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第九章. 电 场
一、库仑定律
目的要求
复习库仑定律及其应用。
知识要点
1．真空中两个点电荷之间相互作用的电力，跟它们的电荷量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。即：
其中k为静电力常量， k=9.0×10 9 Nm2/c2
成立条件：
①真空中（空气中也近似成立）；
②点电荷。即带电体的形状和大小对相互作用力的影响可以忽略不计。（这一点与万有引力很相似，但又有不同：对质量均匀分布的球，无论两球相距多近，r都等于球心距；而对带电导体球，距离近了以后，电荷会重新分布，不能再用球心距代替r）。
2．同一条直线上的三个点电荷的计算问题。
3．与力学综合的问题。
例题分析
A B C
θ
θ
vt
y
m，q
v0
+4Q
-Q
例1：在真空中同一条直线上的A、B两点固定有电荷量分别为+4Q和-Q的点电荷。①将另一个点电荷放在该直线上的哪个位置，可以使它在电场力作用下保持静止？②若要求这三个点电荷都只在电场力作用下保持静止，那么引入的这个点电荷应是正电荷还是负电荷？电荷量是多大？
解：①先判定第三个点电荷所在的区间：只能在B点的右侧；再由，F、k、q相同时∴rA∶rB=2∶1，即C在AB延长线上，且AB=BC。
②C处的点电荷肯定在电场力作用下平衡了；只要A、B两个点电荷中的一个处于平衡，另一个必然也平衡。由，F、k、QA相同，Q∝r2，∴QC∶QB=4∶1，而且必须是正电荷。所以C点处引入的点电荷QC= +4Q
O
A
B
mBg
F
N
L
d
例2：已知如图，带电小球A、B的电荷分别为QA、QB，OA=OB，都用长L的丝线悬挂在O点。静止时A、B相距为d。为使平衡时AB间距离减为d/2，可采用以下哪些方法
A.将小球A、B的质量都增加到原来的2倍
B.将小球B的质量增加到原来的8倍
C.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半
D.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半，同时将小球B的质量增加到原来的2倍
解：由B的共点力平衡图知，而，可知，选BD
A
B
-Q
-2Q
例3：已知如图，光滑绝缘水平面上有两只完全相同的金属球A、B，带电量分别为-2Q与-Q。现在使它们以相同的初动能E0（对应的动量大小为p0）开始相向运动且刚好能发生接触。接触后两小球又各自反向运动。当它们刚好回到各自的出发点时的动能分别为E1和E2，动量大小分别为p1和p2。有下列说法：①E1=E2> E0，p1=p2> p0 ②E1=E2= E0，p1=p2= p0 ③接触点一定在两球初位置连线的中点右侧某点 ④两球必将同时返回各自的出发点。其中正确的是
A.②④ B.②③ C.①④ D.③④
解：由牛顿定律的观点看，两球的加速度大小始终相同，相同时间内的位移大小一定相同，必然在连线中点相遇，又同时返回出发点。由动量观点看，系统动量守恒，两球的速度始终等值反向，也可得出结论：两球必将同时返回各自的出发点。且两球末动量大小和末动能一定相等。从能量观点看，两球接触后的电荷量都变为-1.5Q，在相同距离上的库仑斥力增大，返回过程中电场力做的正功大于接近过程中克服电场力做的功，由机械能定理，系统机械能必然增大，即末动能增大。选C。
A
B
C
FAB
FB
FCB
F
本题引出的问题是：两个相同的带电小球（可视为点电荷），相碰后放回原处，相互间的库仑力大小怎样变化？讨论如下：①等量同种电荷，F /=F；②等量异种电荷，F /=0<F；③不等量同种电荷F />F；④不等量异种电荷F />F、F /=F、F /<F都有可能，当满足q1=（3±2）q2时F /=F。
