北京电大《微积分初步》试题分类整理.doc

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I
电大《微积分初步》试题分类整理
一、 填空题( 每小题4分, 本题共20分)
㈠函数的的基本知识( 一般是填空题的第1题)
1
⒈ 函数 f (x) = ln(x + 2) + 4− x 的定义域是(−2,−1) ∪ (−1,4]．
1
⒉ 函数 f (x) = ln(x + 2) + 4 − x 2 的定义域是(−2,−1) ∪ (−1,2]．
1
⒊ 函数 f (x) = ln(x +1) + 4 − x 2 的定义域是(−1,0) ∪ (0,2]．
1
⒋ 函数 f (x) = ln(x + 2) 的定义域是(−2,−1) ∪ (−1,+∞)．
x
⒌ 函数 f (x) = ln(x − 2)的定义域是(2,3) ∪ (3,+∞)．
1
⒍ 函数 f (x) =
的定义域是( -2, 2)
2
4 − x
1
⒎ 函数 f (x) = ln(x +1) + 5− x 的定义域是(−1,0) ∪ (0,5)
⒏ 函数 f (x + 2) = x
⒐ 函数 f (x −1) = x
⒑ 函数 f (x + 2) = x
⒒ 设 f (x +1) = χ2 + 2x −1,则 f (x) = χ2 − 2
2
+ 4x + 7, 则 f (x) =
．
− 2x + 7, 则 f (x) = χ2 − 6．
+ 4x + 5, 则 f (x) = x +1
2
2
2
−1
f (x +1)+ x
2
+ 2x + 2, 则 f (x)= y = x
2
⒓
若函数
⒔ 若函数 f (x −1) = x − 2x −5,则f (x) = x − 6
2 2
⒕ 函数 y = 3(x +1)2的单调增加区间是[−1,+∞)．
㈡极限与连续( 一般是填空题的第2题)
⒈ 若lim sin 4x = 2, 则k =2．
x→0
kx
sin 6x
⒉ 若lim
x→ sin kx = 2, 则k =3．
0
⒊ lim sin 2x =2．
x→0
x
1
⒋ lim xsin =1．
x→∞
x
⒌ lim sin x =0．
x→∞ 2x
⎧
x 2 + 2, x ≠ 0,在 x = 0处连续, 则 k =2．
⒍ 若函数 f (x) =
⎨
⎩
k,
x = 0
⎧
3
⒎ 若函数 f (x) = ⎪⎨
xsin +1, x ≠ 0,在 x = 0处连续, 则k =1．
x = 0
x
k,
⎪
⎩

II
⎧
2
xsin + k, x ≠ 0
⒏ 设函数 f (x) = ⎪⎨
在x = 0处连续, 则k = -1．
x
⎪
⎩
−1,
x = 0
⎧
1
⎪xsin + k, x ≠ 0在x = 0处连续, 则k =1
x = 0
⒐ 若函数 f (x)
=
⎨
x
1,
⎪
⎩
⒑ 函数 y = x
2
− 2x − 3 的间断点是 x = −1．
x +1
㈢导数的几何意义( 一般是填空题的第3题)
⒈ 曲线 y = e x在点(0, 1)处的切线方程是 y = x +1．
⒉ 曲线 y = x 在点(1, 1)处的切线方程是 y = 1 x + 1 ．
2
2
1
2
在点( 1, 1) 处的切线方程是 y = − 1 x + 32
2
⒊ 曲线在 y = x−
3
⒋ 曲线在任意一点处的切线斜率为 x , 且曲线过点( 1, 1) , 则曲线方程为 y = 2 x 2 + 1
3
3
1
⒌ 曲线 f (x) = x +1在(0,1)点的切线斜率是 ．
2
1
⒍ 曲线 f (x) = x +1在点( 1, 2) 处的切线斜率是 2
1
⒎ 曲线 y = x 在点(1, 1)处的切线斜率是 ．
2
⒏ 曲线 f (x) = e x +1在(0, 2)处的切线斜率是1．
㈣导数与积分( 一般是填空题的第4题)
1.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3), 则 y′(0) = -6．
2.已知 f (x) = 2 x, 则 f ′′(x)= 2 x (ln 2)2．
3.已知 f (x) = x
3 + 3x, 则 f ′(3)=27(1+ ln3)．
4.若∫ f (x)dx = sin 2x + c, 则 f (x)= 2cos2x．
d
e
∫
5.
