人教版九年级上册-初中数学中考知识点聚焦+第二十二章++统计初步.docx

专题八统计与概率
第二十二章统计初步

高频考点
考查频率
所占分值
考情分析
1.用样本估计总体
2.数据分析中的平均数、众数、中位数
3.数据分析中的方差、标准差、极差
4.条形统计图、扇形统计图、折线统计图
5.频数、频率
6.频数分布表、频数分布直方图及频数折线图
★★★
★★
★
★★★
★★
★★★
9～12分
智能图谱

第51讲全面调查与抽样调查
知识能力解读
（一）全面调查和抽样调查
（1）全面调查：考察全体对象的调查叫作全面调查（也叫普查）.
（2）抽样调查：只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种调查办法称为抽样调查.
（二）总体、个体、样本、样本容量（拓展）
总体是指要考察的全体对象，个体是指组成总体的每一个考察对象，从总体中取出的一部分个体叫作这个总体的一个样本，样本中个体的数量叫作样本容量.
注意
总体和个体是特指数据，是表示事物某一特征的数据，不是指事物本身.
（三）随机抽样
在抽取样本的过程中，总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽样方法是一种简单随机抽样.
具体做法是：（1）将每个个体编号；（2）将写有这些编号的纸条或小球放入盒子并搅匀；（3）用抽签的方法抽出一个编号，这个编号对应的个体就被选入样本. 也可使用计算器产生随机数来模拟试验.
（四）等距抽样（拓展）
从总体中抽取样本时，每隔一定的间隔抽取一个个体的方法叫等距抽样，如抽取等号码就是一种等距抽样.
（五）分层抽样（拓展）
先将总体分成几层，然后再在各层中进行简单随机抽样的方法叫分层抽样.
注意
用分层抽样的方式所获得的样本，一般具有较好的、广泛的代表性和合理性，因此在实践中应用较普遍.
（六）用样本估计总体
在抽样调查中，如果抽取样本的方法得当，一般样本能客观地反映总体的情况，抽样调查的结果会比较接近总体的情况. 所以当样本容量取得恰当，且抽样的方法科学时，可以用样本的特征来估计总体的特征.
注意
用样本估计总体时，样本必须具有代表性.
方法技巧归纳
（一）调查方式的选择方法
（1）判断一种调查方式是否合适，要看这种调查方式是否具有可行性和代表性.（2）在现实生活中，用简单的随机抽样方法选中的样本要既有代表性，又有随机性，在不影响样本代表性的前提下，也可以釆取另外的抽样方法，但应该保证调查对象在总体中有代表性.
点拨
普查适合于所调查的数据较少，所费的人力、物力较少的情况，抽样调查适合于不追求精确的数据信息或者收集数据所费人力、物力、时间较多的情况.
（二）简单随机抽样的判別方法
样本的选取方法是否为简单随机抽样，一般从以下几个方面来判断：（1）选取的样本是否具有代表性；（2）选取的样本容量是否合适；（3）选取的样本各层次是否有遗漏；（4）样本是否可代表总体.
点拨
选取样本时，容量越大，样本的情况越能反映总体的情况，因此抽样时样本容量要合适，而且要保证每个个体都有可能成为调查对象.
（三）总体、个体、样本、样本容量的识别方法
对于抽样调查中总体、个体、样本、样本容量的识别主要依据定义，明确考察对象，正确区分并作出判断.
（四）用样本估计总体的方法
利用样本估计总体，常见的是用样本平均数估计总体平均数，用样本方差估计总体方差，用样本频数分布估计总体频数分布等.
易混易错辨析
易混易错知识
1.全面调查与抽样调查相混淆.
全面调查与抽样调查是进行调查、收集数据的两种方式，这两种方式各有所长，各有所短.全面调查收集的数据全面而精确，但却需要花费大量的时间、人力和物力；抽样调查虽然省时、省力，但收集的数据没有全面调查那样准确.
2.抽样调查时，选取的样本不合理.
在选取样本时，由于对样本不理解，选出的样本不具有代表性而出现错误.
对抽样调查的样本选取认识错误
中考试题研究
中考命题规律
本讲在中考中主要考查调查方式的选择以及用样本估计总体的思想，题目内容多与实际相联系，特别是图表信息题及具有时代气息的题目更是中考的热点，题型常以选择题、填空题、解答题的形式出现，多为中低档题.
