中考数学总复习(北师大版)基础讲练-第31讲概率.doc

第31讲　概率

考纲要求
备考指津
1.了解事件的有关概念及分类．
2.理解概率的概念，并会用列表、画树状图法求简单事件发生的概率．
3.学会用频率估计概率，并会用概率解决实际问题.
　　中考主要考查：(1)必然事件、不可能事件及不确定事件的区别，(2)通过计算预测不确定事件的概率．在复杂情况下列举机会均等结果、用替代物做模拟实验是重点考查内容．

考点一　事件的有关概念
1．必然事件：
在现实生活中一定会发生的事件称为必然事件．
2．不可能事件：
在现实生活中一定不会发生的事件称为不可能事件．
3．不确定事件：
在现实生活中，有可能发生，也有可能不发生的事件称为不确定事件．
4．分类：事件
考点二　用列举法求概率
1．在不确定事件中，一件事发生的可能性大小叫做这个事件的概率．
2．适用条件：
(1)可能出现的结果为有限多个；
(2)各种结果发生的可能性相等．
3．求法：
(1)利用列表或画树状图的方法列举出所有机会均等的结果；
(2)弄清我们关注的是哪个或哪些结果；
(3)求出关注的结果数与所有等可能出现的结果数的比值，即关注事件的概率．
考点三　利用频率估计概率
1．适用条件：
当试验的结果不是有限个或各种结果发生的可能性不相等．
2．方法：
进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．
考点四　概率的应用
概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象作出评判，如解释摸奖，配紫色，评判游戏活动的公平性，数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件作出决策．

1．下列事件是必然事件的是(　　)．
A．通常加热到100℃，水沸腾
B．抛一枚硬币，正面朝上
C．明天会下雨
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯
2．从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是(　　)．
A． B． C． D．
3．在一个暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是(　　)．
A．12 B．9 C．4 D．3
4．小伟和小欣玩一种抽卡片游戏：将背面完全相同，下面分别写有1,2,3,4的四张卡片混合后，小伟从中随机抽取一张，记下数字后放回，混合后小欣再随机抽取一张，记下数字．如果所记的两数字之和大于4，则小伟胜；如果所记的两数字之和不大于4，则小欣胜．
(1)请用列表或画树形图的方法，分别求出小伟、小欣获胜的概率；
(2)若小伟抽取的卡片数字是1，问两人谁获胜的可能性大？为什么？[来源:数理化网]

一、事件的分类
【例1】 下列事件中，属于不可能事件的是(　　)．
A．某个数的绝对值小于0 B．某个数的相反数等于它本身
C．某两个数的和小于0 D．某两个负数的积大于0
解析：任何数的绝对值都大于或等于零，不存在绝对值小于零的数．
答案：A

对一个事件作出判断要看它在每次试验中是必然会发生，还是都不会发生，还是可能发生也可能不发生．
二、用列举法求概率
【例2】 如图，有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其他均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的B．
(1)写出k为负数的概率；
(2)求一次函数y＝kx＋b的图象经过二、三、四象限的概率．(用树状图或列表法求解)

解：(1)k为负数的概率是.
(2)画树状图．

共有6种情况，其中满足一次函数y＝kx＋b经过第二、三、四象限，即k＜0，b＜0的情况有2种．
所以一次函数y＝kx＋b经过第二、三、四象限的概率为＝.

1．用列举法求概率，无论是简单事件还是复杂事件，都先列举所有可能出现的结果，再代入p(A)＝计算．
2．在用列举法解题时，一定要注意各种情况出现的可能性务必相同，不要出现重复、遗漏等现象．
在某电视台举办的“红歌”比赛中，甲、乙、丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．
(1)请用树状图表示出三位评委给出A选手的所有可能的结论；
(2)比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问对于选手A，进入下一轮比赛的概率是多少？
三、频率与概率
【例3】 小明在学习了统计与概率的知识后，做了投掷骰子的试验，小明共做了100次试验，试验的结果如下：
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
17
13[来源:]
15
23
20
12
(1)试求“4点朝上”和“5点朝上”的频率；
(2)由于“4点朝上”的频率最大，能不能说一次试验中“4点朝上”的概率最大？为什么？
解：(1)“4点朝上”出现的频率是＝0.23.
“5点朝上”出现的频率是＝0.20.
(2)不能这样说，因为“4点朝上”的频率最大并不能说明“4点朝上”这一事件发生的概率最大，只有当试验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近．