ln(x 2 +1)dx =0．
dx
1
2
x
+ c．
6.∫ 2 x dx =
ln 2
1
7.若 是 f (x)的一个原函数, 则 f ′(x) =
．
x
8. d e−x2dx = e−x2dx．
∫
∫
9. (sinx)′dx = sin x + c．
10.若∫ f (x)dx = F(x) + c, 则∫ f (2x − 3)dx = 12 F(2x − 3) + c．

III
11.∫
1 (5x3 − 3x + 2)dx =4．
−1
12．∫ de x =
2
e
x2 + C ．
∫
13．若 sin xdx=-cosx+c
14．由定积分的几何意义知, ∫
a
a 2 − x 2 dx =D
a
2
4
0
15.若∫ f (x)dx = cos2x + c, 则 f ′(x)＝-4cos2x．
1
16.若
∫ f (x)dx = xln x + c则 f (x)=
1
x
㈤微分方程的基本知识( 一般是填空题或选择题的第5题)
1.微分方程 y′ = y, y(0) = 1的特解为 y = e x．
2.微分方程 y′ = 2x满足初始条件 y(0) =1的特解为 y = x 2 +1．
3.微分方程 y′+ 3y = 0的通解为 y = ce−3x
4．微分方程(y′′)3 + 4xy′′′ = y 5 sin x的阶数为3．
5.(y′)4 + ln y + y′′′ = sin 2x为3阶微分方程.
6.微分方程(y′′)3 + 4xy(4) = y5 sin x的阶数为4 ．
7.微分方程 xy′′′ + (y′)4 sin x = e x+ y的阶数是3．
8.微分方程(y′′)3 + 4xy (4) = y 7 sin x的阶数为4．
9.微分方程 xy′′′ + (y′)2
+ y 4 = 0的阶数是3
10.微分方程(y′′)3 + y(4) sin x =
y x
5 2的阶数为4
11．微分方程 xy′′+ (y′)3 = 0的阶数是 2
．
12.微分方程(y + 4xy = y sin x的阶数为 5
''
)
3
(5) 6
二、 单项选择题( 每小题4分, 本题共20分)
㈠函数的的基本知识( 一般是单项选择题的第1题)
⒈ 设函数 y = xsin x, 则该函数是( A．) ．
A．偶函数
B．奇函数
C．非奇非偶函数
D．既奇又偶函数
2．下列函数中为奇函数是( D．
) ．
A． xsin x
3.设函数 y = 10−
A．奇函数
B．ln x
C． x + x
2
D．ln(x + 1+ x )
2
x
+10
x
, 则该函数是( B．) ．
2
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既奇又偶函数
D．既奇又偶函数
4.设函数 y = e−
x
+ e
x
x
, 则该函数是( B．) ．
2
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
x
− e−
2
5.设函数 y = e
, 则该函数是( A．) ．
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既奇又偶函数
6.函数 y = e−
− e
x x
的图形关于( A.) 对称．
2

IV
A.坐标原点
B. x轴
C． y 轴
D. y = x
7.函数 f (x) = x 2
x
+ 2−
2
x
的图形是关于( D.) 对称
A．
y = x
B.x轴
C.y轴
D.坐标原点
D．单调增加
8.函数 y = x
2
+ 4x − 6在区间(−4,4)是( A．)
A．先减后增
B．先增后减
C．单调减少
9.函数 y = x
2
+ 2x + 7在区间(−2,2)是( C．)
A．单调减少
B．单调增加
C．先减后增
C．先增后减
D．先增后减
10.函数 y = (x +1)2在区间(−2,2)是( D．)
A．单调增加
B．单调减少
D．先减后增
11．函数 y = x +1在区间(−2,2)是( B．)
2
A．单调下降
B．先单调下降再单调上升
C．先单调上升再单调下降
D．单调上升
12.下列函数在指定区间(−∞,+∞)上单调减少的是( D．) ．
B．e C． x
13.下列函数在指定区间(−∞,+∞)上单调增加的是( B．) ．
A．sin x
x
2
D．3− x
A．sin x
B． 2x
C． x
2
D. 5− x
2
1
14．函数 y =
x − 4 + ln x的定义域为( D．) ．
A． x > 0
B． x ≠ 4
C． x > 0且 x ≠ 1
D． x > 0且 x ≠ 4
x
15.函数 f (x) = ln(x +1)
的定义域是( C.)
