2019年四川省南充市中考数学试题含答案.doc

2019 年南充中考数学试题
考试时间： 120 分钟 满分： 120 分
一.选择题 （ 本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
每小题都有代号为 A 、B、C、D 四个答案选项，其中只有一个是正确的 .
1.如果 6a 1，那么 a的值为（ B ）
A.6 B.

1
6

C.-6 D.

1
6
2.下列各式计算正确的是（ D ）
A.

2 x
3
x x B.

2 ) 5
3
(x x C.

6 x x3
2
x D.

x

2 x3
x
3.如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ C ）
A B C D
4.在 2019 年南充市初中毕业升学体育与健康考试中， 某校九年级 （1）班体育委员对本班 50
名同学参加球类自选项目做了统计，制作出扇形统计图（如图） ，则该班选考乒乓球人数比
羽毛球人数多（ B ）
A.5 人 B.10 人 C.15 人 D.20 人
5.如图，在 △ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，若 BC=6，AC=5 ，
则△ACE 的周长为（ B ）
A.8 B.11 C.16 D.17
a 2 m
6.关于 x的一元一次方程 2x 4

的解为 x 1，则 a m 的值为（ C ）
A.9 B.8 C.5 D.4
7.如图，在半径为 6 的⊙O 中，点 A，B，C 都在⊙ O 上，四边形 OABC 是平行四边形，则
图中阴影部分的面积为（ A ）
A.6 π B. 3 3 π C. 2 3 π D.2 π
8.关于 x的不等式 2x a 1只有 2 个正整数解，则 a 的取值范围为（ C ）
A. 5 a 3 B 5 a 3 C. 5 a 3 D. 5 a 3
9.如图，正方形 MNCB 在宽为 2 的矩形纸片一端，对折正方形 MNCB 得到折痕 AE，再翻
折纸片，使 AB 与 AD 重合.以下结论错误的是（ D ）
2
A. AH 10 2 5 B.

CD
BC

5
2

1

2
C. BC CD EH

D.

sin AHD

5
5

1

2 （a,b,c 是常数）， a 0，顶点坐标为 , )
1
10.抛物线 y ax bx c ( m .给出下列结论：
2
3
①若点 (n, y1 ) 与点 2 )
( n，y2 在该抛物线上，当
2

1
n 时，则 y1 y2 ；②关于 x 的一元
2
2 bx c m
二次方程 ax 1 0 无实数解，那么（ A ）
A.①正确，②正确 B.①正确，②错误 C.①错误，②正确 D.①错误，②错误
二.填空题 （ 本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
请将答案填写在答题卡对应的横线上 .
11.原价为 a 元的书包，现按 8 折出售，则售价为 0.8a 元.
12.如图， 以正方形 ABCD 的 AB 边向外作正六边形 ABEFGH ，连接 DH ，则∠ADH= 15 °
13.计算：

2
x
x

1
1 1 x

x+1 .
14.下表是某养殖户的 500 只鸡出售时质量的统计数据 .
质量/kg 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
频数/只 56 162 112 120 40 10
则 500 只鸡质量的中位数为 1.4kg .
15.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(3m,2n ) 在直线 y x 1上，点 B( m,n) 在双曲线

k
y 上，则k 的取值范围为
x

1
k 且 k 0 .
24
16.如图， 矩形硬纸片ABCD 的顶点 A 在 y 轴的正半轴及原点上滑动， 顶点 B 在 x 轴的正半
轴及原点上滑动， 点 E 为 AB 的中点， AB=24,BC=5, 给出谢了列结论： ①点 A 从点 O 出发，
到点 B 运动至点 O 为止，点 E 经过的路径长为 12π；② △OAB 的面积的最大值为 144；③
25 26 125 26
当 OD 最大时，点 D 的坐标为 )
( , ，其中正确的结论是 ②③ （ 填写序号）.
26 26
三. 解答题 （本大题共9 个小题，共72 分）
解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
1
1
17.（6 分）计算：