例4：已知如图，在光滑绝缘水平面上有三个质量都是m的相同小球，两两间的距离都是l，A、B电荷量都是+q。给C一个外力F，使三个小球保持相对静止共同加速运动。求：C球的带电电性和电荷量；外力F的大小。
解：先分析A、B两球的加速度：它们相互间的库仑力为斥力，因此C对它们只能是引力，且两个库仑力的合力应沿垂直与AB连线的方向。这样就把B受的库仑力和合力的平行四边形确定了。于是可得QC= -2q，F=3FB=3FAB=。
二、电场的性质
目的要求
复习电场强度、电势、电势能。
知识要点
电场的最基本的性质是对放入其中的电荷有力的作用，电荷放入电场后就具有电势能。
1.电场强度E是描述电场的力的性质的物理量。
⑴定义：放入电场中某点的电荷所受的电场力F跟它的电荷量q的比值，叫做该点的电场强度，简称场强。
①这是电场强度的定义式，适用于任何电场。
②其中的q为试探电荷（以前称为检验电荷），是电荷量很小的点电荷（可正可负）。
③电场强度是矢量，规定其方向与正电荷在该点受的电场力方向相同。
⑵点电荷周围的场强公式是：，其中Q是产生该电场的电荷，叫场电荷。
⑶匀强电场的场强公式是：，其中d是沿电场线方向上的距离。
匀强电场
等量异种点电荷的电场
等量同种点电荷的电场
－ － － －
点电荷与带电平板
+
孤立点电荷周围的电场
2．电势
φ是描述电场的能的性质的物理量。电场中某点的电势，等于单位正电荷由该点移动到参考点（零电势点）时电场力所做的功。和机械能中的重力势能类似，电场力做功也只跟始末位置间的电势差有关，和路径无关。W电=Uq。根据功是能量转化的量度，有ΔE=-W电，即电势能的增量等于电场力做功的负值。
3．电场线和等势面
要牢记以下6种常见的电场的电场线和等势面，注意电场线、等势面的特点和电场线与等势面间的关系：
①电场线的方向为该点的场强方向，电场线的疏密表示场强的大小。
②电场线互不相交，等势面也互不相交。
③电场线和等势面在相交处互相垂直。
④电场线的方向是电势降低的方向，而且是降低最快的方向。
⑤电场线密的地方等差等势面密；等差等势面密的地方电场线也密。
4．电荷引入电场
（1）将电荷引入电场：将电荷引入电场后，它一定受电场力Eq，且一定具有电势能φq。
（2）在电场中移动电荷电场力做的功：在电场中移动电荷电场力做的功W=qU，只与始末位置的电势差有关。在只有电场力做功的情况下，电场力做功的过程是电势能和动能相互转化的过程。W= -ΔE=ΔEK。
⑴无论对正电荷还是负电荷，只要电场力做功，电势能就减小；克服电场力做功，电势能就增大。
⑵正电荷在电势高处电势能大；负电荷在电势高处电势能小。
⑶利用公式W=qU进行计算时，各量都取绝对值，功的正负由电荷的正负和移动的方向判定。
⑷每道题都应该画出示意图，抓住电场线这个关键。（电场线能表示电场强度的大小和方向，能表示电势降低的方向。有了这个直观的示意图，可以很方便地判定点电荷在电场中受力、做功、电势能变化等情况。）
+
－
a o
c
例题分析
例1：如图所示，在等量异种点电荷的电场中，将一个正的试探电荷由a 点沿直线移到o点，再沿直线由o点移到c点。在该过程中，检验电荷所受的电场力大小和方向如何改变？其电势能又如何改变？
解：根据电场线和等势面的分布可知：电场力一直减小而方向不变；电势能先减小后不变。
A
B
C
O
EB
EA
EC
例2：图中边长为a的正三角形ABC的三点顶点分别固定三个点
电荷+q、+q、-q，求该三角形中心O点处的场强大小和方向。
解：每个点电荷在O点处的场强大小都是
由图可得O点处的合场强为方向由O指向C 。
-5 -3 -1 1
-4Q +9Q
例3：如图，在x轴上的x = -1和x =1两点分别固定电荷量为- 4Q和+9Q的点电荷。求：x轴上合场强为零的点的坐标。并求在x = -3点处的合场强方向。
解：由库仑定律可得合场强为零的点的坐标为x= -5。x= -5、x= -1、x=1这三个点把x轴分成四段，可以证明：同一直线上的两个点电荷所在的点和它们形成的合场强为零的点把该直线分成4段，相邻两段上的场强方向总是相反的。本题从右到左，4个线段（或射线）上的场强方向依次为：向右、向左、向右、向左，所以x= -3点处的合场强方向为向右。
