2019年高考数学(文)复习-近年高考数学分类汇编-第四章-三角函数--第4节--解三角形.docx

第四章 三角函数

第4节 解三角形

题型58 正弦定理的应用
1. （2013山东文7）的内角，，所对的边分别为，若，，
，则（ ）.
A. B. C. D.
1.分析 先利用正弦定理，求出角，进而求出角和角，得出角为直角，从而利用勾
股定理求出边.
解析 由正弦定理得：，因为，所示.
因为为三角形的内角，所以.所以.又，所以，
所以.所以，所以为直角三角形.
由勾股定理得.故选B.
2. (2013安徽文9） 设的内角所对边的长分别为，若
，则角（ ）.
A. B. C. D.
2. 解析 同理科卷12题.答案B.
3.（2013浙江文3）若，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.分析 分别判断能否推出和能否推出.
解析 若，则，所以，即；
但当时，有，此时.所以是的充分不必要条件.故选A.
4. (2013湖南文5）在锐角中，角所对的边长分别为. 若，则角等于（ ）.
A. B. C. D.
4.分析 利用正弦定理将边化为角的正弦.
解析 在中，.
因为，所以.所以.又为锐角三角形，所以.故选A.
5.（2014广东文7）在中，角所对应的边分别为则“”是“”的（ ）.
A. 充分必要条件 B.充分非必要条件
C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件
6.（2014江西文5）在中，内角所对的边分别为，若，则的值为（ ）.
A. B. C. D.
7.（2015安徽文）在中，，，，则 .
7.解析 由正弦定理可得，即，解得.
8.（2015福建文）若在中，，，，则_______．
8.解析 由题意得．
由正弦定理得，则.
9.(2015北京文)在中，，，， .
9.解析 在中，由正弦定理知，得，，
又，得.
10.（2015全国1文）已知分别为内角的对边，.
（1）若，求；
（2）设，且，求的面积.
10.解析 （1由正弦定理得，.又，所以，即.
则.
（2）解法一：因为，所以，
即，亦即.
又因为在中，，所以，
则，得.所以为等腰直角三角形，
得，所以.
解法二：由（1）可知，①
因为，所以，②
将②代入①得，则，所以.
11.（2015山东文）在△中，角所对的边长分别为. 已知，，，求和的值.
11.解析 在中，由，得.
因为，所以.
因为，所以，可得为锐角，所以，
因此.
由，可得.
又，所以.
12.（2016全国丙文9）在中，，边上的高等于，则（ ）.
A. B. C. D.
12. D 解析 解法一：，，
由正弦定理得，即，所以，所以，.故选D.
解法二：如图所示，由，知.
由，则，.
由正弦定理知，则.故选D.