(1

0
)

|

2

3

|

12

2
解：原式 =1 ( 3 2) 2 3 2 （4 分）
=1 3 2 2 3 2 （5 分）
=1 3 （6 分）
18.（6 分）如图， 点 O 是线段AB 的中点， OD∥BC 且 OD=BC.（1）求证：△AOD ≌ △ OBC；
（2）若∠ ADO=3°5 ，求∠ DOC 的度数 .
（1）证明：∵点 O 线段AB 的中点，∴ AO=BO （1 分）
∵OD∥BC，∴∠ AOD= ∠ OBC（2 分）
AO BO
在△ AOD 和△ OBC 中， AOD OBC
，∴△ AOD ≌ △ OBC（SAS）（4 分）
OD BC
（2）解：∵△ AOD ≌ △ OBC，∴∠ ADO= ∠ OCB=35 °（ 5 分）
∵OD∥BC，∴∠ DOC= ∠OCB=35 °（ 6 分）
19.（6 分）现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字 -2，-1,0,2，把这四张卡
片背面朝上洗匀后放在桌面上 .（ 1）随机抽取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为负数的概
率；（2）先随机抽取卡片，其上的数字作为点 A 的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取
一张卡片，其上的数字作为点 A 的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点 A 在直线 y=2x
上的概率 .
解：（1）∵抽取的负数可能为 -2，-1，∴抽取出数字为负数的概率为 P=

2
4

1
2

（ 2 分）
（2）列表如下
（4 分）
∵共有 16 种等可能结果，其中点 A 在直线 y=2x 上的结果有 2 种（ 5 分）
∴点 A 在直线 y=2x 上的概率为

2 1
P （ 6 分）
16 8
2 m x m2
20.（8 分）已知关于 x的一元二次方程 x (2 1) 3 0 有实数根.（1）求实数 m
的取值范围； （2）当 m=2 时，方程的根为

2 2
x1,x ，求代数式 ( x1 2x )(x 4x2 2) 的值 .
2 1 2
2 m m2 m m2 m
2
解：（1）△ = (2 1) 4 1 ( 3) 4 4 1 4 12 4 13
m （2 分）
∵原方程有实根，∴△ = 4m 13 0 （3 分）
解得

13
m （4 分）
4
2 x
（2）当 m 2 时，原方程为 3 1 0
x （5 分）
∵

x1,x 为方程的两个实根，∴ x1 x2 3, x1 x2 1（6 分）
2

2 2
x1 3x 0, x 3x2
1 2

0
2 2
∴ 2 ( 1), 4 2 1
x1 x x x x x （7 分）
1 1 2 2 2
∴

2
(x
1

[

2x )(
1
x
1

x
2

2
2
x
(

x
1

4x
2

x
2

)

2)
1]

(x
1
(1

3

1)(
x
2
1)

1

1)

（8 分）
21.双曲线

k 1
y （k 为常数，且 k 0）与直线 y 2x b 交于 , 2), (1, )
A( m m B n 两
x 2
点.（1）求 k 与 b 的值；（2）如图，直线 AB 交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 D，若点 E 为 CD
的中点，求 △BOE 的面积 .
1
解：（1）∵点 , 2)
A( m m 在直线 y 2x b 上，
2
1
∴ ) 2, 2
2( m b m b （2 分）
2
∴ y 2x 2 ，∵点 B（1，n）在直线 y 2x 2 上，∴ n 2 1 2 4 （3 分）
∴B（1，-4），∵B（1，-4）在双曲线

k
y 上，∴ k 1 ( 4) 4 （4 分）
x
（2）直线 y 2x 2 交 x 轴于 C（-1,0），交 y 轴于 D（0，-2）（5 分）
1
∴S△COD = | 1| | 2| 1
2
∵点 E 为 CD 的中点，∴ S
△COE=