在大量重复试验中，随着统计数据的增大，频率稳定在某个常数左右，将该常数作为概率的估计值，两者的区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性，二者并不完全相同．
四、概率的应用
【例4】 在一副扑克牌中取牌面花色分别为黑桃、红心、方块各一张，洗匀后正面朝下放在桌面上．
(1)从这三张牌中随机抽取一张牌，抽到牌面花色为红心的概率是多少？
(2)小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面花色后放回，洗匀后，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面花色．当两张牌面的花色相同时，小王赢；当两张牌面的花色不相同时，小李赢．请你利用树状图或列表法分析该游戏规则对双方是否公平？并说明理由．
解：(1)P(抽到牌面花色为红心)＝.
(2)游戏规则不公平．
理由如下：

小李
　小王　　
红心
黑桃
方块
红心
红心、红心
红心、黑桃
红心、方块
黑桃
黑桃、红心
黑桃、黑桃
黑桃、方块
方块
方块、红心
方块、黑桃
方块、方块
由树状图或表格知：所有可能出现的结果共有9种．[来源:数理化网]
P(抽到牌面花色相同)＝＝，
P(抽到牌面花色不相同)＝＝.
∵＜，∴此游戏不公平，小李赢的可能性大．

游戏公平与否，关键是根据规则算出各自的概率，概率均等游戏公平，否则就不公平．设计游戏规则时，应先根据题意求出随机事件的各种可能出现的情况的概率，再根据其中概率相等时的情况设计公平的游戏规则，也可根据概率不相等时的情况设计公平的游戏规则．

[来源:]
1．(2011浙江义乌)某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为(　　)．
A． B． C． D．
2．(2011山东枣庄)在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是.如果再往盒中放进6颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是，则原来盒中有白色棋子(　　)．
A．8颗 B．6颗 C．4颗 D．2颗
3．(2012湖南益阳)有长度分别为2 cm,3 cm,4 cm,7 cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是__________．
4．(2012四川成都)某校将举办“心怀感恩·孝敬父母”的活动，为此，校学生会就全校1 000名同学暑假期间平均每天做家务活的时间，随机抽取部分同学进行调查，并绘制成如下条形统计图．

(1)本次调查抽取的人数为__________，估计全校同学在暑假期间平均每天做家务活的时间在40分钟以上(含40分钟)的人数为__________；
(2)校学生会拟在表现突出的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学向全校汇报．请用树状图或列表法表示出所有可能的结果，并求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．

1．小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文4页、数学2页、英语6页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为(　　)．
A． B． C． D．
2．从n个苹果和3个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是，则n的值是(　　)．
A．6 B．3 C．2 D．1
3．某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1～10共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手分别抽走了3号、7号题，第三位选手抽中8号题的概率是(　　)．
A． B． C． D．
4．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点(x，y)落在直线y＝－x＋5上的概率为(　　)．
A． B． C． D．
5．不透明的袋子中装有4个红球、3个黄球和5个蓝球，每个球除颜色不同外其他都相同，从中任意摸出一个球，则摸出__________球的可能性最大．
6．有三张大小、形状完全相同的卡片，卡片上分别写有数字1、2、3，从这三张卡片中随机同时抽取两张，用抽出的卡片上的数字组成两位数，这个两位数是偶数的概率是__________．
7．小莉的爸爸买了今年七月份去上海看世博会的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1,2,3,5的四张牌给小莉，将数字为4,6,7,8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．
(1)请用树状图或列表的方法求小莉去上海看世博会的概率；
(2)哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．
参考答案
基础自主导学
自主测试
1．A　2.B　3.A
4．解：(1)可能出现的结果有16个，其中数字和大于4的有10个，数字和不大于4的有6个.

∴P(小伟胜)＝＝，P(小欣胜)＝＝.
(2)小欣获胜的可能性大．
理由：P(小伟胜)＝，P(小欣胜)＝.
规律方法探究
变式训练　解：(1)画出树状图来说明评委给出A选手的所有可能结果：

(2)由上可知评委给出A选手所有可能的结果有8种，并且它们是等可能的．
故对于A选手，进入下一轮比赛的概率是.
知能优化训练
中考回顾
1．A　2.C　3.
4．解：(1)50　320
(2)列表如下：

甲
乙
丙
丁
甲

(甲，乙)
(甲，丙)
(甲，丁)
乙
(乙，甲)

(乙，丙)
(乙，丁)
丙
(丙，甲)
(丙，乙)

(丙，丁)
丁
(丁，甲)
(丁，乙)
(丁，丙)

由表可知，P(甲乙)＝＝.
模拟预测
1．C　2.B　3.C　4.C
5．蓝　6.
7．解：(1)所有可能的结果如下表，一共有16种结果，每种结果出现的可能性相同．

和为偶数的概率为＝.
所以小莉去上海看世博会的概率为.
(2)由(1)列表的结果可知小莉去的概率为，哥哥去的概率为，所以游戏不公平，对哥哥有利．
游戏规则改为：若和为偶数则小莉得5分，若和为奇数则哥哥得3分，谁得分多谁去，则游戏是公平的．[来源:]