13.（2016北京文13）在中，，，则________.
13.解析 由正弦定理及题设，可得，
所以，则.由，得，，，.
14.（2016全国甲文15）的内角，，的对边分别为，，.若，，，则_______.
14.解析 解法一：由题可知，.
由正弦定理可得.由射影定理可得.
解法二：同解法一，可得.又
，由余弦定理可得.
解法三：因为，，，，
.
由正弦定理得，，解得.
15.（2016江苏15）在中，，，.
（1）求的长；（2）求的值.
15. 解析 （1）因为，而，所以.
由正弦定理，故.
（2）因为，所以.
又，所以.故
.
16.（2016天津文15）在中，内角，，所对的边分别为，，，
已知.
（1）求；
（2）若，求的值.
16.分析 （1）利用正弦定理，将边化为角：，再根据三角形内角范围化简得，；（2）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解.
解析 （1）在中，由正弦定理化简，
得，所以，得.
（2）由，得，则，
所以.
17.（2016浙江文16）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.
（1）求证：；
（2）若，求的值.
17.解析 （1）由正弦定理得，
故，
于是.又，故，
所以或，因此（舍去）或，所以
（2）由，得，，
故，..
18.（2017全国3文15）的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则_________.
18.解析 由正弦定理有，所以，又，所以，
所以.
评注 考查用正、余弦定理解三角形问题以及三角形的内角和定理，难度偏低.
题型59 余弦定理的应用
1.（2014福建文14）在中，，则等于 .
2.（2015广东文）设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（ ）.
2.解析 由余弦定理得，
所以，
即，解得或.因为，所以.故选C．
3.（2015重庆文）设的内角，，的对边分别为，，，且，，，则________.
3.解析 因为，所以根据正弦定理得．又因为，
所以．因为，所以，代入解得．
4.（2015江苏文）在中，已知，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
4.解析 （1）由余弦定理，
解得．
（2），
因为，故，
故．
评注 在运算的过程中类似，可不化简，有时候会利于下面的运算．
5.（2015全国2文）中，是上的点，平分， .
(1)求；
(2)若，求.
5.分析 (1)根据题意，由正弦定理可得.
(2)由诱导公式可得，由(1)可知，所以，.
解析 (1)由正弦定理得，，.
因为平分，，所以.
(2)因为，，
所以.
由(1)知，所以，即.
评注 三角是高中数学的重点内容，在高考中主要是利用三角函数，三角恒等变换及解三角形的正弦定理及余弦定理，在求解时，注意角的转化及定理的使用.
6.（2015陕西文）的内角，，所对的边分别为，，，向量与平行.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
6.解析 (1)因为，所以
由正弦定理得，
将式代入式，又，得到，由于，所以.
(2)解法一：由余弦定理得，，而，，，
得，即.因为，所以，
故的面积为.
解法二：由正弦定理，得，从而.
又由知，所以.
故，
所以面积为.
7（2015四川文）已知为的内角，，是关于方程的两个实根.
（1）求C的大小；
（2）若，，求p的值.
7.解析 （1）由题意可得方程的判别式，所以或.
由韦达定理，得，，
所以，
可得.
所以，所以.
（2）由正弦定理，可得，
解得或（舍去）.所以.
则.
所以.
8.（2015天津文）在中，内角，， 所对的边分别为，，，已知的面积为，，.
（1）求和的值；
（2）求 的值.
8.分析 （1）由面积公式可得，结合，可解得，.再由余弦定理求得.最后由正弦定理求的值；（2）直接展开求值.
解析 （1）中，由，得，
由，得，又由，解得，.
由，可得.
又由，得.
（2）
.
9.（2015浙江文）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
9.解析 (1) ，得.
.
(2) ，.由正弦定理得，，所以，
又，
所以.
10.（2016全国乙文4）的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则（ ）.
A. B. C. D.
10. D 解析 由余弦定理得，即，
整理得，解得.故选D.
11.（2016山东文8）在中，角，，的对边分别是，，，已知，，则（ ）.
A. B. C. D.
11. C解析 由余弦定理，得.
因为，所以. 由已知得，所以，
所以.因为，所以.故选C.
评注 考试的时候得到，若寻找不到因式分解可考虑代入选项检验.
题型60 判断三角形的形状
1. (2013陕西文9）设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）.
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
1.分析 利用余弦定理的变形将角的余弦值转化为三角形边之间的关系．
解析 因为
,所以.
因为，所以，即是直角三角形．故选B.
题型61 解三角形的综合应用
1. （2013江西文17）在中，角所对的边分别为，已知.
（1）求证：成等差数列；
（2）若，求的值.
1.分析 （1）根据正弦定理把已知条件中的角的关系转化为边的关系，从而证明成等
差数列；（2）应用（1）的结论和余弦定理得出的关系式，从而求出结论.
解析 （1）由已知得.因为，所以.
由正弦定理得，即成等差数列.
（2）由及余弦定理得，即有，所以.
2. (2013天津文16）在中， 内角所对的边分别是. 已知，， .
（1）求的值;
（2）求的值.
2.分析 （1）先用正弦定理求出，再用余弦定理求出；（2）用二倍角公式和两角差公式求值.
解析 （1）在△中，由可得又由
可得.又故由可得
（2）由得进而得
所以
3.（2013湖北文18）
在中，角，，对应的边分别是，，. 已知．
（1）求角的大小；
（2）若的面积，，求的值．
3.分析 利用倍角公式和诱导公式化简已知条件，求得的值，即得角的大小；由面
积求出边，再利用余弦定理求出边，最后利用正弦定理求出的值.
解析 （1）由，得，即，解得.因为，所以.
（2）由，得，又，所以.
由余弦定理得，所以.
从而由正弦定理得.
4. （2013四川文17）在中，角的对边分别为，且
.
（1）求的值；推导的前项和公式；
（2）若，求向量在方向上的投影.
4.分析 （1）由三角形内角和定理得，即，然后利用两角
和的余弦公式求得.
（2）借助正、余弦定理求角后再利用向量投影公式求解．
解析 （1）由，得.则，即.
又，则.
（2）由正弦定理，有，所以.
故题意知，则，故.
根据余弦定理，有.解得或（负值舍去）.
故向量在方向上的投影为.
5. (2013浙江文18）在锐角中，内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
5.分析 （1）利用已知条件和正弦定理可求出，进而求出；（2）利用余弦定理求出
，再用面积公式求面积.
解析 （1）由及正弦定理，得.因为是锐角，
所以.
（2）由余弦定理，得.
又，所以.
由三角形面积公式，得的面积为.
6.（2014四川文8）如图所示，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于（ ）.
A. B.
C. D.

7.（2014新课标Ⅰ文16）如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，
则山高 .