A. (-1 , ∞)
B. (0 , + ∞)
C. (-l ,0)∪(0 , ∞ )
D. (0,1)∪(1 , ∞ )
16.设f(x + 1) = x 2
+ 2x − 3, 则 f (x) =( D．)
B． x − 2 C． x
−1, 则 f (x) =( C．)
B． x
−1, 则 f (x) =( A．)
B． x
A． x
17.设 f (x +1) = x
A． x(x +1)
18. 设 f (x −1) = x
2
−1
2
2
2
− 4
D． x − 4
2
2
C． x(x − 2)
D．(x + 2)(x −1)
D．(x + 2)(x −1)
2
A． x(x + 2)
2
C． x(x − 2)
㈡极限与连续( 一般是单项选择题的第2题)
1.若函数 f (x) = sin x
, 则lim f (x) =( A．) .
2x
→0
x
1
2
A．
B．0
C．1
D．不存在
2. 已知 f (x) = sin x −1,当( C.)时, f (x)为无穷小量.
x
A. x → +∞
B. x → −∞
C. x → 0
D. x →1
3.当 x → 0时, 下列变量中为无穷小量的是( C．) .
1
sin x
x
A．
B．
C．ln(1+ x)
D．
x
x
x
2

V
4.已知 f (x) = x − sin x ,当 χ →( D.)时, f (x)为无穷小量.
x
A.+ ∞
B.∞
C.1
D.0
⎧
x 2 + 2, x ≠ 0, 在 x = 0处连续.
5.当 k =( C．) 时, 函数 f (x) =
⎨
⎩
k,
x = 0
A．0
B．1
C．2
D．3
⎧
⎨
⎩
e x + 2, x ≠ 0在 x = 0处连续.
6.当 k =( D．) 时, 函数 f (x) =
k,
x = 0
A．0
B．1
C．2
D．3
⎧
⎨
⎩
e x +1, x ≠ 0在 x = 0处连续.
7．当 k =( C．) 时, 函数 f (x) =
k, x = 0
A．0
B．1
C．2
D．e +1
⎧
⎨
⎩
x2 +1, x ≠ 0, 在 x = 0处连续.
k x = 0
8.当 k =( A．) 时, 函数 f (x) =
A．1
B．2
C．−1
D．0
9. 当k =( B．) 时, 函数 f (x) = ⎨x 1, x ≠ 0, 在 x = 0处连续.
⎧ 2 −
⎩ k
x = 0
A．0
B．-1
C．1
D．2
x − 3
− 3x + 2
10.函数 f (x) =
的间断点是( A．)
x
2
A． x = 1, x = 2
B． x = 3
C． x = 1, x = 2, x = 3
D．无间断点
㈢导数与积分( 一般是单项选择题的第3, 4题)
1．函数 f (x) = ln x在 x = e处的切线方程是( C.) ．
1
1
1
1
A. y = x
B. y = x −1
C. y = x +1
D. y = x − e +1
e
e
e
e
2.在切线斜率为2x的积分曲线族中, 经过点( 1, 4) 的曲线为( C．) ．
A． y = x
2
+1
B． y = x
2
+ 2
C．y = x2 + 3
D． y = x2 + 4
3.下列结论中( C．) 正确．
A． f (x)在 x = x0处连续, 则一定在 x0处可微.
