一个，使得定义域内的值，都满足，那么函数叫做，叫做这个函数的。思考：一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？2、 对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的。（注：今后研究函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期）思考：是否所有的周期函数都有最小正周期？、及（）型的三角函数的周期公式为。二、 典型例题例、若摆钟的高度（）与时间()之间的函数关系如图所示。（）求该函数的周期；（）求时摆钟的高度。例、求下列函数的周期：（） （） （）例、若函数，（其中）的最小正周期是，且，求的值。例、已知函数，满足对一切都成立，求证：是的一个周期。三、 课堂练习1、 求下列函数的周期：（） （）2、 若函数的最小正周期为，求正数的值。、若弹簧振子对平衡位置的位移与时间之间的函数关系如图所示：()求该函数的周期；()求时弹簧振子对平衡位置的位移。四、 拓展延伸1、 已知函数，其中，当自变量在任何两整数间（包括整数本身）变化时，至少含有一个周期，则最小的正整数为。、已知函数，求。【课堂小结】（编者：高继成）1.3.2三角函数的图象与性质（）【学习目标】、能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由平移正弦曲线的方法画出余弦函数的图象；、会用五点法画出正弦曲线和余弦曲线在一个周期上的草图；、借助图象理解并运用正、余弦函数的定义域和值域。【重点难点】五点法作正、余弦函数的图象；正、余弦函数的定义域和值域。一、 预习指导（一） 平移正弦线画出正弦函数的图象：1、 在单位圆中，作出对应于的角及对应的正弦线；2、 作出在区间上的图象：（）平移正弦线到相应的位置；（）连线3、 作出在上的图象（二） 用五点法画出正弦函数在区间上的简图（三） 平移正弦曲线的方法画出余弦函数的图象：思考：、的图象有什么关系？为什么？、由的图象怎样作出的图象？请在下图中画出的图象。（四）用五点法画出余弦函数在区间上的简图（四） 仔细观察正弦曲线和余弦曲线，总结正弦函数与余弦函数的性质：（）定义域：（）值域： 对于：当且仅当时， ；当且仅当时，；对于；当且仅当时， ；当且仅当时，。二、 典型例题例1、 画出下列两组函数的简图：（） ； （） ； 例2、 求下列函数的最大值及取得最大值时的自变量的集合：（） （）例3、 求函数的定义域。例4、 求函数的值域。三、 课堂练习1、 下列等式有可能成立吗？为什么？（） （）2、 画出下列函数的简图，并比较这些函数与正弦曲线的区别与联系：（） （）3、 求下列函数的最小值及取得最小值时的自变量的集合：（） （）4、 求下列函数的定义域：（）（）已知的定义域为，求的定义域。四、 拓展延伸试作出函数的图象。【课堂小结】（编者：高继成）1.3.2三角函数的图象与性质（）【学习目标】1、 借助正、余弦函数的图像，说出正、余弦函数的图像性质；2、 掌握正、余弦函数的图像性质，并会运用性质解决有关问题；【重点难点】正、余弦函数的图像与性质一、 预习指导正弦函数与余弦函数的性质：（）定义域：（）值域： 对于：当且仅当时， ；当且仅当时，；对于；当且仅当时， ；当且仅当时，。（）周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，并且周期都是。（）奇偶性：是，其图像关于对称，它的对称中心坐标是，对称轴方程是；是，其图像关于对称，它的对称中心坐标是，对称轴方程是。（）单调性：在每一个闭区间上，是单调增函数.在每一个闭区间上，是单调减函数.在每一个闭区间上，是单调增函数.在每一个闭区间上，是单调减函数.思考：正、余弦函数的图像的这些性质可以从单位圆中的三角函数线得出吗？二、 典型例题例5、 判断下列函数的奇偶性：（）() ()例6、 比较下列各组中两个三角函数值的大小：（）、 （）、例、 求函数的单调增区间。思考：的单调增区间怎样求呢？例、求下列函数的对称轴、对称中心：（） （）三、课堂练习、判断下列函数的奇偶性：（） （）（）、下列函数的单调区间：（）（）3、 函数的值域为、比较下列各组中两个三角函数值的大小：（）、 （）、四、拓展延伸求下列函数的值域：（）（）（）【课堂小结】（编者：高继成）1.3.2三角函数的图象与性质（）【学习目标】、能正确作出正切函数图像；、借助图像理解正切函数的性质；【重点难点】正切函数的图像与性质三、 预习指导、利用正切线来画出的图像. 、正切函数的图像：、定义域：；、值域：；、周期性：；、奇偶性：是函数，其图像关于对称，它的对称中心为、单调性：正切函数在每一个开区间上是单调增函数。思考：正切函数在整个定义域内是单调增函数吗？答：四、 典型例题例、求函数的定义域、周期和单调区间.例、已知求的最小值。