（一）调查方式的选择
（二）样本与总体
（三）用样本估计总体
第52讲数据的收集、整理与描述
知识能力解读
（—）收集数据的一般步骤
第一步：明确调查问题；第二步：确定调查对象；第三步：选择调查方法；第四步：展开调查；第五步：记录结果；第六步：得出结论.
（二）数据的整理
数据的整理方法：列表法.
对于收集到的数据，往往需要整理才能看出数据的分布规律，常采用表格，利用划记法来整理数据，从而可以清楚地看出所需要调查的情况.所谓划记法就是用“正”字的每一划（笔画）代表一个数据.
（三）扇形统计图
用圆代表总体，每一个扇形代表总体中的一部分，通过扇形的大小来反映各个部分占总体的百分比，这样的统计图叫作扇形统计图.
（1）通过扇形统计图可清楚地表示出各部分数量占总数量的百分比.
（2）扇形统计图中所有扇形表示的百分比之和为1.
绘制扇形统计图的一般步骤：
（1）将数据分组整理，列出统计表；
（2）分别计算各部分在整体中所占的百分比；
（3）分别计算各部分相应的扇形圆心角的度数；
（4）用圆规画圆，再利用量角器作出各圆心角，从而把圆面按百分比分成若干个扇形；
（5）分别将各部分占整体的百分比及相应的名称标注在扇形上，并填写标题.
（四）条形统计图
条形统计图一般是由两条互相垂直的数轴和若干长方形组成，两条数轴分别表示两个不同的项目，长方形的高表示其中一个项目的数据.
条形统计图的作用：能清晰地表示各个项目的实际数据.
（五）折线统计图
折线统计图是用一个单位长度来表示一定的数量，用折线起伏来表示数量增减变化的一种统计图.
绘制折线统计图的一般步骤：
（1）画出横纵两条互相垂直的数轴（有时不画箭头）分别表示两个不同的项目；
（2）根据横纵各个方向上的各对对应的项目数据描点；
（3）用线段依次把相邻两点连接起来.
折线统计图的作用：能清晰地显示各个项目的数据在一段时间内的变化，分析数据的变化趋势.
（六）频数分布直方图
（1）定义：根据频数的分布绘制的条形统计图叫作频数分布直方图.
（2）结构：频数分布直方图由横轴、纵轴、条形图三部分组成.横轴表示分组情况，纵轴表示频数，条形图是直方图的主体部分，每一条都是立于横轴之上的一个矩形，底边长都相等，且等于组距，高分别等于各组的频数.
（3）画频数分布直方图的步骤：①计算极差；②决定组距与组数；③决定分点，写出各组范围；④列出频数分布表⑤画出频数分布直方图.
（4）相关概念：①组距：把所有的数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距.②频数：落在各个小组内的数据的个数称为频数.
（七）频数折线图
为了更直观地反映数据的变化规律，我们也常常采用频数折线图.在频数分布直方图中，把每个小矩形的上端宽的中点顺次连接，就得到频数折线图.
（八）统计图表的选择
常见的统计图表有频数分布表、扇形统计图、频数分布直方图和频数折线图，它们都能在各个范围之内直观清楚地反映数据.
扇形统计图能准确地反映出各部分数量占总数量的百分比.
频数分布直方图能准确地反映出各部分的具体数量.
频数折线图则能反映出各部分数据的变化趋势. 因此要想准确地反映数据的不同特征，就要选择合适的统计图表.
注意
（1）如果需要表示的数据是分散的，并且需要清晰地表示各组的实际数据，那么使用条形统计图较为适宜.
（2）如果需要表示各组数据占整体的百分比，那么使用扇形统计图较为适宜.
（3）如果需要清晰地显示各组的数据在一段时期内的变化，或分析数据的变化趋势，那么使用折线统计图较为适宜.
方法技巧归纳
（一）收集数据的方法
收集数据时，应首先明确要调查的问题，确定要调查的对象；其次，选用合适的调查方法进行调查，并正确记录调查结果，通过对记录结果的分析，得出结论.
（二）统计图表的应用
统计表：将收集到的数据制成表格的形式，使数据直观、清楚，便于进行分析；
条形统计图：能清楚地反映每个项目的具体数目；
折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况；
扇形统计图：能清楚地反映出各部分在总体中所占的比例.
