2018-2019学度广州越秀区初三(上)年中数学重点试卷含解析.doc.doc

2018-2019学度广州越秀区初三（上）年中数学重点试卷含解析
一、选择题〔共10小题，总分值30分〕
1、下面给出的是一些产品的图案，从几何图形的角度看，这些图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是〔〕
A、 B、
C、 D、
2、点A〔a，3〕与点B〔﹣4，b〕关于原点对称，那么a+b=〔〕
A、﹣1 B、4 C、﹣4 D、1
3、用配方法方程x2+6x﹣5=0时，变形正确的方程为〔〕
A、〔x+3〕2=14 B、〔x﹣3〕2=14 C、〔x+6〕2=4 D、〔x﹣6〕2=4
4、假设α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，那么+的值是〔〕
A、 B、﹣ C、﹣ D、
5、将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为〔〕
A、y=〔x﹣8〕2+5 B、y=〔x﹣4〕2+5
C、y=〔x﹣8〕2+3 D、y=〔x﹣4〕2+3
6、在抛物线y=ax2﹣2ax﹣7上有A〔﹣4，y1〕、B〔2，y2〕、C〔3，y3〕三点，假设抛物线开口向下，那么y1、y2和y3的大小关系为〔〕
A、y1＜y3＜y2 B、y3＜y2＜y1 C、y2＜y1＜y3 D、y1＜y2＜y3
7、设A〔﹣2，y1〕，B〔1，y2〕，C〔2，y3〕是抛物线y=﹣x2﹣2x+2上的三点，那么y1，y2，y3的大小关系为〔〕
A、y1＞y2＞y3 B、y1＞y3＞y2 C、y3＞y2＞y1 D、y3＞y1＞y2
8、如图，△ABC中，BC=8，AD是中线，将△ADC沿AD折叠至△ADC′，发现CD与折痕的夹角是60°，那么点B到C′的距离是〔〕

A、4 B、 C、 D、3
9、一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，假设设个位数字为a，那么可列方程为〔〕
A、a2〔a﹣4〕2=10〔a﹣4〕+a﹣4
B、a2+〔a+4〕2=10a+a﹣4﹣4
C、a2+〔a+4〕2=10〔a+4〕+a﹣4
D、a2+〔a﹣4〕2=10a+〔a﹣4〕﹣4
10、两点A〔﹣5，y1〕，B〔3，y2〕均在抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕上，点C〔x0，y0〕是该抛物线的顶点、假设y1＜y2≤y0，那么x0的取值范围是〔〕
A、x0＞﹣1 B、x0＞﹣5 C、x0＜﹣1 D、﹣2＜x0＜3

二、填空题〔共6小题，总分值18分，每题3分〕
11、假设一元二次方程ax2﹣bx﹣2018=0有一个根为x=﹣1，那么a+b=、
12、如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，假设∠A′DC=90°，那么∠A=°、

13、假设二次函数y=〔2﹣m〕x|m|﹣3的图象开口向下，那么m的值为、
14、假设关于x的一元二次方程〔k﹣1〕x2+6x+3=0有实数根，那么实数k的取值范围为、
15、从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h〔单位：米〕与小球运动时间t〔单位：秒〕的函数关系式是h=9、8t﹣4、9t2、假设小球的高度为4、9米，那么小球的运动时间为、
16、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，以下结论中：①∠DAF=45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2=DE2；正确的有〔填序号〕

三、解答题〔共9小题，总分值74分〕
17、解方程：x2﹣4x﹣5=0、
18、如图，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标、

19、淮北市某中学七年级一位同学不幸得了重病，牵动了全校师生的心，该校开展了“献爱心”捐款活动、第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元、
〔1〕如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
〔2〕按照〔1〕中收到捐款的增长速度，第四天该校能收到多少捐款？
20、如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E，F分别在边AB和BC上，△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形、
〔Ⅰ〕旋转中心是点、
〔Ⅱ〕旋转角是度，∠EDM=度、
〔Ⅲ〕假设∠EDF=45°，求证△EDF≌△MDF，并求此时△BEF的周长、