+
ABC
例4：如图所示，三个同心圆是同一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列。A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上。A、C两点的电势依次为φA=10V和φC=2V，则B点的电势是
A.一定等于6V B.一定低于6V
C.一定高于6V D.无法确定
解：由U=Ed，在d相同时，E越大，电压U也越大。因此UAB> UBC，选B
+
A
B
F
v
例5：如图所示，将一个电荷量为q = +3×10-10C的点电荷从电场中的A点移到B点过程，克服电场力做功6×10-9J。已知A点的电势为φA= - 4V，求B点的电势。
解：先由W=qU，得AB间的电压为20V，再由已知分析：向右移动正电荷做负功，说明电场力向左，因此电场线方向向左，得出B点电势高。因此φB=16V。
例6：α粒子从无穷远处以等于光速十分之一的速度正对着静止的金核射去（没有撞到金核上）。已知离点电荷Q距离为r处的电势的计算式为 φ=，那么α粒子的最大电势能是多大？由此估算金原子核的半径是多大？
解：α粒子向金核靠近过程克服电场力做功，动能向电势能转化。设初动能为E，到不能再接近（两者速度相等时），可认为二者间的距离就是金核的半径。根据动量守恒定律和能量守恒定律，动能的损失，由于金核质量远大于α粒子质量，所以动能几乎全部转化为电势能。无穷远处的电势能为零，故最大电势能E=J，再由E=φq=，得r =1.2×10-14m，可见金核的半径不会大于1.2×10-14m。
A
B
C
D
例7：已知ΔABC处于匀强电场中。将一个带电量q= -2×10-6C的点电荷从A移到B的过程中，电场力做功W1= -1.2×10-5J；再将该点电荷从B移到C，电场力做功W2= 6×10-6J。已知A点的电势φA=5V，则B、C两点的电势分别为____V和____V。试在右图中画出通过A点的电场线。
解：先由W=qU求出AB、BC间的电压分别为6V和3V，再根据负电荷A→B电场力做负功，电势能增大，电势降低；B→C电场力做正功，电势能减小，电势升高，知φB= -1VφC=2V。沿匀强电场中任意一条直线电势都是均匀变化的，因此AB中点D的电势与C点电势相同，CD为等势面，过A做CD的垂线必为电场线，方向从高电势指向低电势，所以斜向左下方。
a
b
c
P
Q
例8：如图所示，虚线a、b、c是电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相同，实线为一个带正电的质点仅在电场力作用下，通过该区域的运动轨迹，P、Q是轨迹上的两点。下列说法中正确的是
A.三个等势面中，等势面a的电势最高
B.带电质点一定是从P点向Q点运动
C.带电质点通过P点时的加速度比通过Q点时小
D.带电质点通过P点时的动能比通过Q点时小
解：先画出电场线，再根据速度、合力和轨迹的关系，可以判定：质点在各点受的电场力方向是斜向左下方。由于是正电荷，所以电场线方向也沿电场线向左下方。答案仅有D
三、带电粒子在电场中的运动
目的要求
复习带电粒子在电场中的运动规律。
知识要点
1.带电粒子在匀强电场中的加速
一般情况下带电粒子所受的电场力远大于重力，所以可以认为只有电场力做功。由动能定理W=qU=ΔEK，此式与电场是否匀强无关，与带电粒子的运动性质、轨迹形状也无关。
2.带电粒子在匀强电场中的偏转
质量为m电荷量为q的带电粒子以平行于极板的初速度v0射入长L板间距离为d的平行板电容器间，两板间电压为U，求射出时的侧移、偏转角和动能增量。
⑴侧移：千万不要死记公式，要清楚物理过程。根据不同的已知条件，结论改用不同的表达形式（已知初速度、初动能、初动量或加速电压等）。
