【备考2018】就题论题之高考理科数学大题21(第七期).docx

就题论题 第七期（该期刊仅在学科网发行，未经允许不得转载。）
【备考2018：就题论题之高考理科数学大题21】
备考2018：我一题一题讲，你一题一题学！
就题论题之高考数学复习题型入门
总述：
我们经常讲高考是有规律的。的确，正是固定的题目模式给了我们研究高考的方向。因此我们打算每个题每个题给同学们讲述，让同学们逐题突破。这种固定的题目模式我们叫做——题型。我们每个学科先给同学们考试题型的分布和具体分数设置，然后具体逐个突破。

高考数学试卷结构：

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

从以上我们可以看出：
试卷总体分三个部分，分选择题、填空题和解答题。
两道选考，二选一做答。

所以，想要获得自己理想分数，不是指望哪个题要拿满分，而是那一些题该拿多少分，不要因小失大。有些同学总是以为只要自己不断练习就会获得130、140这样的高分，但是如果你的分数只有90、100这样，难免好高骛远了，所以在每一次考试明确自己那个该得分，得多少分我们都应该明白，而在哪个分数或者说要达到哪个分数我们会给出一些参考。

【十进制标准】
所谓十进制标准，就是把自己的目标设置为在自己的原有的分数上再加10分。比如你现在90分，那么你下一次考试目标就是100了，但是当你考140的时候，目标不可能150，因为这几乎不可能！所以当分数到达普通高考极限时，你要做的就是能提一分算一分。

【导函数特点】
导数与函数的结合是整张卷子最难的，一般大型考试该题不会出现简单题的现象，当然也会有很多考试空白交卷，虽然不提倡，但是如果前面做的好，该题成不了拉分题，所以可以适当放弃。

【解题步骤&知识准备】
正面战场：①.先按自己的方法做一遍，不会的同学可省略此步骤；②.准备敌后战场。
敌后战场：①收集做过的题目；②.进行归类，适当总结；③.识记，做适当练习，如此重复即可。

我们这一期来探讨一下高考数学卷的高考理科数学大题21。
我们看看2017年刚刚考完的新课标Ⅰ卷：

21.（12分）
已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围.
【题目短答案长】
第一问就会开始考查分类讨论的思想，总结好分类讨论的一般步骤，做题时步步为赢。

21.解：（1）的定义域为，，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.
综上，的取值范围为.

新课标Ⅱ：
21.（12分）
已知函数且.
（1）求a；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且.
【问（1）】
说一说：第一问求某个值，说明高温比较简单，建议考生看见时要留时间做，但如果没有也不必紧张。

21.解：
（1）的定义域为
设，则等价于
因为
若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故
综上，a=1
（2）由（1）知
设
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增
又，所以在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，.
因为，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点
由
由得
因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由得

所以

【入门题一】
21．（本小题满分12分）
设函数, 已知曲线
在点处的切线与直线垂直.
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ) 若对任意x≥1，都有，求的取值范围.

21．（本小题满分12分）
解　
(1)曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2，------------2分
又f′(x)＝ln x＋＋1，即ln 1＋b＋1＝2，所以b＝1. -----------------4分
(2) g(x)的定义域为(0，＋∞)，
g′(x)＝＋(1－a)x－1＝ (x－1). ----------------------------5分
①若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增. 所以，对任意x≥1，都有g(x) ＞ 的充要条件为g(1) ＞ ，即－1＞，解得a＜－－1或－1 ＜a≤ ---------------------8分
②若＜a＜1，则＞1，故当x∈时，g′(x)＜0；当x∈时，g′(x)＞0.f(x)在上单调递减，在上单调递增.
所以，对任意x≥1，都有g(x) ＞ 的充要条件为g＞ .而g＝aln＋＋＞在＜a＜1上恒成立，
所以＜a＜1 -----------------------------------------------10分
③若a＞1，g(x)在[1，＋∞)上递减，不合题意。
综上，a的取值范围是(，－－1)∪(－1，1). --------------------12分

【入门题二】
21．已知函数f（x）＝（ax2－lnx）（x－lnx）＋1（a∈R）．
（1）①.若ax2＞lnx，求证：f（x）≥ax2－lnx＋1；
②.若，f（x0）＝1＋x0lnx0－ln2x0，求a的最大值；
（3）求证：当1＜x＜2时，f（x）＞ax（2－ax）．

21．（1）①.证明：设g（x）＝x－lnx（x＞0），则，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）递减；当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）递增，
所以当x＞0时，g（x）≥g（1）＝1．
∵ax2＞lnx，∴ax2－lnx＞0，∴f（x）≥ax2－lnx＋1．
②.由f（x0）＝1＋x0lnx0－ln2x0得或x0－lnx0＝0（由（1）知不成立舍去），
即，
设（x＞0），则，
当时，h′（x）＞0，函数h（x）递增；当时，h′（x）＜0，函数h（x）递减，所以当x＞0时，，∴．
（3）证明：f（x）＝（ax2－lnx）（x－lnx）＋1＝ln2x－（x＋ax2）lnx＋ax3＋1

．
当1＜x＜2时，－x2∈（－4，－1），∴．
故f（x）≥ax（2－ax），等号若成立，则即lnx＝x，由（1）知lnx＝x不成立，故等号不成立，从而f（x）＞ax（2－ax）．

【入门题三】
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若在恒单调递减，求的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，求的取值范围并证明.

21. (1)因为,所以由在上恒成立得,
令,易知在单调递增单调递减, 所以,
即得： ……………5分
(2)函数有两个极值点,
即有两个不同的零点,且均为正， ,
令,由可知
1. 时,函数在上是增函数,不可能有两个零点.
2. 时, 在是增函数在是减函数,
此时为函数的极大值,也是最大值.
当时,最多有一个零点,所以才可能有两个零点,
得： ……………7分
此时又因为, , ,
令,在上单调递增, 所以
,即
综上,所以的取值范围是 ……………8分
下面证明
由于在是增函数在是减函数, , 可构造出
构造函数
则,故在区间上单调减. 又由于,
则,即有在上恒成立，即有成立.
由于,, 在是减函数, 所以
所以成立 ……………12分