chapter曲线积分与曲面积分小结.pptx

第一部分第一部分:内容小结内容小结一一.对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 1.定义定义:2.对弧长的曲线积分的性质对弧长的曲线积分的性质:对弧长的曲线积分与路径的走向无关对弧长的曲线积分与路径的走向无关!3.对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算:(1)直接计算法直接计算法:方法：一代二换三定限方法：一代二换三定限(2)利用对称性简化计算利用对称性简化计算 对空间曲线构件也有结论对空间曲线构件也有结论!4.对弧长的曲线积分的应用对弧长的曲线积分的应用:二二.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 1.定义定义:2.对坐标的曲线积分的性质对坐标的曲线积分的性质:即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.3.对坐标的曲线积分的计算对坐标的曲线积分的计算:(1)直接计算法直接计算法:方法：一代二换三定限方法：一代二换三定限(2)利用对称性简化计算利用对称性简化计算 4.对坐标的曲线积分的应用对坐标的曲线积分的应用:5.两类曲线积分的关系两类曲线积分的关系:三三.对面积的曲面积分对面积的曲面积分 1.定义定义:2.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质:第一类曲面积分与曲面的方向无关第一类曲面积分与曲面的方向无关!3.对面积的曲面积分的计算对面积的曲面积分的计算:(1)直接计算法直接计算法:方法：一投影二代三换方法：一投影二代三换(d)一般地一般地,向投影区域易找且向投影区域易找且面积非面积非 0 的坐标面投影的坐标面投影.(2)利用对称性简化计算利用对称性简化计算 4.对面积的曲面积分的应用对面积的曲面积分的应用:四四.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 1.定义定义:对坐标对坐标 x,y 的曲面积分的曲面积分对坐标对坐标 y,z 的曲面积分的曲面积分对坐标对坐标 z,x 的曲面积分的曲面积分2.对坐标的曲面积分的性质对坐标的曲面积分的性质:第二类曲面积分与曲面的方向有关第二类曲面积分与曲面的方向有关!3.对坐标的曲面积分的计算对坐标的曲面积分的计算:(1)直接计算法直接计算法:方法：一投影二代三正向方法：一投影二代三正向注意：对注意：对x,y的曲面积分投影到的曲面积分投影到xoy面；面；对对y,z的曲面积分投影到的曲面积分投影到yoz面；面；对对z,x的曲面积分投影到的曲面积分投影到zox面面.(2)对称性简化计算法对称性简化计算法 4.对坐标的曲线积分的应用对坐标的曲线积分的应用:5.两类曲面积分的关系两类曲面积分的关系:五五.Green公式及平面曲线积分与路径无关的条件公式及平面曲线积分与路径无关的条件 1.Green公式公式:2.平面曲线积分与路径无关的四个等价关系平面曲线积分与路径无关的四个等价关系 或者或者五五.Gauss公式及曲面积分与路径无关的条件公式及曲面积分与路径无关的条件 1.Gauss公式公式:2.曲面积分与路径无关的条件曲面积分与路径无关的条件 3.通量与散度通量与散度 六六.Stokes公式及空间曲线积分与路径无关的条件公式及空间曲线积分与路径无关的条件 1.Stokes公式公式:其中其中 的侧与的侧与 的方的方向按右手法则确定向按右手法则确定.2.空间曲线积分与路径无关的四个等价关系空间曲线积分与路径无关的四个等价关系 设空间开区域设空间开区域G是单连通区域是单连通区域;3.环流量与旋度环流量与旋度 第二部分第二部分:题型小结题型小结解解:法法1:法法2:解解:解解:解解:Solution.添加辅助线添加辅助线AO,应用应用Green公式公式,Solution.所以积分与路径无关所以积分与路径无关.或者或者Solution.Solution.如图所示如图所示,取下侧；取下侧；取上侧；取上侧；取下侧取下侧.Solution.如图所示，如图所示，取后侧取后侧取左侧取左侧取上侧取上侧由由Gauss公式有公式有其中其中a为正常数，记为正常数，记表面的外侧为表面的外侧为，的体积为的体积为V,证明证明证明证明：xyzSolution.如图所示，如图所示，取下侧取下侧The end