全国各地中考数学模拟试卷汇编：开放性问题.doc

开放性问题
一.选择题
1. （2017•山东潍坊广文中学、文华国际学校•一模）如图1，点D在△ABC的边AC上，要
判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（　　）
图1
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC
C． D．
答案：C；

2. (2017•山东东营•一模)如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（　　）
A．16 B．15 C．14 D．13
答案：C

二.填空题
1. （2017•山东潍坊•第二学期期中）请写出一个以x1＝2，x2=3为根的二元一次方程： ．
答案：答案不唯一，如x2－5x+6=0 或（x－2）（x－3）=0；

三.解答题
1. （2017·辽宁盘锦市一模）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF
（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD
三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其
他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系
②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．
求OC的长度．

证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°﹣∠DAC，
∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，则在△BAD和△CAF中，
， ∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF∵BD+CD=BC∴CF+CD=BC
（2）CF﹣CD=BC；（3）①CD﹣CF=BC
②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠ABD，
∵∠ABC=45°，∴∠ABD=135°，∴∠ACF=∠ABD=135°，
∴∠FCD=90°∴△FCD是直角三角形。∵正方形ADEF的边长为2且对角线AE、 DF
相交于点O ∴DF=AD=4，O为DF中点∴OC=DF=2

2．（2017·辽宁东港市黑沟学校一模，12分）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M．
（1）如图1，当∠A=30°时，求证：MC2=AM2+BC2；
（2）如图2，当∠A≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；（3）将三角形ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N，连接MN，则MN2=AM2+BN2成立吗？
答：______________（填“成立”或“不成立”）

（1）证明：如图1，过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，
∵∠ACB=90°，
∴BC∥AF，
∴△BOC∽△AOF，
∴==，
∵O为AB中点，
∴OA=OB，
∴AF=BC，CO=OF，
∵∠MOC=90°，
∴OM是CF的垂直平分线，
∴CM=MF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，
即MC2=AM2+BC2；
（2）解：不成立，
理由是：如图2，
过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，
∵∠ACB=90°，
∴BC∥AF，
∴△BOC∽△AOF
∴==，
∵OA=OB，
∴AF=BC，CO=OF，
∵∠MOC=90°，
∴OM是CF的垂直平分线，
∴CM=MF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，
即MC2=AM2+BC2；
（3）成立．

3. （2017·山东省济南市商河县一模）(本小题满分9分)
如图1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边BC上任意一点，以直线AD为对称轴，作Rt△ABC的轴对称图形Rt△AEF，点M、点N、点P、点Q分别为AB、BC、EF、EA的中点．
(1)求证：MN=PQ；
(2)如图2，当BD=时，判断点M、点N、点P、点Q围成的四边形的形状，并说明理由；
(3)若BC=6，请你直接写出当BD=0；BD=3；BD=2；BD=6时，点M、点N、点P、点Q围成的图形的形状．
B
A
C
27题备用图
N
A
B
C
D
E
F
M
P
Q
27题图2
A
B
C
D
E
F
P
Q
N
M
27题图1

(1)证明：∵△ABC与△AEF关于直线AD对称，
∴△ABC≌△AEF，
∴AC=AF，-----------------------------------------1分
∵点M、N、P、Q分别是AB、BC、EF、EA的中点，
∴MN、PQ分别是△ABC和△AEF的中位线，
∴MN=AC，PQ=AF
∴MN=PQ.------------------------------------------------2分
(2)解：当BD=BC时，点M、点N、点P、点Q围成的四边形是矩形. 1分
连结BE、MN、PQ
∵点M、点Q是AB、AE的中点，
∴MQ∥BE且MQ=BE
∵点N是BC中点，
∴BN=BC，
又∵BD=BC，
∴DN=BN﹣BD=BC－BC=BC，
∴=， 2分
∵点B与点E关于直线AD对称，
∴BE⊥AD，
同理PN⊥AD，
∴BE∥PN，
∴△PDN∽△EDB，
∴== ， 3分
∴MQ∥PN且MQ=PN，
∴四边形MQNP是平行四边形，
∵MN=PQ，
∴四边形MQNP是矩形. 4分
(3)当BD=0 或3时，点M、点N、点P、点Q围成等腰三角形； 1分
当BD=2或6时，点M、点N、点P、点Q围成矩形； 3分