（三）条形图与直方图的识別技巧
条形图和直方图非常相似，但又有区别，我们要区分清楚：条形图和直方图都用来描述数据，这是它们的相同之处.但它们的侧重点不同：条形图突出各组的具体数据，侧重比较数据之间的差别，而直方图侧重表示各组频数的分布情况，用于判别各组之间的频数的差别. 从图表上看，条形图横轴上的数据是孤立的；而直方图横轴上的数据是连续的；条形图中，各长方形是分开的；而直方图中，各长方形是靠在一起的.
（四）从统计图中获取信息的技巧
对于多种统计图综合考查的题目，要利用它们提供的信息解答问题，注意不同统计图中相关数据的对应关系.
易混易错辨析
易混易错知识
1.条形图与直方图.
条形图与直方图是极其相似的，但又有所不同：条形图突出各組的具体数据，横轴上的数据是独立的，各长方形是分开的；直方图侧重各组频数的分布情况，横轴上的数据是连续的，各长方形是靠在一起的.
2.扇形统计图所表示的意义.
扇形统计图形象地表示了每一部分所占总体比例的大小，而不是表示每部分的大小.
3.对频数分布直方图中小矩形的长和宽表示的意义理解不到位致错.
（一）绘制扇形统计图时，计算各部分的百分比之和不等于100%而出错
（二）绘制图形不标准致错
中考试题研究
中考试题研究
本讲的考点也是中考的热点之一，主要考查频数的计算、各种统计图表的设计以及对统计得到的数据和制作的统计图表进行分析，从中获取有用的信息，题型多以选择题、填空题出现，有时也有较简单的解答题，多为中、低档的题目.
（一）获取图表信息
由统计图表获取信息，关键是明确图表中数据所表示的意义，依据所表示的实际意义获取正确的信息.
（二）利用统计图表解决实际问题
第53讲平均数、中位数和众数
（一）平均与加权平均数
1平均数
若一组数据为，它们的平均数为，则. 平均数是描述一组数据的一种常用指标，反映了这组数据中各数据的平均大小或者是集中趋势. 一组数据的平均数只有一个.
2加权平均数
（1）一般地，若个数的权分别是，则叫作这个数的加权平均数.
（2）在求个数的平均数时，如果出现次，出现次，…，出现次（这里），那么这个数的平均数也叫作，这个数的加权平均数，其中分别叫做的权.
3平均数的性质
数据的平均数为，则的平均数为；的平均数为（为常数）.
点拨
（1）当所给数据比较离散时，一般选用公式计算算术平均数.
（2）当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式.
（3）当数据较大、较多且在某一个常数附近摆动时，用公式计算较容易，其中是原数据与的差组成的新数据的平均数.
（二）中位数
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.
注意
（1）一组数据的中位数是唯一的.
（2）当数据个数为奇数时，它的中位数一定是这组数据中的某一个；当一组数据的个数为偶数时，它的中位数不一定是这组数据中的某一个.
（三）众数
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.一组数据中，众数可能不止一个.
拓展：平均数、中位数、众数的区别与联系
名称
区别
联系
平均数
（1）平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起相应平均数的变动；（2）—组数据中平均数唯一；（3）平均数不一定是原数据中的数据
（1）平均数、中位数及众数都是描述一组数据的集中趋势的量，其中以平均数最为重要，其应用最为广泛；（2）在实际问题中，求得的平均数、中位数和众数都有单位，它们的单位都与原数据的单位相同
中位数
（1）某些数据的变动对中位数没有影响，当一组数据中存在个别极端数据时，可用中位数来描述其集中趋势；（2）—组数据中中位教唯一；（3）中位数不一定是原数据中的数据
众数
（1）众数着眼于对各数据出现频数的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量；（2）—组数据中众数不一定唯一；（3）众数一定是原数据中的数据
（四）平均数、中位数和众数的使用
平均数、中位数和众数都可以反映一组数据的集中趋势，它们各有自己的特点，能够从不同的角度提供信息.在实际应用中，需要分析具体问题的情况，选择适当的量反映数据的集中趋势.
类别
特点
平均数
计算要用到所有数据，能够充分利用数据提供的信息，但受极端值的影响较大
中位数
一组数据中某些数据多次重复出现时，常使用众数，不易受极端值的影响
众数
需要很少计算，不易受极端值的影响
方法技巧归纳
（一）平增数、中位数、众数的计算方法
对一组数据的平均数、中位数、众数，要严格按照其定义进行计算，特别是中位数的计算，要注意数据的个数是奇数还是偶数，数据个数为偶数时，其中位数是中间两个数据的乎均数（大小顺序排列后），一组数据的平均数只有一个，而众数可能不止一个.