⑵偏角：，注意到，说明穿出时刻的末速度的反向延长线与初速度延长线交点恰好在水平位移的中点。这一点和平抛运动的结论相同。
⑶穿越电场过程的动能增量：ΔEK=Eqy （注意，一般来说不等于qU）
3.带电物体在电场力和重力共同作用下的运动。
当带电体的重力和电场力大小可以相比时，不能再将重力忽略不计。这时研究对象经常被称为“带电微粒”、“带电尘埃”、“带电小球”等等。这时的问题实际上变成一个力学问题，只是在考虑能量守恒的时候需要考虑到电势能的变化。
t
φ
U0
-U0
o
T/2 T 3T/2 2T
例题分析
例1：如图所示，两平行金属板竖直放置，左极板接地，中间有小孔。右极板电势随时间变化的规律如图所示。电子原来静止在左极板小孔处。（不计重力作用）下列说法中正确的是
A.从t=0时刻释放电子，电子将始终向右运动，直到打到右极板上
B.从t=0时刻释放电子，电子可能在两板间振动
C.从t=T/4时刻释放电子，电子可能在两板间振动，也可能打到右极板上
D.从t=3T/8时刻释放电子，电子必将打到左极板上
解：从t=0时刻释放电子，如果两板间距离足够大，电子将向右先匀加速T/2，接着匀减速T/2，速度减小到零后，又开始向右匀加速T/2，接着匀减速T/2……直到打在右极板上。电子不可能向左运动；如果两板间距离不够大，电子也始终向右运动，直到打到右极板上。从t=T/4时刻释放电子，如果两板间距离足够大，电子将向右先匀加速T/4，接着匀减速T/4，速度减小到零后，改为向左先匀加速T/4，接着匀减速T/4。即在两板间振动；如果两板间距离不够大，则电子在第一次向右运动过程中就有可能打在右极板上。从t=3T/8时刻释放电子，如果两板间距离不够大，电子将在第一次向右运动过程中就打在右极板上；如果第一次向右运动没有打在右极板上，那就一定会在第一次向左运动过程中打在左极板上。选AC
L
U L d
o 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
3U0
u
0.06
O
y
U0
L L
例2：如图所示，热电子由阴极飞出时的初速忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0。电容器板长和板间距离均为L=10cm，下极板接地。电容器右端到荧光屏的距离也是L=10cm。在电容器两极板间接一交变电压，上极板的电势随时间变化的图象如左图。（每个电子穿过平行板的时间极短，可以认为电压是不变的）求：①在t=0.06s时刻，电子打在荧光屏上的何处？②荧光屏上有电子打到的区间有多长？③屏上的亮点如何移动？
解：①由图知t=0.06s时刻偏转电压为1.8U0，可求得y = 0.45L= 4.5cm，打在屏上的点距O点13.5cm。②电子的最大侧移为0.5L（偏转电压超过2.0U0，电子就打到极板上了），所以荧光屏上电子能打到的区间长为3L=30cm。③屏上的亮点由下而上匀速上升，间歇一段时间后又重复出现。
+
-
O
C
例3：已知如图，水平放置的平行金属板间有匀强电场。一根长l的绝缘细绳一端固定在O点，另一端系有质量为m并带有一定电荷的小球。小球原来静止在C点。当给小球一个水平冲量后，它可以在竖直面内绕O点做匀速圆周运动。若将两板间的电压增大为原来的3倍，求：要使小球从C点开始在竖直面内绕O点做圆周运动，至少要给小球多大的水平冲量？在这种情况下，在小球运动过程中细绳所受的最大拉力是多大？
解：由已知，原来小球受到的电场力和重力大小相等，增大电压后电场力是重力的3倍。在C点，最小速度对应最小的向心力，这时细绳的拉力为零，合力为2mg，可求得速度为v=，因此给小球的最小冲量为I = m。在最高点D小球受到的拉力最大。从C到D对小球用动能定理：，在D点，解得F=12mg。
O
A
C
B
E
θ
θ
例4：已知如图，匀强电场方向水平向右，场强E=1.5×106V/m，丝线长l=40cm，上端系于O点，下端系质量为m=1.0×10－4kg，带电量为q=+4.9×10-10C的小球，将小球从最低点A由静止释放，求：⑴小球摆到最高点时丝线与竖直方向的夹角多大？⑵摆动过程中小球的最大速度是多大？