21、从甲、乙两题中选做一题、如果两题都做，只以甲题计分、
题甲：假设关于x一元二次方程x2﹣2〔2﹣k〕x+k2+12=0有实数根a，β、
〔1〕求实数k的取值范围；
〔2〕设，求t的最小值、
题乙：如下图，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于点Q、
〔1〕假设=，求的值；
〔2〕假设点P为BC边上的任意一点，求证：﹣=、
我选做的是题、

22、小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯、销售过程中发现，每月销售量y〔件〕与销售单价x〔元〕之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%、
〔1〕设小明每月获得利润为w〔元〕，求每月获得利润w〔元〕与销售单价x〔元〕之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围、
〔2〕当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
〔3〕如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？〔成本=进价×销售量〕
23、〔12分〕如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点、
〔1〕抛物线与x轴的交点坐标为；
〔2〕设〔1〕中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=6，并求出此时P点的坐标、

24、如下图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C、A〔1，1〕、B〔3，1〕、动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动、过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒〔0＜t＜4〕，△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S、
〔1〕求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
〔2〕求S与t的函数关系式；
〔3〕将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？假设存在，直接写出t的值；假设不存在，请说明理由、

25、：二次函数y=ax2﹣2x+c的图象与x于A、B，A在点B的左侧〕，与y轴交于点C，对称轴是直线x=1，平移一个单位后经过坐标原点O
〔1〕求这个二次函数的解析式；
〔2〕直线交y轴于D点，E为抛物线顶点、假设∠DBC=α，∠CBE=β，求α﹣β的值；
〔3〕在〔2〕问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足PA=PC，在y轴右侧的抛物线上是否存在点M，使得△BDM的面积等于PA2？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由、

参考答案

一、选择题
1、下面给出的是一些产品的图案，从几何图形的角度看，这些图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是〔〕
A、 B、
C、 D、
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形、
应选：C、
2、点A〔a，3〕与点B〔﹣4，b〕关于原点对称，那么a+b=〔〕
A、﹣1 B、4 C、﹣4 D、1
【解答】解：∵点A〔a，3〕与点B〔﹣4，b〕关于原点对称，
∴a=4，b=﹣3，
∴a+b=1，
应选：D、
3、用配方法方程x2+6x﹣5=0时，变形正确的方程为〔〕
A、〔x+3〕2=14 B、〔x﹣3〕2=14 C、〔x+6〕2=4 D、〔x﹣6〕2=4
【解答】解：方程移项得：x2+6x=5，
配方得：x2+6x+9=14，即〔x+3〕2=14，
应选：A、
4、假设α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，那么+的值是〔〕
A、 B、﹣ C、﹣ D、
【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，
∴α+β=﹣，αβ=﹣3，
∴+====﹣、
应选：C、
5、将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为〔〕
A、y=〔x﹣8〕2+5 B、y=〔x﹣4〕2+5
C、y=〔x﹣8〕2+3 D、y=〔x﹣4〕2+3
【解答】解：y=x2﹣6x+21
=〔x2﹣12x〕+21
=[〔x﹣6〕2﹣36]+21
=〔x﹣6〕2+3，
故y=〔x﹣6〕2+3，向左平移2个单位后，
得到新抛物线的解析式为：y=〔x﹣4〕2+3、
应选：D、
6、在抛物线y=ax2﹣2ax﹣7上有A〔﹣4，y1〕、B〔2，y2〕、C〔3，y3〕三点，假设抛物线开口向下，那么y1、y2和y3的大小关系为〔〕
A、y1＜y3＜y2 B、y3＜y2＜y1 C、y2＜y1＜y3 D、y1＜y2＜y3
【解答】解：
∵A〔﹣4，y1〕、B〔2，y2〕、C〔3，y3〕三点在抛物线y=ax2﹣2ax﹣7上，
∴y1=16a+8a﹣7=24a﹣7，y2=4a﹣4a﹣7=﹣7，y3=9a﹣6a﹣7=3a﹣7，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴24a＜3a＜0，
∴24a﹣7＜3a﹣7＜﹣7，
∴y1＜y3＜y2，
应选：A、
7、设A〔﹣2，y1〕，B〔1，y2〕，C〔2，y3〕是抛物线y=﹣x2﹣2x+2上的三点，那么y1，y2，y3的大小关系为〔〕
A、y1＞y2＞y3 B、y1＞y3＞y2 C、y3＞y2＞y1 D、y3＞y1＞y2
【解答】解：
∵A〔﹣2，y1〕，B〔1，y2〕，C〔2，y3〕是抛物线y=﹣x2﹣2x+2上的三点，
∴y1=﹣〔﹣2〕2﹣2×〔﹣2〕+2=2，y2=﹣1﹣2+2=﹣1，y3=﹣22﹣2×2+2=﹣6，
∴y1＞y2＞y3，
应选：A、
8、如图，△ABC中，BC=8，AD是中线，将△ADC沿AD折叠至△ADC′，发现CD与折痕的夹角是60°，那么点B到C′的距离是〔〕