C． f (x)在 x = x0处不连续, 则一定在 x0处不可导.
B．函数的极值点一定发生在其驻点上.
D．函数的极值点一定发生在不可导点上.
4.若函数f (x)在点x0处可导, 则(B．)是错误的．
A．函数f (x)在点x0处有定义
B． lim f (x) = A, 但 A ≠ f (x0)
x→x
0
C．函数f (x)在点x0处连续
D．函数f (x)在点x0处可微
5. 满足方程 f ′(x) = 0的点一定是函数 f (x)的( C．)
A．极值点
B．最值点
C．驻点
D．间断点
6下列等式中正确的是( D.) ．
1
1
dx = d(2 x)
x
A . sin xdx = d(cos x)
B. ln xdx = d( )
C . a xdx = d(a x )
D.
x
7.以下等式成立的是( A．)

VI
A．3x dx = d3x
dx 2 = d(1+ x )
dx = d x
1
2
ln xdx = d( )
B．
C．
D．
D．
ln3
1+ x
x
x
8.设 y = lg2x, 则dy =( D．) ．
21x dx
B．
1x dx
C．
ln10
dx
1
x ln10 dx
A．
x
9.若 f (x) = x + x(x > 0), 则∫ f ′(x)dx =( B.) .
3
3
1
+ 2 x 2 + c
+ 3 x 2 + c
A.
x 2 + x + c
B.
x + x + c
C.
x
2
D.
x
2
2
3
2
10.下列等式成立的是( A．) ．
d ∫ f (x)dx = f (x)
B．∫ f ′(x)dx = f (x)
C．d f (x)dx = f (x)
D． df (x) = f (x)
D. (x +1) f ′(x) + c
∫
∫
A．
dx
11. xf ′′(x)dx =( A.)
∫
1
A. xf ′(x) − f (x) + c
B. xf ′(x) + c
C.
x 2 f ′(x) + c
2
1
1
12.如果等式∫ f (x)e dx = −e x + c, 则 f (x) =( D.)
x
1
1
1
1
D.
A.−
B. −
C.
x
13. 下列无穷积分收敛的是( B．) ．
x
2
x
x
2
+∞
+∞ 1
+∞
D．∫1
1
A．∫0
B．∫0+∞e−2xdx
C．∫1
sinxdx
dx
dx
x
x
1
∫
(ecos x.sin x + 2x
2
)dx =( D.)
14.
−1
2
4
3
A.0
B.1
C.
D.
3
15.设 f (x)是连续的奇函数, 则定积分∫a f (x)dx =( D．)
-a
A．2∫0 f (x)dx
-a
B．∫0 f (x)dx
-a
a
C．∫
f (x)dx
D．0
0
16. 下列结论中( A )不正确.
A. f (x)在 x = x0处连续, 则一定在 x0处可微
B. f (x)在 x = x0处不连续, 则一定在 x0处不可导
C. 可导函数的极值点 一定发生在其驻点上
D. 若 f (x)在 [ a , b ] 内 f (x)＜0 恒有则在 [ a , b] 内 函数是单调下降的
'
1
1
−
dx = −e−
∫
17.若
18.若
f (x)e
x
x
+ c, 则f (x) =( B.)
1
1
1
1
A.
B.−
C.
D. −
x
2
x
2
x
x
∫ 1
0(2x + k)dx = 2, 则k=(A. 1)
1
A. 1
B. -1
C. 0
D.
2
㈣微分方程的基本知识( 一般是填空题或选择题的第5题)
1.微分方程(y′′)3 + 4xy′′′ = y 5 sin x的阶数为( B.)
A. 2;
B. 3;
C. 4;
D. 5

VII
2. 微分方程(y′)3 + 4xy′′′ = y 5 y′′sin x的阶数为( C.)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
3.微分方程 y′ = y +1的通解是( A.)