解：⑴这是个“歪摆”。由已知电场力Fe=0.75G摆动到平衡位置时丝线与竖直方向成37°角，因此最大摆角为74°。
⑵小球通过平衡位置时速度最大。由动能定理：1.25mg0.2l=mvB2/2，vB=1.4m/s。
四、电容器
目的要求
复习电容器的电容及平行板电容器的电容计算。
知识要点
1.电容器：
两个彼此绝缘又相隔很近的导体都可以看成一个电容器。
2.电容器的电容：
电容是表示电容器容纳电荷本领的物理量，是由电容器本身的性质（导体大小、形状、相对位置及电介质）决定的。
3.平行板电容器的电容：
平行板电容器的电容的决定式是：
4.两种不同变化：
K
电容器和电源连接如图，改变板间距离、改变正对面积或改变板间电解质材料，都会改变其电容，从而可能引起电容器两板间电场的变化。这里一定要分清两种常见的变化：
⑴电键K保持闭合，则电容器两端的电压恒定（等于电源电动势），这种情况下带电量
⑵充电后断开K，保持电容器带电量Q恒定，这种情况下
例题分析
K
M
N
例1：如图所示，在平行板电容器正中有一个带电微粒。K闭合时，该微粒恰好能保持静止。在①保持K闭合；②充电后将K断开；两种情况下，各用什么方法能使该带电微粒向上运动打到上极板？
A.上移上极板M B.上移下极板N
C.左移上极板M D.把下极板N接地
解：由上面的分析可知①选B，②选C。
例2：计算机键盘上的每一个按键下面都有一个电容传感器。电容的计算公式是，其中常量ε=9.0×10-12Fm-1，S表示两金属片的正对面积，d表示两金属片间的距离。当某一键被按下时，d发生改变，引起电容器的电容发生改变，从而给电子线路发出相应的信号。已知两金属片的正对面积为50mm2，键未被按下时，两金属片间的距离为0.60mm。只要电容变化达0.25pF，电子线路就能发出相应的信号。那么为使按键得到反应，至少需要按下多大距离？
A
解：先求得未按下时的电容C1=0.75pF，再由得和C2=1.00pF，得Δd= 0.15mm。
电场练习
1、（01全国高考）如图，虚线a、b和c是静电场中的三个等势面，它们的电势分别为φa、φb、和φc，φa﹥φb﹥φc。一带电的粒子射入电场中，其运动轨迹如实线KLMN所示，由图可知 （ ）
A、 粒子从K到L的过程中，电场力做负功
B、 粒子从L到M的过程中，电场力做负功
C、 粒子从K到L的过程中，静电势能增加
D、 粒子从L到M的过程中，动能减少
2、如图所示，有三个质量相等，分别带正电，负电和不 带电 的小球，从上、下带电平行金属板间的P点.以相同速率垂直电场方向射入电场，它们分别落到A、B、C三点，则 （ ）
（A） A带正电、B不带电、C带负电
（B） 三小球在电场中运动时间相等
（C） 在电场中加速度的关系是aC>aB>aA
（D） 到达正极板时动能关系EA>EB>EC
3、如图所示,有一质量为m、带电量为q的油滴,被置于竖直放置的两平行金属板间的匀强电场中,设油滴是从两板中间位置,并以初速度为零进入电场的,可以判定( ).
(A)油滴在电场中做抛物线运动
(B)油滴在电场中做匀加速直线运动
(C)油滴打在极板上的运动时间只决定于电场强度和两板间距离
(D)油滴打在极板上的运动时间不仅决定于电场强度和两板间距离,还决定于油滴的荷质比
4、 (01全国理科综合)图中所示是一个平行板电容器，其电容为C，带电量为Q，上极板带正电。现将一个试探电荷q由两极板间的A点移动到B点，如图所示。A、B两点间的距离为s，连线AB与极板间的夹角为30°，则电场力对试探电荷q所做的功等于 ( C )
A． B． C． D．
5、（01上海）A、B两点各放有电量为+Q和+2Q的点电荷，A、B、C、D四点在同一直线上，且AC=CD=DB。将一正电荷从C点沿直线移到D点，则 （ B ）
A、 电场力一直做正功
