考研数学一真题解析.doc

一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。（1）若函数在连续，则（）。A. B. C. D. 【答案】A【解析】由连续的定义可得，而，因此可得，故选择A。（2）设函数可导，且，则（）。A. B. C. D. 【答案】C【解析】令，则有，故单调递增，则，即，即，故选择C。（3）函数在点处沿向量的方向导数为（）。A.12B.6C.4D.2【答案】D【解析】，因此代入可得，则有。（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中，实线表示甲的速度曲线（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：s），则（）。A. B. C. D. 【答案】C【解析】从0到时刻，甲乙的位移分别为与，由定积分的几何意义可知，因此可知。（5）设为n维单位列向量，E为n维单位矩阵，则（）。A. 不可逆B. 不可逆C. 不可逆D. 不可逆【答案】A【解析】因为的特征值为0（n-1重）和1，所以的特征值为1（n-1重）和0，故不可逆。（6）已知矩阵，则（）。A.A与C相似，B与C相似B. A与C相似，B与C不相似C. A与C不相似，B与C相似D. A与C不相似，B与C不相似【答案】B【解析】A和B的特征值为2,2,1，但是A有三个线性无关的特征向量，而B只有两个，所依A可对角化，B不可，因此选择B。（7）设A，B为随机事件，若，且的充分必要条件是（）。A. B. C. D. 【答案】A【解析】由得，即，因此选择A。（8）设来自总体的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是（）。A. 服从分布B. 服从分布C. 服从分布D. 服从分布【答案】B【解析】，故，因此，故，故B错误，由可得，则有，因此。二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。（9）已知函数，则=_。【答案】0【解析】，因此，代入可得。（10）微分方程的通解为=_。【答案】 【解析】由，所以，因此，因此通解为：。（11）若曲线积分在区域内与路径无关，则=_。【答案】1【解析】设，因此可得：，根据，因此可得。（12）幂级数在区间内的和函数=_。【答案】【解析】。（13）设矩阵，为线性无关的3维向量，则向量组的秩为_。【答案】2【解析】因为，而，因此，所以向量组的秩2。（14）设随机变量X的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则=_。【答案】2【解析】因此可得。三、解答题： 1523小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分10分）设函数具有2阶连续偏导数，求。【答案】，【解析】因为，所以，因此因此得：（16）（本题满分10分）求【答案】【解析】由定积分的定义可知，然后计算定积分，（17）（本题满分10分）已知函数由方程确定，求的极值。【答案】极大值为，极小值为。【解析】对关于求导得：，令得，因此，当时，当时，。对关于再次求导得：，将代入可得当时，时，代入可得，当时，时，代入可得，因此有函数的极大值为，极小值为。（18）（本题满分10分）设函数在区间上具有2阶导数，且，证明：（）方程在区间内至少存在一个实根；（）方程在区间内至少存在两个不同实根。【答案】（）证：因为，由极限的局部保号性知，存在，使得，而，由零点存在定理可知，存在，使得。（）构造函数，因此，因为，所以，由拉格朗日中值定理知，存在，使得，所以，因此根据零点定理可知存在，使得，所以，所以原方程至少有两个不同实根。【解析】略（19）（本题满分10分）设薄片型物体时圆锥面被柱面割下的有限部分，其上任一点的弧度为，记圆锥与柱面的交线为，（）求在平面上的投影曲线的方程；（）求的质量。【答案】（）；（）64。【解析】（）的方程为，投影到平面上为（），因此有。（20）（本题满分11分）三阶行列式有3个不同的特征值，且，（）证明；（）如果，求方程组的通解。【答案】（）略；（）。【解析】（）证：因为有三个不同的特征值，所以不是零矩阵，因此，若，那么特征根0是二重根，这与假设矛盾，因此，又根据，所以，因此。（）因为，所以的基础解系中只有一个解向量，又，即，因此基础解系的一个解向量为。因为，故的特解为，因此的通解为。（21）（本题满分11分）设在正交变换下的标准型为，求的值及一个正交矩阵。【答案】，正交矩阵【解析】二次型对应的矩阵为，因为标准型为，所以，从而，即，代入得，解得；当时，化简得，对应的特征向量为；当时，化简得，对应的特征向量为；当时，化简得，对应的特征向量为；从而正交矩阵。（22）（本题满分11分）设随机变量和相互独立，且的概率分布为，的概率密度为（）求；（）求的概率密度。【答案】（）（）【解析】（）由数字特征的计算公式可知：，则（）先求的分布函数，由分布函数的定义可知：。由于为离散型随机变量，则由全概率公式可知（其中为的分布函数：）（23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做次测量，该物体的质量是已知的，设次测量结果相互独立，且均服从正态分布，该工程师记录的是次测量的绝对误差，利用估计（）求的概率密度；（）利用一阶矩求的矩估计量；（）求的最大似然估计量。【答案】（）（）（）【解析】（）因为，所以，对应的概率密度为，设的分布函数为，对应的概率密度为；当时，；当时，；则的概率密度为；（）因为，所以，从而的矩估计量为；（）由题可知对应的似然函数为，取对数得：，所以，令，得，所以的最大似然估计量为。