Cx−1; C. y = x + C; D. y = 1
A.
y = Ce x −1; B. y = e
x + C
2
2
4.微分方程 y′ = y +1的通解为( B.)
A.
y = ce x +1;
B. y = ce
5．微分方程 y′ = y, y(0) = 1的特解为( C．) ．
B． y = e x
−1;
C. y = 1
x
2
+ c;
D. y = x + c
x
2
A． y = 0.5x
2
−
C． y = e
x
D． y = e +1
x
6.函数 y = e2x是微分方程( D. ) 的解
A. y '+ y = 0
B.
y '− y = 0
C. y '+ 2y = 0
C. y = ce
D. y '− 2y = 0
D. y = e + c
7.微方程 y ' = y的通解为( C.)
y = e
cx
B. y = ce−x
x
x
A.
8.下列微分方程中为可分离变量方程的是( B.)
dy
dy
dy
dy
A.
dx = x + y ;
B.
dx = xy + y;
C.
dx = xy + sin x;
D.
dx = x(y + x)
9.下列微分方程中, ( D．) 是线性微分方程．
A． yx2 + cos y = y′ B． y′y + yx = sin x
C． y′′+ xy′ = ln y
D． y′′sin x − y′e
x
= y ln x
三、 计算题( 本题共44分, 每小题11分)
㈠计算极限( 一般是计算题的第1题)
x
x
2
2
− 6x + 8
− 3x + 2
1 解: 原式= lim (x − 4)(x − 2) = lim
x − 4 = −2
2 x −1
→
⒈计算极限lim
．
2 (x − 2)(x −1)
x→2
x
→
x
2.计算极限lim x
2
2
− 6x + 8
．
．
2解:
2
− 4
− 3x + 2
− 4
x→2
x
3.计算极限lim x
3 解: 原式= lim (x −1)(x − 2) = 1
x
2
→
2 (x − 2)(x + 2)
4
x→2
x
x
4.计算极限lim
x→4
2
2
− 6x +8
−5x + 4
4解: 原式= lim (x − 4)(x − 2)
x − 2
4 x −1
= 2
．
4 (x − 4)(x −1) = lim
x
→
→
3
x
x
5．计算极限lim x
2
− 2x − 3
− 9
．
．
．
5解: 原式= lim (x − 3)(x +1) = 2
x
2
→
3 (x − 3)(x + 3)
3
x→3
x
6．计算极限lim x
2
− 3x + 2
+ x − 6
− 3x + 2
+ x − 2
6解: lim x 2−+3xx−+62 = lim (x −1)(x − 2) = 1
5
x
2
x
2
→
x→
2 (x + 3)(x − 2)
x→2
x
2
7．计算极限lim x
x
2
2
x
2
− 3x + 2 =
(x −1)(x − 2) = − 1
7解: lin
lim
x→1 x 2 x 2 x→1 (x −1)(x + 2)
+ −
3
x→1
8.计算极限lim x
2
+ 2x −15
．
8解: 原式= lim3 ((xx +− 35))((xx +− 33)) = 4
x→
3
2
− 9
−1
x→3
x
x
2
9解: 原式= lim (x +1)(x −1) = lim
x +1
= − 2
9.计算极限lim
．
x
2
− 5x + 4
→
1 (x − 4)(x −1) 1 x − 4
x→
3
x→1
x
x
x
2
+ 4x − 5
− 5x + 4
10解: 原式= lim (x + 5)(x −1) = lim
x + 5
1 (x − 4)(x −1) 1 x − 4
= − 6 = −2
10.计算极限lim
．
2
3
x→1
x
→
x→
x
2
− 4
11解: 原式=limx→2 ((xx+− 2)(2)(xx−− 4)2) = lim
x + 2 = −2
x − 4
11.计算极限lim
2 x2 − 6x +8
x
→
x→2

VIII
12.计算极限 lim x
2
− 2x − 3
．
12解:
x
2
−1
−3x + 2
→1 x2 + 5x − 6
x→−1
x
2
13解: 原式=limx→1 ((xx +− 2)(6)(xx −−1)1) = lim
x − 2
x + 6
= − 1
13.计算极限lim
x→1
7
x
㈡求导数 y′或求微分dy( 一般是计算题的第2题)
1
1
1
1. 设 y = e x+1 + , 求 y′．
1解: y′ = e x+1
−
x
2 (x +1
x
2
1
+ x − 1
y = e
x
1
+ x −1,求y '
x
x
2.设 y = e
2解:
x
1
1
1
1
y ' = e
(−
2 )+ 2
+
2
x
x
x
x3
1
x , 求 y′.