B、 电场力先做正功再做负功
C、 电场力一直做负功
D、电场力先做负功再做正功
6、如图所示，在光滑的水平面上有一个绝缘弹簧振子，小球带负电，在振动过程中，当弹簧压缩到最短时，突然加上一个水平向左的匀强电场，
A．振子振幅增大
B．振子振幅减小
C．振子的平衡位置不变
D．振子的周期增大
7、若带正电荷的小球只受到电场力作用，则它在任意一段时间内
A．一定沿电场线由高电势处向低电势处运动
B．一定沿电场线由低电势处向高电势处运动
C．不一定沿电场线运动，但一定由高电势处向低电势处运动
D．不一定沿电场线运动，也不一定由高电势处向低电势处运动
8、如图所示，两平行金属板a板对b板的电压随时间变化图像如
静止释放，已知在一个周
期内电子没有到达c面和d面，则以后到达c面或d面可能是：
A．向右运动时通过c面
B．向左运动时通过c面
C．向右运动时通过d面
D．向左运动时通过d面
9、质量为m、带电量为+q的小球，用一绝缘细线悬挂于O点，开始时它在A、B之间来回摆动，OA、OB与竖直方向OC的夹角均为如图1所示。求（1）如果当它摆到B点时突然施加一竖直向上的、大小为的匀强电场，则此时线中拉力（2）如果这一电场是在小球从A点摆到最低点C时突然加上去的，则当小球运动到B点时线中的拉力
10、一个质量为m、带有电荷-q的小物体，可在水平轨道Ox上运动，O端有一与轨道垂直的固定墙、轨道处于匀强电场中，其场强大小为E,方向沿OX轴正方向,如图所示。小物体以初速度v0从x0点沿OX轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力f作用，且f＜qE；设小物体与墙碰撞时不损失机械能，且电量保持不变，求它在停止运动前所通过的总路程s。
11、如图3-2-11所示，在竖直平面内，有一半径为R的绝缘的光滑圆环，圆环处于场强大小为E，方向水平向右的匀强电场中，圆环上的A、C两点处于同一水平面上，B、D分别为圆环的最高点和最低点．M为圆环上的一点，∠MOA=45°．环上穿着一个质量为m，带电量为+q的小球，它正在圆环上做圆周运动，已知电场力大小qE等于重力的大小mg，且小球经过M点时球与环之间的相互作用力为零．试确定小球经过A、B、C、D点时的动能各是多少？
12、如图3（a）所示，真空室中电极K发出的电子（初速为零）。经U=1000V的加速电场后，由小孔S沿两水平金属板A、B两板间的中心线射入，A、B板长L=0.20m，相距d=0.020m，加在A、B两板间的电压U随时间t变化u—t图线如图3（b）。设A、B两板间的电场可以看做是均匀的，且两板外无电场。在每个电子通过电场区域的极短时间内，电场可视作恒定的。两板右侧放一记录圆筒，筒的左侧边缘与极板右端距离，筒绕其竖直轴匀速转动，周期，筒的周长，筒能接收到通过A、B板的全部电子。
答案
1、AC 2、AC
3、BD 4、C 5、B 6、B 7、D 8、C
9、解：（1）小球摆到B点时，速度为零，突然加上电场，小球受到电场力： 方向向上，小球受到的合力为零，小球将在B处静止而达到平衡状态。。
（2）小球摆 到平衡位置C时，由机械能守恒定律：
得 ，
这时突然加上电场，电场力仍与重力平衡，小球将做匀速圆周运动，绳的拉力提供做圆周运动的向心力。
10、解：由于f＜qE，所以物体最后停在O点，物体停止运动前所通过的总路程为s，根据动能定理有
所以
11、解根据牛顿第二定律
当小球从M点运动到A点的过程中，电场力和重力做功分别为
根据动能定理得：
同理：
12、解（1）以时（见图b此时）电子打到圆筒记录纸上的点作为坐标系的原点，并取轴竖直向上，试计算电子打到记录纸上的最高点的坐标和坐标（不计重力）。
（2）在给出的坐标纸（如图d）上定量地画出电子打到记录纸上的点形成的图线。
析与解：本题是综合性较强的一道高考压轴题，可分为四个阶段加速、偏转、放大和扫描。而电子的加速、偏转问题都是学生熟悉的，有新意的是该题把常见的固定的接收屏改为转动的圆筒，加进了扫描因素，构成了一新的情境问题，对学生的能力、素质提出了较高的要求。