A、4 B、 C、 D、3
【解答】解：∵△ABC中，BC=8，AD是中线，
∴BD=DC=4，
∵将△ADC沿AD折叠至△ADC′，发现CD与折痕的夹角是60°，
∴∠C′DA=∠ADC=60°，DC=DC′，
∴∠C′DB=60°，
∴△BDC′是等边三角形，
∴BC′=BD=DC′=4、
应选：A、

9、一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，假设设个位数字为a，那么可列方程为〔〕
A、a2〔a﹣4〕2=10〔a﹣4〕+a﹣4
B、a2+〔a+4〕2=10a+a﹣4﹣4
C、a2+〔a+4〕2=10〔a+4〕+a﹣4
D、a2+〔a﹣4〕2=10a+〔a﹣4〕﹣4
【解答】解：依题意得：十位数字为：a+4，这个数为：a+10〔x+4〕
这两个数的平方和为：a2+〔a+4〕2，
∵两数相差4，
∴a2+〔a+4〕2=10〔a+4〕+a﹣4、
应选：C、
10、两点A〔﹣5，y1〕，B〔3，y2〕均在抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕上，点C〔x0，y0〕是该抛物线的顶点、假设y1＜y2≤y0，那么x0的取值范围是〔〕
A、x0＞﹣1 B、x0＞﹣5 C、x0＜﹣1 D、﹣2＜x0＜3
【解答】解：∵点C〔x0，y0〕是该抛物线的顶点、且y1＜y2≤y0，
∴a＜0，x0﹣〔﹣5〕＞|3﹣x0|，
∴x0＞﹣1、
应选：A、

二、填空题〔共6小题，总分值18分，每题3分〕
11、假设一元二次方程ax2﹣bx﹣2018=0有一个根为x=﹣1，那么a+b=2018、
【解答】解：把x=﹣1代入方程有：
a+b﹣2018=0，
即a+b=2018、
故答案是：2018、
12、如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，假设∠A′DC=90°，那么∠A=55°、

【解答】解：∵三角形△ABC绕着点C时针旋转35°，得到△AB′C′
∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90°
∴∠A′=55°，
∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′，
∴∠A=55°；[来源:Z§xx§k、Com]
故答案为：55°、
13、假设二次函数y=〔2﹣m〕x|m|﹣3的图象开口向下，那么m的值为5、
【解答】解：
∵y=〔2﹣m〕x|m|﹣3是二次函数，
∴|m|﹣3=2，解得m=5或m=﹣5，
∵抛物线图象开口向下，
∴2﹣m＜0，解得m＞2，
∴m=5，
故答案为：5、
14、假设关于x的一元二次方程〔k﹣1〕x2+6x+3=0有实数根，那么实数k的取值范围为k≤4且k≠1、
【解答】解：∵关于x的一元二次方程〔k﹣1〕x2+6x+3=0有实数根，
∴，
解得：k≤4且k≠1、
故答案为：k≤4且k≠1、
15、从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h〔单位：米〕与小球运动时间t〔单位：秒〕的函数关系式是h=9、8t﹣4、9t2、假设小球的高度为4、9米，那么小球的运动时间为1s、
【解答】解：由题意知，
小球的高度h与小球运动时间t的函数关系式是：
h=9、8t﹣4、9t2、
令h=4、9，
解得t=1s，
故答案为：1s、
16、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，以下结论中：①∠DAF=45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2=DE2；正确的有①③④〔填序号〕