1
2

S△COD=

1
2

（ 6 分）
1
∵S△COB= | 1| | 4 | 2
2

（ 7 分）
∴S
△BOE=S△COB -S△COE=2-

1
2

3
2

.（8 分）
22.（8 分） 如图，在 △ABC 中，以 AC 为直径的⊙ O 交 AB 于点 D，连接CD，∠BCD= ∠A.
（1）求证： BC 是⊙ O 的切线；（2）若 BC=5 ，BD=3 ，求点 O 到 CD 的距离 .
（1）证明：∵ AC 是⊙ O 的直径，∴∠ ADC=90 °（ 1 分）
∠A+ ∠ACD=90 °，∵∠ BCD= ∠A ，∴∠ BCD+ ∠ACD=90 °（ 2 分）
∴OC⊥BC，∵ OC 是⊙ O 的半径，∴ BC 是⊙ O 的切线 .（3 分）
（2）解：过点 O 作 OE⊥CD 于点 E，如图所示（ 4 分）
在 Rt△BCD 中，∵ BC=5 ，BD=3 ，∴ CD=4 （5 分）
∵∠ ADC= ∠CDB=90 °，∠ BCD= ∠ A.
∴Rt△BDC∽Rt△CDA. ∴

CD
AD

BD
CD

3
4

，∴

16
AD （6 分）
3

∵OE⊥CD，∴ E 为 CD 的中点（ 7 分）
又∵点 O 是 AC 的中点，∴ OE=

1
2

8
AD （8 分）
3
23.（10 分）在 “我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一
支钢笔，一本笔记本 .已知购买 2 支钢笔和 3 个笔记本共 38 元，购买 4 支钢笔和 5 个笔记本
共 70 元.（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（ 2）经与商家协商，购买钢笔超过30
支时， 每增加一支， 单价降低0.1 元；超过50 支， 均按购买 50 支的单价销售.笔记本一律按
原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计 100 人，其中一等奖的人数不少于 30 人，且不
超过60 人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？
解：（1）设钢笔、笔记本的单价分别为 x 、 y 元.根据题意可得

2x
4x

3y
5y

38
70
（2 分）
解得：

x
y

10
6

（4 分） .答：钢笔、笔记本的单价分别为 10 元， 6 元.
（2）设钢笔单价为 a 元，购买数量为 b 支，支付钢笔和笔记本总金额为 W 元.
①当 30≤ b≤ 50 时， a 10 0.1(b 30) 0. 1b 13（ 5 分）
2 b b 2
W b( 0. 1b 13) 6(100 b) 0 .1b 7 600 0.1( 35) 722.5 （7 分）
∵当 b 30时， W=720 ，当 b=50 时， W=700
∴当 30≤ b≤ 50 时， 700≤ W≤ 722.5（8 分）
②当 50＜b≤ 60 时， a=8， W 8b 6(100 b) 2b 600,700 W 720 （9 分）
∴当 30≤ b≤ 60 时， W 的最小值为 700 元
∴当一等奖人数为 50 时花费最少，最少为 700 元.（10 分）
24（. 10 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 边上的一点， 以 DE 为边作正方形 DEFG，
DF 与 BC 交于点 M ，延长EM 交 GF 于点 H，EF 与 GB 交于点 N，连接CG.（ 1）求证：
CD⊥CG；（2）若 tan∠MEN=

1
3

，求

MN
EM

的值；（ 3）已知正方形 ABCD 的边长为1，点 E
1
在运动过程中， EM 的长能否为
2

？请说明理由.
（1）证明：在正方形 ABCD ，DEFG 中，
DA=DC ，DE=DG ，∠ ADC= ∠EDG= ∠A=90 °（ 1 分）
∴∠ ADC- ∠EDC= ∠EDG-∠ EDC，即∠ ADE= ∠CDG ，∴△ ADE ≌ △ CDG（SAS）（2 分）
∴∠ DCG= ∠A=90 °，∴ CD⊥ CG（3 分）
（2）解：∵ CD⊥CG，DC⊥BC，∴ G、 C、 M 三点共线
∵四边形 DEFG 是正方形，∴ DG=DE ，∠ EDM= ∠GDM=45 °，又∵ DM=DM
∴△ EDM ≌ △ GDM ，∴∠ DME= ∠DMG （4 分）
又∠ DMG= ∠NMF ，∴∠ DME= ∠NMF ，又∵∠ EDM= ∠NFM=45 °
∴△ DME ∽△ FMN ，∴

