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中考数学真题分类汇编第二期专题方案设计试题

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2020年4月19日
文档仅供参考
方案设计
一.选择题
1.
2.
二.填空题
1.
2.
三.解答题
1. （ •福建A卷•10分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．

【分析】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣2x）=450，解方程得x1=5，x2=45，然后计算100﹣2x后与20进行大小比较即可得到AD的长；
（2）设AD=xm，利用矩形面积得到S=x（100﹣x），配方得到S=﹣（x﹣50）2+1250，讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣a2．
【解答】解：（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，
根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45，
当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；
当x=45时，100﹣2x=10，
答：AD的长为10m；
（2）设AD=xm，
∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250，
当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；
当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a﹣a2，
综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2．
【点评】本题考查了二次函数的应用：解此类题的关键是经过几何性质确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．

2.（ •福建B卷•10分）空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．
（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．
如图1，求所利用旧墙AD的长；
（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩
形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．

【分析】（1）按题意设出AD，表示AB构成方程；
（2）根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论s与菜园边长之间的数量关系．
【解答】解：（1）设AD=x米，则AB=
依题意得，
解得x1=10，x2=90
∵a=20，且x≤a
∴x=90舍去
∴利用旧墙AD的长为10米．
（2）设AD=x米，矩形ABCD的面积为S平方米
①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意
得：
S=，0＜x＜a
∵0＜α＜50
∴x＜a＜50时，S随x的增大而增大
当x=a时，S最大=50a﹣

②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得
S=，a≤x＜50+
当a＜25+＜50时，即0＜a＜时，
则x=25+时，S最大=（25+）2=
当25+≤a，即时，S随x的增大而减小
∴x=a时，S最大=
综合①②，当0＜a＜时，
﹣（）=
＞，此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为平方米
当时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等．
∴当0＜a＜时，围成长和宽均为（25+）米的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米；
当时，围成长为a米，宽为（50﹣）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（）平方米．
【点评】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系．
3.（ ·湖南怀化·10分）某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗，共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．
（1）求y与x的函数表示式，其中0≤x≤21；
（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【分析】（1）根据购买两种树苗所需费用=A种树苗费用+B种树苗费用，即可解答；
（2）根据购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，列出不等式，确定x的取值范围，再根据（1）得出的y与x之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合算的方案．
【解答】解：（1）根据题意，得：y=90x+70（21﹣x）=20x+1470，
因此函数解析式为：y=20x+1470；
（2）∵购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，
∴21﹣x＜x，
解得：x＞10.5，
又∵y=20x+1470，且x取整数，
∴当x=11时，y有最小值=1690，
∴使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，所需费用为1690元．
【点评】本题考查的是一元一次不等式及一次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
4.（ 湖南省娄底市）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A.B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．
（1）请你为该景区设计购买A.B两种设备的方案；
（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？
【分析】（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，根据购回的设备日处理能力不低于140吨列出不等式12x+15（10﹣x）≥140，求出解集，再根据x为正整数，得出x=1，2，3．进而求解即可；
（2）分别求出各方案实际购买费用，比较即可求解．
【解答】解：（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，
根据题意，得12x+15（10﹣x）≥140，
解得x≤3，
∵x为正整数，
∴x=1，2，3．
∴该景区有三种设计方案：
方案一：购买A种设备1台，B种设备9台；
方案二：购买A种设备2台，B种设备8台；
方案三：购买A种设备3台，B种设备7台；

（2）各方案购买费用分别为：
方案一：3×1+4.4×9=42.6＞40，实际付款：42.6×0.9=38.34（万元）；
方案二：3×2+4.4×8=41.2＞40，实际付款：41.2×0.9=37.08（万元）；
方案三：3×3+4.4×7=39.8＜40，实际付款：39.8（万元）；
∵37.08＜38.04＜39.8，
∴采用（1）设计的第二种方案，使购买费用最少．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的不等关系是解决问题的关键．
5.（ 湖南湘西州12.00分）某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【分析】（1）根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式；
（2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；
（3）据题意得y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，分三种情况讨论，①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，②a=100时，y=50000，③当100＜m＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．
【解答】解：（1）根据题意，y=400x+500（100﹣x）=﹣100x+50000；

（2）∵100﹣x≤2x，
∴x≥，
∵y=﹣100x+50000中k=﹣100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正数，
∴x=34时，y取得最大值，最大值为46600，
答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；

（3）据题意得，y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，
33≤x≤60
①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
②a=100时，a﹣100=0，y=50000，
即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤60的整数时，均获得最大利润；
③当100＜a＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x=60时，y取得最大值．
即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【点评】题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．
6.（ •山东济宁市•7分）绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B 两村准备各自 清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：

村庄
清理养鱼网箱人

数/人
清理捕鱼网箱人

数/人
总支出/元
A
15
9
57000
B
10
16
68000
（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的
人均支出费用各是多少元；

（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调 40 人共同清理
养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过 10 元，且清理养鱼网箱人数小于 清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？
【解答】解：（1）设清理养鱼网箱的人均费用为 x 元，清理捕鱼网箱的人均费用 为 y 元，
根据题意，得：， 解得：，
答：清理养鱼网箱的人均费用为 元，清理捕鱼网箱的人均费用为 3000 元；

（2）设 m 人清理养鱼网箱，则（40﹣m）人清理捕鱼网箱， 根据题意，得：，
解得：18≤m＜20，
∵m 为整数，
∴m=18 或 m=19， 则分配清理人员方案有两种：
方案一：18 人清理养鱼网箱，22 人清理捕鱼网箱； 方案二：19 人清理养鱼网箱，21 人清理捕鱼网箱．
7.（ ·湖北省恩施·10分）某学校为改进办学条件，计划采购A.B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．
（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；
（2）若学校计划采购A.B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？
（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
【分析】（1）根据题意能够列出相应的方程组，从而能够解答本题；
（2）根据题意能够列出相应的不等式组，从而能够求得有几种采购方案；
（3）根据题意和（2）中的结果，能够解答本题．
【解答】解：（1）设A型空调和B型空调每台各需x元、y元，
，解得，，
答：A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元；
（2）设购买A型空调a台，则购买B型空调（30﹣a）台，
，
解得，10≤a≤12，
∴a=10.11.12，共有三种采购方案，
方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，
方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，
方案三：采购A型空调12台，B型空调18台；
（3）设总费用为w元，
w=9000a+6000（30﹣a）=3000a+180000，
∴当a=10时，w取得最小值，此时w=210000，
即采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．
8.（ •贵州铜仁•12分）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，而且每买1张办公桌必须买2把椅子，椅子每把100元，若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费24000元；购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费 元．
（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？
（2）若学校购买甲乙两种办公桌共40张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．
【分析】（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，根据“甲种桌子总钱数+乙种桌子总钱数+所有椅子的钱数=24000、10把甲种桌子钱数﹣5把乙种桌子钱数+多出5张桌子对应椅子的钱数= ”列方程组求解可得；
（2）设甲种办公桌购买a张，则购买乙种办公桌（40﹣a）张，购买的总费用为y，根据“总费用=甲种桌子总钱数+乙种桌子总钱数+所有椅子的总钱数”得出函数解析式，再由“甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍”得出自变量a的取值范围，继而利用一次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；
（2）设甲种办公桌购买a张，则购买乙种办公桌（40﹣a）张，购买的总费用为y，
则y=400a+600（40﹣a）+2×40×100
=﹣200a+3 ，
∵a≤3（40﹣a），
∴a≤30，
∵﹣200＜0，
∴y随a的增大而减小，
∴当a=30时，y取得最小值，最小值为26000元．