【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB=AC，[来源:学科网]
∴∠B=∠ACB=45°，
①由旋转，可知：∠CAF=∠BAE，
∵∠BAD=90°，∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°，
∴∠CAF+∠BAE=∠DAF=45°，故①正确；
②由旋转，可知：△ABE≌△ACF，不能推出△ABE≌△ACD，故②错误；
③∵∠EAD=∠DAF=45°，
∴AD平分∠EAF，故③正确；
④由旋转可知：AE=AF，∠ACF=∠B=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠DCF=90°，
由勾股定理得：CF2+CD2=DF2，
即BE2+DC2=DF2，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD〔SAS〕，
∴DE=DF，
∴BE2+DC2=DE2，
故答案为：①③④、

三、解答题〔共9小题，总分值74分〕
17、〔10分〕解方程：x2﹣4x﹣5=0、
【解答】解：〔x+1〕〔x﹣5〕=0，
那么x+1=0或x﹣5=0，
∴x=﹣1或x=5、
18、〔9分〕如图，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标、

【解答】解：如下图，△A1B1C1即为所求，

A1〔3，﹣2〕，B1〔2，1〕，C1〔﹣2，﹣3〕、
19、〔9分〕淮北市某中学七年级一位同学不幸得了重病，牵动了全校师生的心，该校开展了“献爱心”捐款活动、第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元、
〔1〕如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
〔2〕按照〔1〕中收到捐款的增长速度，第四天该校能收到多少捐款？
【解答】解：〔1〕捐款增长率为x，根据题意得：
10000〔1+x〕2=12100，
解得：x1=0、1，x2=﹣2、1〔舍去〕、
那么x=0、1=10%、
答：捐款的增长率为10%、
〔2〕根据题意得：12100×〔1+10%〕=13310〔元〕，
答：第四天该校能收到的捐款是13310元、
20、〔10分〕如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E，F分别在边AB和BC上，△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形、
〔Ⅰ〕旋转中心是点D、
〔Ⅱ〕旋转角是90度，∠EDM=90度、
〔Ⅲ〕假设∠EDF=45°，求证△EDF≌△MDF，并求此时△BEF的周长、

【解答】解：〔Ⅰ〕∵△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形，
∴旋转中心是点D、
故答案为D；
〔Ⅱ〕∵△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形，
∴∠ADC=∠EDM=90°
∴旋转角是90度，∠EDM=90度、
故答案为90，90；
〔Ⅲ〕∵∠EDF=45°，∠EDM=90°，
∴∠MDF=45°、
∵△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形，
∴△DCM≌△DAE，
∴DM=DE，CM=AE、
在△EDF与△MDF中，
，
∴△EDF≌△MDF，
∴EF=MF=MC+CF，
∴△BEF的周长=BE+EF+BF
=BE+MC+CF+BF
=〔BE+AE〕+〔CF+BF〕
=AB+BC
=2、
21、〔12分〕从甲、乙两题中选做一题、如果两题都做，只以甲题计分、
题甲：假设关于x一元二次方程x2﹣2〔2﹣k〕x+k2+12=0有实数根a，β、
〔1〕求实数k的取值范围；
〔2〕设，求t的最小值、
题乙：如下图，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于点Q、
〔1〕假设=，求的值；
〔2〕假设点P为BC边上的任意一点，求证：﹣=、
我选做的是甲题、