1
1
1
3．设 y = x
2
e
3解: y′ = 2xe
+ x 2e
(− 12 ) =
e
(2x −1)
x
x
x
x
4．设 y = sin5 + cos x
x
3 , 求 y′.
4解: y′ = 5cos5x + 3cos
2
x(−sin x) = 5cos5x − 3sin xcos x
2
3
5．设 y = x 2 + lncos x, 求 y′.
1
5解: y′ = x 2 +
− sin x
1
3
= 3 x 2 − tan x
2
cos x
2
1
1
6设 y = ln + cos x
x
3 , 求dy.
6解: y′ = + 3cos
2
x(−sin x)
dy = ( − 3sin xcos
2
x)dx
x
x
7.设 y = e−2x + cos x, 求dy.
8.设 y = e x+1 + ln x, 求dy.
9.设 y = ln x + cose x, 求dy.
7解: y′ = −2e−2x − sin x
dy = −(2e−2x + sin x)dx
x+1
1
1
dy = ( e
2 x +1
1
8解: y′ = e x+1
+
+ )dx
2 x +1
x
x
9解:
10.设 y = x x + lncos x, 求dy.
10解:
11.设 y = 2
x
+ sin3x, 求dy.
11解: y′ = 2
x
ln 2 + 3cos3x
dy = (2
x
ln 2 + 3cos3x)dx
1
1
12.设 y = e−2x + x x , 求dy.
12解: y′ = −2e−2x + 3 x 2
dy = (−2e−2x + 3 x 2 )dx
2
2
㈢计算不定积分( 一般是计算题的第3题)
1
2
d(2x −1) = 1 (2x −1)11 + c
∫
1计算不定积分 (2x −1)10dx
∫
1解: (2x −1)10dx=
∫(2x −1)10
22
1
d(1− 2x) = − 1 (1− 2x)10 + c
∫
2.计算不定积分 (1− 2x)9dx
∫
2解: (1− 2x)
∫ (1- 2x)9
9
dx= −
2
20
(1−2x) dx=− (1−2x) d(1−2x) =− 1 (1−2x)
1
+c
5
5
∫
∫
6
∫
3．计算不定积分
( −
1 2x)5dx
3解:
2
12

IX
cos 1
cos 1
1 1 1
xdx= − cos d = −sin + c
∫
x x x
4.计算不定积分∫
5.计算不定积分∫
xdx
4解: ∫
x
2
x 2
sin 1x
sin 1
1 1 1
∫
dx = − sin d( ) = cos + c
x x x
xdx
5解: ∫
x
2
x
2
1
6.计算不定积分∫ e
x
x
2 dx
6解:
1
1
1
1
7．计算不定积分∫ x1
7解:∫ 1
∫
dx = − e
1
2e
x
dx
2e
x
x
d = −e
x
+ c
x
x
sin xdx
x
sin x
8.计算不定积分∫
8解: ∫
∫
dx= 2 sin xd x = −2cos x + C
x
cos xdx
x
cos x
9．计算不定积分∫
9解: ∫
∫
dx = 2 cos xd x = 2sin x + c
x
(1+ x)
2
(1+ x)
2
+ x) d(1+ x) = 2 (1+ x)3 + C
10．计算不定积分∫
11．计算不定积分∫
dx 10解: ∫
dx= 2 (1
∫
2
x
x
3
e
x
e
x
1
dx
11解: ∫
dx = ∫
5+ e
d(5+ e x ) = 2 5+ e x + c
x
5+ e
x
5+ e
x
∫
12.计算不定积分 xcos xdx
∫
∫