（1）设为电子沿AB板中心线射入电场时的初速度则
（1）
电子穿过A、B板的时间为，则
（2）
电子在垂直于A、B板方向的运动为匀加速直线运动，对于能穿过A、B板的电子，在它通过时加在两板间的应满足：
（3）
由（1）、（2）、（3）解得
此电子从A、B板射出的沿Y方向分速度为：
（4）
以后此电子作匀速直线运动，它打在记录纸上的点最高，设纵坐标为y由图（c）可得
（5）
由以上各式解得：
（6）
由图线可知，加在两板电压的周期，的最大值，因为，在一个周期内只有开始的一段时间间隔内有电子通过A、B板
（7）
因为电子打在记录纸上的最高点不止一个，根据题中关于坐标原点与起始记录时刻的规定，第一个最高点的坐标为
（8）
第二个最高点的坐标为
（9）
第三个最高点的坐标为
由于记录筒的周长为，所以第三个最高点已与第一个最高点重合，即电子打到记录纸上的最高点只有两个，它们的坐标分别由（8）、（9）表示。
（2）电子打到记录纸上所形成的图线如图（d）。
第十章 恒定电流
一、基本概念
目的要求
复习电流的概念、电阻定律、欧姆定律
知识要点
1.电流
电流的定义式：，适用于任何电荷的定向移动形成的电流。
对于金属导体有I=nqvS（n为单位体积内的自由电子个数，S为导线的横截面积，v为自由电子的定向移动速率，约10 -5m/s，远小于电子热运动的平均速率105m/s，更小于电场的传播速率3×108m/s），这个公式只适用于金属导体，千万不要到处套用。
2.电阻定律
导体的电阻R跟它的长度l成正比，跟它的横截面积S成反比。
⑴ρ是反映材料导电性能的物理量，叫材料的电阻率（反映该材料的性质，不是每根具体的导线的性质）。单位是Ωm。
⑵纯金属的电阻率小，合金的电阻率大。
⑶材料的电阻率与温度有关系：
①金属的电阻率随温度的升高而增大（可以理解为温度升高时金属原子热运动加剧，对自由电子的定向移动的阻碍增大。）铂较明显，可用于做温度计；锰铜、镍铜的电阻率几乎不随温度而变，可用于做标准电阻。
②半导体的电阻率随温度的升高而减小（可以理解为半导体靠自由电子和空穴导电，温度升高时半导体中的自由电子和空穴的数量增大，导电能力提高）。
I
O U O I
U
1 2 1 2
R1<R2 R1>R2
③有些物质当温度接近0 K时，电阻率突然减小到零——这种现象叫超导现象。能够发生超导现象的物体叫超导体。材料由正常状态转变为超导状态的温度叫超导材料的转变温度TC。我国科学家在1989年把TC提高到130K。现在科学家们正努力做到室温超导。
3.欧姆定律
（适用于金属导体和电解液，不适用于气体导电）。
电阻的伏安特性曲线：注意I-U曲线和U-I曲线的区别。还要注意：当考虑到电阻率随温度的变化时，电阻的伏安特性曲线不再是过原点的直线。
4.电功和电热
电功就是电场力做的功，因此是W=UIt；由焦耳定律，电热Q=I2Rt。其微观解释是：电流通过金属导体时，自由电子在加速运动过程中频繁与正离子相碰，使离子的热运动加剧，而电子速率减小，可以认为自由电子只以某一速率定向移动，电能没有转化为电子的动能，只转化为内能。
⑴对纯电阻而言，电功等于电热：W=Q=UIt=I 2R t=
⑵对非纯电阻电路（如电动机和电解槽），由于电能除了转化为电热以外还同时转化为机械能或化学能等其它能，所以电功必然大于电热：W>Q，这时电功只能用W=UIt计算，电热只能用Q=I 2Rt计算，两式不能通用。
例题分析
A. B. C. D.
I I I I
o U o U o U o U
例1：实验室用的小灯泡灯丝的I-U特性曲线可用以下哪个图象来表示：
解：灯丝在通电后一定会发热，当温度达到一定值时才会发出可见光，这时温度能达到很高，因此必须考虑到灯丝的电阻将随温度的变化而变化。随着电压的升高，电流增大，灯丝的电功率将会增大，温度升高，电阻率也将随之增大，电阻增大，。U越大I-U曲线上对应点于原点连线的斜率必然越小，选A。