【解答】题甲
解：〔1〕∵一元二次方程x2﹣2〔2﹣k〕x+k2+12=0有实数根a，β，
∴△≥0，
即4〔2﹣k〕2﹣4〔k2+12〕≥0，
得k≤﹣2、
〔2〕由根与系数的关系得：a+β=﹣[﹣2〔2﹣k〕]=4﹣2k，
∴，
∵k≤﹣2，
∴﹣2≤＜0，
∴，
即t的最小值为﹣4、
题乙：
〔1〕解：∵AB∥CD，∴==，即CD=3BQ，
∴===；
〔2〕证明：四边形ABCD是矩形
∵AB=CD，AB∥DC
∴△DPC∽△QPB
∴=
﹣=﹣=1+﹣=1
∴﹣=1、
22、〔12分〕小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯、销售过程中发现，每月销售量y〔件〕与销售单价x〔元〕之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%、
〔1〕设小明每月获得利润为w〔元〕，求每月获得利润w〔元〕与销售单价x〔元〕之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围、
〔2〕当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
〔3〕如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？〔成本=进价×销售量〕
【解答】解：〔1〕由题意，得：w=〔x﹣20〕•y=〔x﹣20〕•〔﹣10x+500〕=﹣10x2+700x﹣10000，即w=﹣10x2+700x﹣10000〔20≤x≤32〕
〔2〕对于函数w=﹣10x2+700x﹣10000的图象的对称轴是直线、
又∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下、∴当20≤x≤32时，W随着X的增大而增大，
∴当x=32时，W=2160[来源:学&科&网]
答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元、
〔3〕取W=2000得，﹣10x2+700x﹣10000=2000
解这个方程得：x1=30，x2=40、
∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下、
∴当30≤x≤40时，w≥2000、
∵20≤x≤32
∴当30≤x≤32时，w≥2000、
设每月的成本为P〔元〕，由题意，得：P=20〔﹣10x+500〕=﹣200x+10000
∵k=﹣200＜0，
∴P随x的增大而减小、
∴当x=32时，P的值最小，P最小值=3600、
答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元、
23、〔12分〕如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点、
〔1〕抛物线与x轴的交点坐标为〔﹣1，0〕或〔3，0〕；
〔2〕设〔1〕中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=6，并求出此时P点的坐标、

【解答】解：〔1〕当y=0时，
x2﹣2x﹣3=0，
解得，x1=﹣1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为〔﹣1，0〕或〔3，0〕，
故答案为：〔﹣1，0〕或〔3，0〕；
〔2〕∵点A〔﹣1，0〕，点B〔3，0〕，y=x2﹣2x﹣3=〔x﹣1〕2﹣4，
∴此抛物线有最小值，此时y=﹣4，AB=3﹣〔﹣1〕=4，
∵S△PAB=6，抛物线上有一个动点P，
∴点P的纵坐标的绝对值为：，
∴x2﹣2x﹣3=3或x2﹣2x﹣3=﹣3，
解得，x1=1+，x2=1﹣，x3=0，x4=2，
∴点P的坐标为〔1+，3〕、〔1﹣，3〕、〔0，﹣3〕、〔2，﹣3〕、
24、如下图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C、A〔1，1〕、B〔3，1〕、动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动、过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒〔0＜t＜4〕，△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S、
〔1〕求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
〔2〕求S与t的函数关系式；
〔3〕将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？假设存在，直接写出t的值；假设不存在，请说明理由、

【解答】解：〔1〕解法一：由图象可知：抛物线经过原点，
设抛物线解析式为y=ax2+bx〔a≠0〕、
把A〔1，1〕，B〔3，1〕代入上式得，
解得，
∴所求抛物线解析式为y=﹣x2+x；
解法二：∵A〔1，1〕，B〔3，1〕，∴抛物线的对称轴是直线x=2、
设抛物线解析式为y=a〔x﹣2〕2+h〔a≠0〕，
把O〔0，0〕，A〔1，1〕代入得
解得∴所求抛物线解析式为：y=﹣〔x﹣2〕2+、
〔2〕分三种情况：
①当0＜t≤2，重叠部分的面积是S△OPQ，过点A作AF⊥x轴于点F，
∵A〔1，1〕，在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，
在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，
∴PQ=OQ=tcos45°=t，
∴S=〔t〕2=t2、
②当2＜t≤3，设PQ交AB于点G，
作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°，那么四边形OAGP是等腰梯形，
重叠部分的面积是S梯形OAGP、
∴AG=FH=t﹣2，
∴S=〔AG+OP〕AF=〔t+t﹣2〕×1=t﹣1、
③当3＜t＜4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，
重叠部分的面积是S五边形OAMNC、
因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，
所以重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN、
∵B〔3，1〕，OP=t，
∴PC=CN=t﹣3，
∴BM=BN=1﹣〔t﹣3〕=4﹣t，
∴S=〔2+3〕×1﹣〔4﹣t〕2S=﹣t2+4t﹣；
[来源:学、科、网Z、X、X、K]
〔3〕存在t1=1，t2=2、
将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，此时Q〔t+，〕，O〔t，t〕
①当点Q在抛物线上时，=×〔t+〕2+×〔t+〕，解得t=2；
②当点O在抛物线上时，t=﹣t2+t，解得t=1、