MN
ME

FM
DM

（5 分）
又∵ DE∥HF，∴

HF
ED

FM
DM

，又∵ ED=EF，∴

MN
ME

HF
EF

（6 分）
在 Rt△EFH 中， tan∠HEF=

HF
EF

1
3

，∴

MN
ME

1
3

（7 分）
（3）设AE=x ，则BE=1-x ，CG=x，设CM=y ，则BM=1-y ，EM=GM=x+y （ 8 分）
在 Rt△BEM 中，

2 BM EM 2
2
BE ，∴

2 (1 )2 ( ) 2
(1 x) y x y ，
解得

1 x
y （9 分）
x 1

∴

2
x 1
EM x y ，若
x 1

1
EM ，则
2

2
x
x

1
1

1
2

，
化简得： 2x2 x 1 0，△ =-7＜0，∴方程无解，故 EM 长不可能 为

1
2

.
2 与 x 轴交于点 A（-1，0），点 B（-3,0），且 OB=OC.
25.（10 分）如图，抛物线 y ax bx c
（1）求抛物线的解析式； （2）点 P 在抛物线上，且∠ POB=∠ACB ，求点 P 的坐标；（3）
抛物线上两点 M ，N，点 M 的横坐标为 m，点 N 的横坐标为 m+4.点 D 是抛物线上 M ，N
之间的动点，过点 D 作 y 轴的平行线交 MN 于点 E.
①求 DE 的最大值 .②点 D 关于点 E 的对称点为 F.当 m 为何值时，四边形 MDNF 为矩形？
解：（1）∵OB=OC ，B（-3,0），∴ C（0，-3）（1 分）
a b c 0
又题意可得：

9a 3b c 0

2 x
解得： a 1,b 4,c 3.∴ 4 3
y x （3 分）
c 3
（2）过点 A 作 AG ⊥BC 于点 G，如图所示， BG=AG=AB · sin45° = 2 （4 分）
∵BC= 2OB 3 2 ，∴CG=BC-BG= 2 2 ，∴tan∠ACG=

AG
CG

1
2

（5 分）
设 P（ t, t 2 4t 3），过点 P 作 PQ⊥x 轴于 Q，tan∠POQ=tan∠ACG=

1
2

.
2 t
①当 P 在 x 轴上方时， 0, 4 3 0
t t
2
则 PQ= t 4t 3, OQ t

2
PQ t 4t 3 1 2
，tan∠POQ= ,2 7 6 0
t t
OQ t 2
解得

3 3 3
t1 2, t2 ，∴ P1( 2,1) , P2( , ) （6 分）
2 2 4
2
t 4y 3 1 2
②当点 P 在第三象限时， ,2 9 6 0
t t
t 2

，
解得：

9 33
t3 ,t
4
4

9 33
4
9 33 9 33 9 33 9 33
∴ )
P3 ( , ), P4( , （7 分）
4 8 4 8
③当点 P 在第四象限时，∠ POB＞90° ，而∠ ACB ＜90° ，∴点 P 不在第四象限
3 3 9 33 9 33 9 33 9 33
故点 P 坐标为 ( 2,1) , 或( ) 或( , ) 或( , )
,
2 4 4 8 4 8
2 m N m m m
2
（3）①由已知， ( , 4 3), ( 4, ( 4) 4( 4) 3)
M m m
即 N(m 4, m2 12m 35) ，设直线 MN 为 y kx n
得：

km
k(m

n
4)

2
m
n

4m
2
m

3
12m

解得：
35

k
n

2m 8
2 m
m 4
3
故 MN 为 y ( m 8)x (m2 4m 3) （8 分）
2 t 2 m 设 ( , 4 3)
D t t ， E(t, ( 2m 8)t (m 4 3))
∴DE= ( t2 4t 3) [( 2m 8)t (m2 4m 3)]
2 2 m t m2 m t m
= t 2( 2) ( 4 ) ( 2) 4 ，
当 t m 2时，DE 最大值为 4（9 分）
2 m
②当 DE 最大时，点 ( 2, 8 19)
E m m 为 MN 的中点 .
由已知，点 E 为 DF 的中点，∴当 DE 最大时，四边形 MDNF 为平行四边形 .
2 DF 2 DE 2
如果□MDNF 为矩形，则 4 ,
MN 故

2 (8 32)2 4 42
4 m ，
化简得，

3
2
(m 4) ，故
4

3
m 4 .
2
当

3
m 4 或
2

3
4 时，四边形 MDNF 为矩形（ 10 分）
2