12解: xcos xdx= xsin x − sinxdx = xsin x + cos x + c
㈣计算定积分( 一般是计算题的第4题)
1
dx = ∫e3
1
e3
1
e3
1解: ∫1
1.计算定积分∫1e3
d(1+ lnx) = 2 1+ ln x = 2
dx
1+ ln x
x 1+ ln x
x 1+ ln x
1
1
e1+ 5ln x
e1+ 5ln x
dx = 1
(1+ 5lnx)d(1+ 5lnx) = 1 (1+ 5lnx)
= 1 (36−1) = 7
10 2
e
2 e
2.计算定积分∫
dx 2解: ∫1
∫
x
x
5
10
1
1
1
∫
1
3解: ∫
1
dx = xe x 1
− ∫1
dx = e − e x 1 = 1
xe
x
dx
xe
x
e
x
3.计算定积分
4.计算定积分
0
1
0
0
0
0
4解: ∫1
0
2xe
1
dx = 2xe x 1 − 2 e
∫
x
dx = 2e − 2e + 2 = 2
0
∫
2xe dx
x
x
0
1
0
1 1
2
5解: ∫1
0
1
dx = −xe−x 1 + e−xdx = − − +1= 1−
∫
0
∫
xe−
x
dx
xe−
x
5.计算定积分
0
e e
e
0
2
2
2
4
1
1
1
dx=−2xe−x 10 +2 e−xdx=− −2e−x 1 = − − + 2 = 2 −
1
∫
6.计算定积分 2 xe−
∫
x
dx
6解: 2xe−
∫
x
dx=2 xe−
∫
x
0
e
e
e
e
0
0
0
0
e2 x
7计算定积分 ∫e2
∫
−∫
1e2 ln xdx = xln x |1e2
=
dx 2e2
− (e
2
−1) = e2 +1
ln xdx
7解:
1
x
1
8.计算定积分∫eln xdx
1
8解:
π
D
D
9.计算定积分∫
2
2
2 xcos xdx
D
D
9解: ∫0
x cos xdx = x sin x 2
− ∫
sin xdx = D
+ cos x 2 = D − 1
0
0
0
2
0
2
π x
D x
1
1
1
2
cosxdx =D + 1 sin x
∫
D
=D
10．计算定积分∫ sin xdx 10解: ∫
sinxdx= xsinxdx=−
∫
D
xcosx
+
D
0
D
0
0 2
2
2
2
2
2
2
0
0
0

X
π
π
π
2 +∫
sin xdx = −xcos x |0
π
π
cos xdx = sin x |0 =1
∫
∫
11解:
2
0
xsin sdx
2
0
2
0
2
11.计算定积分
四、 应用题( 本题16分)
1.欲做一个底为正方形, 容积为 32立方米的长方体开口容器, 怎样做法用料最省?
V
解: 设底边的边长为 x, 高为h, 用材料为 y , 由已知 x
2h = V = 32, h =
2 ,
x
+ 4V
,
x
表面积 y = x
2
+ 4xh = x
2
4V
V
令 y′ = 2x −
= 0, 得 x3 = 2V = 64, 此时 x = 4, h = 2 =2
x
2
x
由实际问题可知, x = 4是函数的极小值点, 因此当 x = 4, h = 2时用料最省。
1-1． 欲做一个底为正方形, 容积为 108立方米的长方体开口容器, 怎样做法用料最省?
(本题的解法与1同, 只需把V=62.5 代入即可。)
108
解: 设底边的边长为 x, 高为h, 用材料为 y , 由已知 x
2
h = 108,h =
x
2
108
432
表面积 y = x 2 + 4xh = x 2 + 4x⋅
= x 2 +
x
2
x
432
h = V2 =3
令 y′ = 2x −
= 0, 解得x3=