（二）利用平均数、中位数、众数解决实际问题的方法
平均数、众数、中位数都反映了一组数据的集中趋势，其中平均数的应用最为广泛.这三个统计量的各自特点是：
（1）用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，因而其应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有重要的作用，但计算比较烦琐，并且容易受到极端数据的影响.
（2）用众数作为一组数据的代表，着眼于对各数据出现的次数的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，可靠性比较差，但众数不受极端数据的影响.当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量.
（3）用中位数作为一组数据的代表，可靠性也比较差，但中位数不受极端数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势.
（三）平均数、众数、中位数帮你做决策
平均数、中位数和众数都是反映一组数据的集中趋势的量，它们刻画了一组数据的“平均水平”，但它们各有特点：计算平均数时，所有的数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息.因此在现实生活中较为常用，但它容易受极端值的影响；中位数的优点是计算简单，受极端值的影响较小，但不能充分利用所有的数据提供的信息；当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们尤为关心的一个量，但当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别大的意义.
（四）统计图与平均数、众数、中位数的综合应用
根据统计图获取相关信息，利用平均数、众数、中位数进行相关计算.
易混易错知识
易混易错知识
1.混淆众数与数据出现的次数.
众数是一组数据中出现次数最多的数，而不是数据出现的次数.
2.混淆算术平均数与加权平均数.
由于部分学生对加权平均数的概念理解不透，只注重“平均”，常把不能直接用算术平均数的问题错误应用算术平均数求解.
3.误认为一组敎据的众数只有一个.
如果一组数据中，若干个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这若干个数据都是众数，
4.求中位数时，没有按顺序排列数据.
中位数是指将数据按从小到大或从大到小的顺序排列后，处于中间位置的数，它与数据个数有关，当该组数据有偶数个时，中位数等于中间两个数的平均数；当该组数据有奇数个时，中位数等于中间那个数，解题时常由于排列顺序出错导致错误.
（一）对平均数的概念理解不透而导致出错
（二）误将一个数出现的次数当作众数
（三）求中位数时忘记排序而导致出错
（四）忽视一组数据的众数可能不止一个
中考试题研究
中考命题规律
（一）对基本概念的理解
（二）利用平均数、众数、中位数解决实际问题
第54讲方差
知识能力解读
（一）方差
（1）概念：设有个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，我们用这些值的平均数，即用来衡量这组数据波动的大小，并把它叫作这组数据的方差，记作.
（2）方差越大，数据的波动越大，数据越不稳定；方差越小，数据的波动越小，数据越稳定.
点拨：
数据，的方差为，则（1），的方差为（为常数）；（2）的方差为（为不为零的常数）.
（二）用计算器求方差
使用计算器计算方差通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态，然后依次输入数据，最后按动求方差的功能键（如键），便可求出方差.
注意
不同品牌的计算器的操作步骤有所不同，操作时需要参阅计算器的使用说明书.
（三）拓展：度量数据波动程度的其他量
（1）极差：一组数据中最大值与最小值的差.
（2）平均差：一组数据中每个数据与其平均数的差的绝对值的平均数，叫作这组数据的平均差，即为：.
（3）标准差：方差的算术平方根叫作这组数据的标准差，即

点拨
（1）极差受极端值的影响较大.
（2）标准差的单位与原始数据的单位相同.
方法技巧归纳
（一）方差的计算方法
计算方差时，首先计算平均数，然后代入方差公式计算即可.
（二）方差的实际应用
方差刻画的是数据的波动程度：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. 利用方差，我们可以解决实际生活中的“优胜劣汰”问题。
易混易错辨析
易混易错知识
1.易将方差与标准差弄混.
标准差是方差的算术平方根，标准差的单位是原数据的单位，方差的单位是原数据单位的平方. 例如原数据的单位是分，则方差的单位是分2.
2.忽视方差判定数据稳定性的作用.
在对数据作评价时，方差是刻画数据波动程度的特征量，用来判定数据的稳定程度.
对方差的意义理解不透，在具体问题中搞不清该用方差衡量还是用平均数衡量，导致错误
中考试题研究
中考命题规律
方差历来是中考的必考点之一，主要考查它的计算和简单的应用，题型主要是填空题、选择题及解答题，多为中低档题，多与平均数、众数、中位数以及统计图、统计表综合在一起进行考查.
（一）对方差作用的理解
（二）方差的计算
（三）方差的实际应用