中考数学总复习(北师大版)基础讲练-第23讲尺规作图.doc

第23讲　尺规作图

考纲要求
备考指津
1.了解基本作图的概念．
2.掌握五种基本作图的方法，并会按要求作出图形．
3.会写已知、求作和作法，掌握准确的作图语言．
4.能运用尺规基本作图解决有关的作图简单应用.
　　中考对本部分内容的考查主要是利用尺规作图解决实际问题的能力，题型主要以设计、探究形式的解答题为主．

[来源:]
考点一　尺规作图
1．定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图．
2．步骤：[来源:]
(1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；
(2)分析作图的方法和过程；
(3)用直尺和圆规进行作图；
(4)写出作法步骤，即作法．
考点二　五种基本作图
1．作一线段等于已知线段；
2．作一个角等于已知角；
3．作已知角的平分线；
4．过一点作已知直线的垂线；
5．作已知线段的垂直平分线．
考点三　基本作图的应用
1．利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形；
(2)已知两边及其夹角作三角形；
(3)已知两角及其夹边作三角形；
(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；
(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．
2．与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．[来源:]
(2)作三角形的内切圆．

1．尺规作图是指(　　)．
A．用直尺规范作图 B．用刻度尺和尺规作图
C．用没有刻度的直尺和圆规作图 D．直尺和圆规是作图工具
2．尺规作图：请在原图上作一个∠AOC，使其是已知∠AOB的倍(要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写作法和结论)．
3．如图，AB，AC表示两条相交的公路，现要在∠BAC的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处A点的距离为1 000米．

(1)若要以1∶50 000的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处A点的图上距离；
(2)在图中画出物流中心的位置P.

一、基本作图
【例1】 如图，已知∠1，∠2，用直尺和圆规求作一个∠AOB，使∠AOB＝2∠1－∠2.(不写作法，保留作图痕迹)

解：如图所示，∠AOB即为所求作的角．

作几个角的和(或几倍)，在某个已知角的外部作；作角的差(或分成几份)，在某角的内部作．
二、基本作图的实际应用
【例2】 如图，要在一块形状为直角三角形(∠C为直角)的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB，BC都相切．请你用直尺和圆规画出来(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．

分析：∵圆与AB，BC都相切，∴圆心到AB，BC的距离相等．∴圆心应是∠ABC的角平分线与AC的交点．
解：下图即为所求图形．

要作一个圆与角的两边都相切，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可解决问题．
如图，在圆周上有一只蜘蛛P，图中A，B是被蛛网暂时困住的两只苍蝇．因为蜘蛛必须在圆周上某个位置作停留，同时，又想保持对两只苍蝇等距离的监视．则蜘蛛应停留在圆周的何处？请作图表示．

1．(2011湖南益阳)如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是(　　)．[来源:数理化网]

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
2．(2011江苏南京)如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于__________．

3．(2011天津)如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．

(1)该正方形的边长为__________(结果保留根号)；
(2)现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪的方法，在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程：________________________.
4．(2012浙江杭州)如图，是数轴的一部分，其单位长度为a，已知△ABC中，AB＝3a，BC＝4a，AC＝5A．

(1)用直尺和圆规作出△ABC(要求：使点A，C在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法)；
(2)记△ABC的外接圆的面积为S圆，△ABC的面积为S△，试说明＞π.

1．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是(　　)．

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
2．如图，已知线段a，h，求作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.

张红的作法是：(1)作线段BC＝a；
(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；
(3)在直线MN上截取线段h，确定点A．
(4)连接AB，AC，△ABC即为所求作的等腰三角形．
上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是(　　)．
A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)

3．如图，已知△ABC，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连接AD，CD．则有(　　)．
A．∠ADC与∠BAD相等 B．∠ADC与∠BAD互补
C．∠ADC与∠ABC互补 D．∠ADC与∠ABC互余
4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2.按以下步骤作图：

①以A为圆心，以小于AC长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，D；
②分别以D，E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧相交于点P；
③连接AP交BC于点F.那么：
(1)AB的长等于__________；
(2)∠CAF＝__________.
5．数学活动课上，老师在黑板上画直线平行于射线AN(如图)，让同学们在直线l和射线AN上各找一点B和C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画__________个．

6．如图，已知∠AOB，点M，N，求作点P，使点P在∠AOB的角平分线上，且PM＝PN.(保留作图痕迹，不写作法)

7．某汽车探险队要从A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流l边为汽车加水，汽车在河边哪一点加水，才能使行驶的总路程最短？请你在图上画出这一点．

8．如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD．

(1)用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求证：BM＝EM.

参考答案
基础自主导学
自主测试
1．C
2．解：已知：∠AOB.

求作：∠AOC，使∠AOC＝∠AOB.
作图如下：

3．解：(1)根据比例尺＝得：图上距离＝100 000×＝2.
故物流中心到公路交叉处A点的图上距离为2 cm.
(2)如图所示，点P即为所求．

规律方法探究
变式训练　解：作图如图所示，作法：①连接AB；②作AB的垂直平分线MN，交圆于P，Q两点，则距线段AB距离较近的点就是要求的点．

知能优化训练
中考回顾
1．B　2.
3．解：(1)
(2)如图，①作出BN＝(BM＝4，MN＝1，∠MNB＝90°)；

②画出两条裁剪线AK，BE(AK＝BE＝，BE⊥AK)；
③平移△ABE和△ADK.
此时，得到的四边形BEFG即为所求．
4．解：(1)△ABC如图所示：

(2)∵△ABC的外接圆的面积为S圆，
∴S圆＝π×2＝π，
△ABC的面积S△ABC＝×3a×4a＝6a2，
∴＝＝π＞π.
模拟预测
1．D　2.C　3.B　4.4　30　5.3
6．解：如图，连接MN，作线段MN的垂直平分线EF，∠AOB的角平分线OC，EF与OC相交于点P.
[来源:]
则点P即为所求．
7．解：如图所示，点C即为所求．

8．(1)解：如图所示．

(2)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵D点是AC的中点，∴BD是∠ABC的角平分线．
∴∠DBC＝30°.∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.
又∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30°.
∴∠DBC＝∠E.∴DB＝DE.∵DM⊥BE，∴BM＝EM.