数值积分NewtonCotes公式龙贝格算法.pptx

4.2牛顿牛顿柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)求积公式求积公式在插值求积公式在插值求积公式中中,当所当所取节点是等距时取节点是等距时称为牛顿称为牛顿-柯特斯公式柯特斯公式其中其中插值多项式插值多项式求积系数求积系数这里这里是插值基函数。即有是插值基函数。即有将积分区间将积分区间 a,b 划分为划分为n等分等分,步长步长求积节点为求积节点为为了计为了计算系数算系数Ak,由于由于,所以所以作变量代换作变量代换当当时时,有有,于是可得于是可得(k=0,1,n)代入插值求积公式代入插值求积公式(4.1)有有称为牛顿称为牛顿-柯特斯求积公式柯特斯求积公式,C,Ck k称为柯特斯系数称为柯特斯系数引进记号引进记号(k=0,1,n)则则当当n=2=2时时 P P104 104 表表4-14-1给出了给出了n从从1 18 8的柯特斯系数的柯特斯系数。当当n=8=8时，出现了负系数，从而影响稳定性和时，出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。收敛性，因此实用的只是低阶公式。Newton-Cotes公式柯特斯系数n1 1/2 1/2 2 1/ 4/ 1/3 1/8 3/8 3/8 1/8 4 /90 1/45 2/15 1/45 /90 5 下面分别考虑几种特殊请况。几个低阶求积公式几个低阶求积公式 在牛顿在牛顿-柯特斯求积公式中柯特斯求积公式中n=1,2,4=1,2,4时，就分别时，就分别得到下面的梯形公式、得到下面的梯形公式、Simpson公式和柯特斯公式。公式和柯特斯公式。(1)(1)梯形公式梯形公式 当当n=1=1时，牛顿时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式柯特斯公式就是梯形公式定理定理4.2（梯形公式的误差）设（梯形公式的误差）设f(x)在在 a,b 上具有上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为证证:由插值型求积公式的余项由插值型求积公式的余项 其中其中 可知梯形公式的误差为可知梯形公式的误差为 由于由于(x-a)()(x-b)在在 a,b 中不变号中不变号,在在 a,b 上连上连续续,根据高等数学中的积分中值定理根据高等数学中的积分中值定理 ,在在 a,b 上存上存在一点在一点，使，使 因此因此 （2 2）Simpson公式公式 当当n=2=2时，牛顿时，牛顿-柯特斯公式就是柯特斯公式就是Simpson公式（或公式（或 称抛物线公式）称抛物线公式）定理定理4.34.3（Simpson公式的误差）设在公式的误差）设在 a,b 上具有上具有连续的四阶导数，则连续的四阶导数，则Simpson求积公式的误差为求积公式的误差为 定理证明从略。定理证明从略。（3 3）柯特斯公式。柯特斯公式。当当n=4=4时，牛顿时，牛顿-柯特斯公式为柯特斯公式为定理定理4.44.4（柯特斯公式的误差）设在（柯特斯公式的误差）设在 a,b 上具有上具有连续的连续的 阶导数，则柯特斯求积公式的误差为阶导数，则柯特斯求积公式的误差为 定理的证明从略。定理的证明从略。例例4.10分别用梯形公式、分别用梯形公式、Simpson公式和柯特斯公式和柯特斯 公式计算定积分公式计算定积分 的近似值的近似值 (计算结果取计算结果取5 5位有效数字位有效数字)(1)(1)用梯形公式计算用梯形公式计算 (2)(2)用用Simpson公式公式 (3)(3)用柯特斯公式计算，系数为用柯特斯公式计算，系数为 积分的准确值为积分的准确值为可见，三个求积公式的精度逐渐提高。可见，三个求积公式的精度逐渐提高。例例4.11 4.11 用用Simpson公式和柯特斯公式计算定积分公式和柯特斯公式计算定积分的近似值的近似值,并估计其误差并估计其误差(计算结果取计算结果取5 5位小数位小数)解解:Simpson公式公式 由于由于 由由Simpson公式余项公式余项 知其误差为知其误差为 解解:柯特斯公式柯特斯公式 知其误差为知其误差为 该定积分的准确值该定积分的准确值,这个例子告诉我这个例子告诉我们，对于同一个积分，当们，对于同一个积分，当n2时，公式是精确的，时，公式是精确的，这是由于这是由于Simpson公式具有三次代数精度，柯特斯公式具有三次代数精度，柯特斯公式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多公式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多项式当然是精确成立的。项式当然是精确成立的。误差分析误差分析记记Newton-Cotes公式的误差为：公式的误差为：则：则：其中其中且依赖于且依赖于x。为为的的n次插值多项式。次插值多项式。假定假定在在上足够光滑，则：上足够光滑，则：当当（即梯形公式）时，（即梯形公式）时，这里，积分核这里，积分核其中：其中：称为关于梯形公式的称为关于梯形公式的Peano核核.当当（即辛甫生公式）时（即辛甫生公式）时（2.2.）其中：其中：（2.2.）称为关于辛甫生公式的称为关于辛甫生公式的Peano核核.对对的的阶阶Newton-Cotes公式可作同样的公式可作同样的：讨论，最后可得如下误差讨论，最后可得如下误差（2.8）结论结论：n阶阶N ewton-Cotes公式的代数精度为：公式的代数精度为：收敛性问题收敛性问题 例如例如:利用牛顿利用牛顿-柯特斯公式计算积分：柯特斯公式计算积分：解：积分的准确结果为：解：积分的准确结果为：但用但用n阶牛顿阶牛顿-柯特斯公式计算时会出现如下的计算结果柯特斯公式计算时会出现如下的计算结果248105.49022.23.32881.94113.595由上表可以看出：由上表可以看出：此时数值求积过程是此时数值求积过程是发散的发散的。对于对于n阶阶Newton-Cotes公式的公式的Cotes系数系数，若记其绝对值的和为，若记其绝对值的和为则可以证明则可以证明 （2.102.10）结论结论：当：当n充分大时，充分大时，的符号的符号必定变化必定变化.显然显然，当，当时，对所有时，对所有，都有，都有即即 注意：注意：例如当例如当时，时，这里这里显然显然，这样的公式会引起有效数字的，这样的公式会引起有效数字的故故实际应用时实际应用时常常只采用几种低阶常常只采用几种低阶的求积公式的求积公式，如梯形公式、如梯形公式、Simpson公式、公式、损失（尽管在损失（尽管在n变得较大之前未必成为问题）变得较大之前未必成为问题）.四阶四阶Newton-Cotes公式公式特别称作特别称作Cotes公式公式.