变式：已知的最小值，求的值。例、已知函数的图象与轴相交于两个相邻点的坐标为和且经过点，求其解析式.三、课堂练习、观察正切函数的图像，分别写出满足下列条件的的集合：（）（）、求下列函数的定义域:（）（）、求函数的值域。、函数与的图像在上有个交点。、函数的奇偶性是。四、拓展延伸若函数的最大值为，求实数的值。【课堂小结】（编者：高继成）1.3.3函数的图像（）【学习目标】：1、 了解函数的实际意义；2、 弄清与函数的图像之间的关系；3、 会用五点法画函数的图像；【重点难点】：五点法画函数的图像一、预习指导、函数与函数图像之间的关系：()函数的图像是将的图像向平移个单位长度而得到；()函数的图像是将的图像向平移个单位长度而得到； 一般地，函数的图像，可看作把正弦曲线上所有点向或向平行移动个单位长度而得到，这种变换称为相位变换(平移交换).、 函数与函数图像之间的关系：()函数的图像是将的图像上所有点的坐标变为原来的倍（坐标不变）而得到；()函数，的图像是将的图像上的所有点坐标变为原来的倍（坐标不变）而得到；一般地，函数，的图像，可看作把正弦曲线上所有的纵坐标原来的倍（横坐标不变）而得到，这种变换关系称为. 因此，的值域是.3、 函数与图像之间的关系：()函数，的图像时将的图像上所有点坐标变为原来的倍（坐标不变）而得到；()，的图像是将的图像上的所有点的坐标变为原来的倍（坐标不变）而得到； 一般地，函数的图象可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)而得到的，这种变换称为.、函数与图象之间的关系()函数的图象是将函数的图象向平移个单位长度而得到；()函数的图象是将函数的图象向平移个单位长度而到. 一般地，函数的图象可以看作是把的图象上所有的点向左()或向右()平移个单位长度而得到的.二、典例分析：例 、()函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到()将函数的图象上所有的点得到的图象， 再将的图象上的所有点可得到函数 的图像.()要得到的图像，只需将函数的图像.()要得到函数的图像，需将函数的图像.()已知函数，若将的图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍,然后将整个函数图象向上平移个单位，得到曲线与的图象相同 ,则的解析式是.例、要得到的图象，需要将函数的图象进行怎样的变换例、已知函数 在一个周期内，当时， 有最大值为 ，当时，有最小值为 . 求函数表达式，并画出函数在一个周期内的简图。(用五点法列表描点)三、课堂练习：、将函数的图象向右平移个单位，再向上平移 个单位后可得到函数、已知，则的图象 ( ). 与图像相同 . 与图象关于轴对称. 向左平移个单位得到的图象 . 向右平移个单位得到的图象、将函数图象上每一点的纵坐标变为原来的，横坐标变为原来的，再将整个图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，则函数.四、拓展延伸： 经过怎样的变换可由函数的图象得到的图象【课堂小结】 (编者：吴君彩)1.3.3函数的图像（）【学习目标】：. 能由正弦函数的图象通过变换得到的图象；. 会根据函数图象写出解析式；. 能根据已知条件写出 中的待定系数，. 【重点难点】：根据函数图象写出解析式一、预习指导表示一个振动量时，振幅为，周期为，频率为，相位为，初相为.二、典例分析：例、若函数 表示一个振动量： ()求这个振动的振幅、周期、初相； ()画出该函数的简图并说明它与的图象之间的关系； ()写出函数的单调区间.例、已知函数一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式.例、已知函数的最小值是，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差 ，且图象经过点，求这个函数的解析式.例、将函数的图象向右平移个单位，得到的图象恰好关于直线对称，求的最小值.三、课堂练习：、函数的图象可以看作是由函数的图象得到的.、先将函数的周期扩大为原来的 倍，再将新函数的图象向右平移个单位，则所得图象的函数解析式为、若函数图象上的一个最高点是，由这个最高点到相邻最低点的一段曲线与轴交于点，求这个函数的解析式.、已知函数的最小正周期不大于，求正整数的最小值.5、 求函数的周期、单调区间和最大值、最小值.四、拓展延伸：、为了得到的图象，可以将函数的图象、已知方程有两解，试求实数的取值范围。【课堂小结】 (编者：吴君彩)1.3.4三角函数的应用【学习目标】：.会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期现象的重要模型.培养学生的逻辑思维能力和运算能力.【重点难点】：建立三角函数的模型一、预习指导