8．（2014湖北文13）在中，角所对的边分别为. 输入
开始

否
是

结束
输出

已知，，，则 .
9.（2014北京文12）在中，，，，则 ；
.
9. 解析 由余弦定理知，故；由，，知，由知.
10.（2014陕西文16）（本小题满分12分）
的内角所对的边分别为.
（1）若成等差数列，求证：；
（2）若成等比数列，且，求的值.
11. （2014安徽文16）（本小题满分12分）
设的内角所对边的长分别是，且，，的面积为，求与的值.
11. 解析 由三角形面积公式，得，故.因为，所以.
①当时，由余弦定理得，所以.
②当时，由余弦定理得，所以.
评注 本题考查解三角形，解题时要注意已知求时有两解，防止漏解.
12.（2014大纲文18）（本小题满分12分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求B.
13.（2014辽宁文17）（本小题满分12分）
在中，内角的对边分别为，且，已知，，，求：
（1）和的值；
（2）的值.
14.（2014山东文17）（本小题满分12分）
中，角所对的边分别为. 已知.
（1）求的值；
（2）求的面积.
15.（2014浙江文18）在中，内角所对的边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）已知，的面积为，求边长的值.
16.（2014重庆文18）（本小题满分12分）
在中，内角所对的边分别为，且.
（1）若，求的值；
（2）若，且的面积，求和的值.
17. （2014新课标Ⅱ文17）（本小题满分12分）
四边形的内角与互补，，，.
（1）求和；
（2）求四边形的面积.
18.（2014湖南文19）（本小题满分13分）
如图所示，在平面四边形中，，.

（1）求的值；
（2）求的长.

19.（2015湖北文）如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度= m.

19.解析 中，，，所以，
因为，由正弦定理可得，即m，在中，因为，，所以，所以m.
20.（2015湖南）设的内角，，的对边分别为，，，.
（1）证明：；
（2）若，且为钝角，求，，.
20.解析 （1）由及正弦定理，得，所以.
（2）因为

所以 .
由（1）知，因此，所以，
又为钝角，故，由知，
从而.
综上所述，，，.
21.（2016上海文10）已知的三边长分别为，，，则该三角形的外接圆半径等于 .
21.解析 不妨设，，，则，故，因此.
22.（2016四川文18）在中，角，，所对的边分别是，，，且.
（1）求证：；
（2）若，求.
22.解析 （1）根据正弦定理，可设，则，，.
代入中，有，
可变形得
在中，由，有，
所以
（2）由已知，根据余弦定理，有.
所以.由（1）得，，
所以，故
23.（2017全国1文11）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ）.
A． B． C． D．
23.解析 由题意得
，
即，所以.
由正弦定理，得，即，得.故选B.
24.（2017全国2文16）的内角，B，C的对边分别为，，，若，则 .
24.解析 解法一:由正弦定理可得

.
解法二：如图所示，由射影定理知，，所以，所以，所以..
25.（2017山东文17）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，求和.
25.解析 因为，所以，又 ，所以，
因此， 且，所以.又，所以.
由余弦定理，得，
所以.
26.（2017天津文15）在中，内角所对的边分别为.已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
26.解析 （1）因为，所以由正弦定理得，则.
又因为，所以由余弦定理得.
（2）因为，所以，且.
因为，所以由正弦定理得.
又因为，所以，所以，
所以，
所以.
27.（2017浙江14）已知，，. 点为延长线上的一点，，联结，则的面积是___________，__________.
27.解析 如图所示，取的中点为，在等腰中,，所以，，
所以的面积为．因为，所以是等腰三角形，所以，，解得．
28.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为，容器的底面对角线的长为，容器的两底面对角线，的长分别为和． 分别在容器和容器中注入水，水深均为． 现有一根玻璃棒，其长度为（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.
（1）将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分
的长度；
（2） 将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部
分的长度．

28.解析 （1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，．
记玻璃棒的另一端落在上点处，如图所示为截面的平面图形．因为，，所以，从而.记与水面的交点为， 过点作，为垂足，则平面，故，从而．
答：玻璃棒没入水中部分的长度为．

（2）如图所示为截面的平面图形，，是正棱台两底面的中心．
由正棱台的定义，平面， 所以平面平面，．
同理，平面平面，．
记玻璃棒的另一端落在上点处．
过作，为垂足，则．
因为，，所以，
从而．
设，，则．
因为，所以．
在中，由正弦定理可得，解得．
因为，所以，
于是
．
记与水面的交点为，过作，为垂足，则平面，
故，从而．
答：玻璃棒没入水中部分的长度为．

评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．
也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：
，，所以，，
所以由，，即，解得．
答：玻璃棒没入水中部分的长度为．
题型 正、余弦定理与向量的综合——暂无