中考数学总复习(北师大版)专题讲练-专题四-归纳与猜想.doc

专题四　归纳与猜想

归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴涵的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系．在中考试卷中多以选择题、填空题、解答题的形式出现．

考点一　数字规律问题
数字规律问题，即按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题．[来源:]
【例1】 如图，一个数表有7行7列，设aij表示第i行第j列上的数(其中i＝1,2,3，…，j＝1,2,3，…)．例如：第5行第3列上的数a53＝7.
　　　　　　1　2　3　4　 3　2　1
2 3 4 5 4 3 2
3 4 5 6 5 4 3
4 5 6 7 6 5 4
5 6 7 8 7 6 5
6 7 8 9 8 7 6
7 8 9 10 9 8 7
则(1)(a23－a22)＋(a52－a53)＝__________.
(2)此数表中的四个数anp，ank，amp，amk，满足(anp－ank)＋(amk－amp)＝__________.
解析：根据数表中数字排列规律，得a23＝4，a22＝3，
a52＝6，a53＝7，
所以(1)的答案是(4－3)＋(6－7)＝0.
对于(2)中四个数anp，ank，amp，amk，可以发现anp与ank为同一行的数，且其差为第p个数与第k个数之差，同理amk与amp之差也为同行中第k个数与第p个数之差．
根据数表中数字排列规律可以发现这两个差互为相反数，所以(anp－ank)＋(amk－amp)＝0.
答案：(1)0；(2)0.

解答数字规律问题的关键是，仔细分析数表中或行列中前后各数之间的关系，从而发现其中所蕴涵的规律，利用规律解题．
考点二　数式规律问题
解答此类问题的常用方法是：(1)将所给每个数据化为有规律的代数式或等式；(2)按规律顺序排列这些式子；(3)将发现的规律用代数式或等式表示出来；(4)用题中所给数据验证规律的正确性．[来源:]
【例2】 给出下列命题：
命题1：直线y＝x与双曲线y＝有一个交点是(1,1)；
命题2：直线y＝8x与双曲线y＝有一个交点是；
命题3：直线y＝27x与双曲线y＝有一个交点是；
命题4：直线y＝64x与双曲线y＝有一个交点是；
……
(1)请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n(n为正整数)；
(2)请验证你猜想的命题n是真命题．
解：(1)命题n：直线y＝n3x与双曲线y＝有一个交点是；
(2)将代入直线y＝n3x得：右边＝n3×＝n2，左边＝n2，
∴左边＝右边．∴点在直线y＝n3x上．
同理可证：点在双曲线y＝上，
∴直线y＝n3x与双曲线y＝有一个交点是.

此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律，并进行验证．
考点三　数形规律问题
根据一组图形的排列，探究图形变化所反映的规律，其中以图形为载体的数字规律最为常见．
【例3】 用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要小圆__________个(用含n的代数式表示)．

解析：观察图形可知，第n个图形比第(n－1)个图形多n个小圆，
所以第n个图形需要小圆1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．
答案：n(n＋1)

解决这类问题的关键是，仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律．
[来源:]
1．如图，一串有趣的图案按一定的规律排列，请仔细观察，按此规律第2 011个图案是(　　)．

2．观察下面的几个算式：
1＋2＋1＝4,1＋2＋3＋2＋1＝9,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16,1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25，…，根据你所发现的规律，请直接写出下面式子的结果：1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1的值为(　　)．
A．100 B．1 000 C．10 000 D．100 000
3．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对(n，m)表示第n排，从左到右第m个数，如(4,2)表示9，则表示58的有序数对是(　　)．

A．(11,3) B．(3,11) C．(11,9) D．(9,11)
4．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2 011应标在(　　)．

A．第502个正方形的左下角 B．第502个正方形的右下角
C．第503个正方形的左上角 D．第503个正方形的右下角
5．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(1,0)，点D的坐标为(0,2)．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2 011个正方形的面积为(　　)．

A．52 010 B．52 011 C．52 009 D．54 020
6．观察下列图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有__________个.
7．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是__________．

8．已知a1＝＋＝，a2＝＋＝，a3＝＋＝，…，依据上述规律，则a99＝__________.
9．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为__________．

10．观察下列算式：[来源:]
①1×3－22＝3－4＝－1
②2×4－32＝8－9＝－1
③3×5－42＝15－16＝－1
④__________________________
……
(1)请你按以上规律写出第4个算式；
(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；
(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
参考答案
专题提升演练
1．D　2.C　3.A　4.C　5.D　6.20　7.158　8. 9.
10．解：(1)4×6－52＝24－25＝－1；[来源:]
(2)n(n＋2)－(n＋1)2＝－1；
(3)一定成立．理由：
因为n(n＋2)－(n＋1)2＝n2＋2n－(n2＋2n＋1)＝n2＋2n－n2－2n－1＝－1.
故(2)中的式子一定成立．