例2：下图所列的4个图象中，最能正确地表示家庭常用的白炽电灯在不同电压下消耗的电功率P与电压平方U 2之间的函数关系的是以下哪个图象
P
U2
o
P
U2
o
P
U2
o
P
U2
o
A. B. C. D.
解：此图象描述P随U 2变化的规律，由功率表达式知：，U越大，电阻越大，图象上对应点与原点连线的斜率越小。选C。
例3：某一电动机，当电压U1=10V时带不动负载，因此不转动，这时电流为I1=2A。当电压为U2=36V时能带动负载正常运转，这时电流为I2=1A。求这时电动机的机械功率是多大？
解：电动机不转时可视为为纯电阻，由欧姆定律得，，这个电阻可认为是不变的。电动机正常转动时，输入的电功率为P电=U2I2=36W，内部消耗的热功率P热==5W，所以机械功率P=31W
由这道例题可知：电动机在启动时电流较大，容易被烧坏；正常运转时电流反而较小。
例4：来自质子源的质子（初速度为零），经一加速电压为800kV的直线加速器加速，形成电流强度为1mA的细柱形质子流。已知质子电荷e=1.60×10-19C。这束质子流每秒打到靶上的质子数为_________。假定分布在质子源到靶之间的加速电场是均匀的，在质子束中与质子源相距L和4L的两处，各取一段极短的相等长度的质子流，其中的质子数分别为n1和n2，则n1∶n2=_______。
解：按定义，，由于各处电流相同，设这段长度为l，其中的质子数为n个，则由。而
L
4L
质子源
v1 v2
二、串、并联与混联电路
目的要求
复习串、并联和混联电路的规律。
知识要点
1.应用欧姆定律须注意对应性。
选定研究对象电阻R后，I必须是通过这只电阻R的电流，U必须是这只电阻R两端的电压。该公式只能直接用于纯电阻电路，不能直接用于含有电动机、电解槽等用电器的电路。
2.公式选取的灵活性。
⑴计算电流，除了用外，还经常用并联电路总电流和分电流的关系：I=I1+I2
⑵计算电压，除了用U=IR外，还经常用串联电路总电压和分电压的关系：U=U1+U2
⑶计算电功率，无论串联、并联还是混联，总功率都等于各电阻功率之和：P=P1+P2
对纯电阻，电功率的计算有多种方法：P=UI=I 2R=
以上公式I=I1+I2、U=U1+U2和P=P1+P2既可用于纯电阻电路，也可用于非纯电阻电路。既可以用于恒定电流，也可以用于交变电流。
3.对复杂电路分析，一般情况下用等势点法比较方便简洁。
⑴凡用导线直接连接的各点的电势必相等（包括用不计电阻的电流表连接的点）。
⑵在外电路，沿着电流方向电势降低。
⑶凡接在同样两个等势点上的电器为并联关系。
⑷不加声明的情况下，不考虑电表对电路的影响。
4.电路中有关电容器的计算。
⑴电容器跟与它并联的用电器的电压相等。
⑵在计算出电容器的带电量后，必须同时判定两板的极性，并标在图上。
⑶在充放电时，电容器两根引线上的电流方向总是相同的，所以要根据正极板电荷变化情况来判断电流方向。
⑷如果变化前后极板带电的电性相同，那么通过每根引线的电荷量等于始末状态电容器电荷量的差；如果变化前后极板带电的电性改变，那么通过每根引线的电荷量等于始末状态电容器电荷量之和。
例题分析
R1
R2
R3
例1：已知如图，R1=6Ω，R2=3Ω，R3=4Ω，则接入电路后这三只电阻的实际功率之比为_________。
解：本题解法很多，注意灵活、巧妙。经过观察发现三只电阻的电流关系最简单：电流之比是I1∶I2∶I3=1∶2∶3；还可以发现左面两只电阻并联后总阻值为2Ω，因此电压之比是U1∶U2∶U3=1∶1∶2；在此基础上利用P=UI，得P1∶P2∶P3=1∶2∶6
例2：已知如图，两只灯泡L1、L2分别标有“110V，60W”和“110V，100W”，另外有一只滑动变阻器R，将它们连接后接入220V的电路中，要求两灯泡都正常发光，并使整个电路消耗的总功率最小，应使用下面哪个电路？
L1 L2 L1 L2 L1 L2 L1
R R R L2
R
A. B. C. D.
解：A、C两图中灯泡不能正常发光。B、D中两灯泡都能正常发光，它们的特点是左右两部分的电流、电压都相同，因此消耗的电功率一定相等。可以直接看出：B图总功率为200W，D图总功率为320W，所以选B。
6V
U1 U2
例3：实验表明，通过某种金属氧化物制成的均匀棒中的电流I跟电压U之间遵循I =kU 3的规律，其中U表示棒两端的电势差，k=0.02A/V3。现将该棒与一个可变电阻器R串联在一起后，接在一个内阻可以忽略不计，电动势为6.0V的电源上。求：⑴当串联的可变电阻器阻值R多大时，电路中的电流为0.16A？⑵当串联的可变电阻器阻值R多大时，棒上消耗的电功率是电阻R上消耗电功率的1/5？
解：画出示意图如右。
⑴由I =kU 3和I=0.16A，可求得棒两端电压为2V，因此变阻器两端电压为4V，由欧姆定律得阻值为25Ω。
r
R
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