25、：二次函数y=ax2﹣2x+c的图象与x于A、B，A在点B的左侧〕，与y轴交于点C，对称轴是直线x=1，平移一个单位后经过坐标原点O
〔1〕求这个二次函数的解析式；
〔2〕直线交y轴于D点，E为抛物线顶点、假设∠DBC=α，∠CBE=β，求α﹣β的值；
〔3〕在〔2〕问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足PA=PC，在y轴右侧的抛物线上是否存在点M，使得△BDM的面积等于PA2？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由、

【解答】解：〔1〕由题意，A〔﹣1，0〕，
∵对称轴是直线x=1，
∴B〔3，0〕；〔1分〕
把A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕分别代入y=ax2﹣2x+c
得；〔2分〕
解得、
∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3、
〔2〕∵直线与y轴交于D〔0，1〕，
∴OD=1，
由y=x2﹣2x﹣3=〔x﹣1〕2﹣4得E〔1，﹣4〕；
连接CE，过E作EF⊥y轴于F〔如图1〕，那么EF=1，
∴OC=OB=3，CF=1=EF，
∴∠OBC=∠OCB=∠45°，
BC==，
；
∴∠BCE=90°=∠BOD，，
，
∴，
∴△BOD∽△BCE，〔6分〕
∴∠CBE=∠DBO，
∴α﹣β=∠DBC﹣∠CBE=∠DBC﹣∠DBO=∠OBC=45°、〔7分〕
〔3〕设P〔1，n〕，
∵PA=PC，
∴PA2=PC2，即〔1+1〕2+〔n﹣0〕2=〔1+0〕2+〔n+3〕2
解得n=﹣1，
∴PA2=〔1+1〕2+〔﹣1﹣0〕2=5，
∴S△EDW=PA2=5；〔8分〕
法一：设存在符合条件的点M〔m，m2﹣2m﹣3〕，那么m＞0，
①当M在直线BD上侧时，连接OM〔如图1〕，
那么S△BDM=S△OBM+S△ODM﹣S△BOD=5，
即，
，
整理，得3m2﹣5m﹣22=0，
解得m1=﹣2〔舍去〕，，
把代入y=m2﹣2m﹣3得；
∴；〔10分〕
②当M在直线BD下侧时，不妨叫M1，连接OM1〔如图1〕，
那么S△BDM1=S△BOD+S△BOM1﹣S△DOM1=5，
即，
，
整理，得3m2﹣5m﹣2=0，
解得\，〔舍去〕
把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3，
∴M1〔2，﹣3〕；
综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为或〔2，﹣3〕、〔12分〕
法二：设存在符合条件的点M〔m，m2﹣2m﹣3〕，那么m＞0，
①当M在直线BD上侧时，过M作MG∥y轴，
交DB于G；〔如图2〕
设D、B到MG距离分别为h1，h2，那么
S△BDM=S△DMG﹣S△BMG=5，
即，
，[来源:学科网]
，
整理，得3m2﹣5m﹣22=0；
解得m1=﹣2〔舍去〕，；
把代入y=m2﹣2m﹣3
得；
∴、〔10分〕
②当M在直线BD下侧时，不妨叫M1，过M1作M1G1∥y轴，交DB于G1〔如图2〕
设D、B到M1G1距离分别为h1、h2，那么S△BDM=S△DM1G1+S△BM1G1=5，
即，
，
，
整理，得3m2﹣5m﹣2=0，
解得，〔舍去〕
把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3，
∴M1〔2，﹣3〕；
综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为或〔2，﹣3〕、〔12分〕
法三：①当M在直线BD上侧时，过M作MH∥BD，交y轴于H，连接BH；〔如图3〕
那么S△DHB=S△BDM=5，
即，，
∴DH=，
∴；
∴直线MH解析式为；
联立
得或；
∵M在y轴右侧，
∴M坐标为、〔10分〕
②当M在直线BD下侧时，不妨叫M1，过M1作M1H1∥BD，交y轴于H1，
连接BH1〔如图3〕，同理可得，
∴，
∴直线M1H1解析式为，
联立
得或；
∵M1在y轴右侧，
∴M1坐标为〔2，﹣3〕
综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为或〔2，﹣3〕、〔12分〕