1、第四章 三角函数 第4节 解三角形题型58 正弦定理的应用1. （2013山东文7）的内角，所对的边分别为，若， ，则（ ）.A. B. C. D. 1.分析 先利用正弦定理，求出角，进而求出角和角，得出角为直角，从而利用勾股定理求出边.解析 由正弦定理得：，因为，所示.因为为三角形的内角，所以.所以.又，所以，所以.所以，所以为直角三角形.由勾股定理得.故选B.2. (2013安徽文9） 设的内角所对边的长分别为，若，则角（ ）. A. B. C. D. 2. 解析 同理科卷12题.答案B.3.（2013浙江文3）若，则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件
2、D.既不充分也不必要条件3.分析 分别判断能否推出和能否推出.解析 若，则，所以，即；但当时，有，此时.所以是的充分不必要条件.故选A.4. (2013湖南文5）在锐角中，角所对的边长分别为. 若，则角等于（ ）.A. B. C. D.4.分析 利用正弦定理将边化为角的正弦.解析 在中，.因为，所以.所以.又为锐角三角形，所以.故选A.5.（2014广东文7）在中，角所对应的边分别为则“”是“”的（ ）.A. 充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件6.（2014江西文5）在中，内角所对的边分别为，若，则的值为（ ）. A. B. C. D.7.（2015安徽
3、文）在中，则 .7.解析 由正弦定理可得，即，解得.8.（2015福建文）若在中，则_8.解析 由题意得由正弦定理得，则.9.(2015北京文)在中， .9.解析 在中，由正弦定理知，得，又，得.10.（2015全国1文）已知分别为内角的对边，.（1）若，求；（2）设，且，求的面积.10.解析 （1由正弦定理得，.又，所以，即.则.（2）解法一：因为，所以，即，亦即.又因为在中，所以，则，得.所以为等腰直角三角形，得，所以.解法二：由（1）可知，因为，所以，将代入得，则，所以.11.（2015山东文）在中，角所对的边长分别为. 已知，求和的值.11.解析 在中，由，得.因为，所以.因为，所以，
4、可得为锐角，所以，因此.由，可得.又，所以.12.（2016全国丙文9）在中，边上的高等于，则（ ）.A. B. C. D.12. D 解析 解法一：，由正弦定理得，即，所以，所以，.故选D.解法二：如图所示，由，知.由，则，.由正弦定理知，则.故选D.13.（2016北京文13）在中，则_.13.解析 由正弦定理及题设，可得，所以，则.由，得，.14.（2016全国甲文15）的内角，的对边分别为，.若，则_.14.解析 解法一：由题可知，.由正弦定理可得.由射影定理可得.解法二：同解法一，可得.又，由余弦定理可得.解法三：因为，.由正弦定理得，解得.15.（2016江苏15）在中，.（1）求
5、的长；（2）求的值.15. 解析 （1）因为，而，所以.由正弦定理，故.（2）因为，所以.又，所以.故.16.（2016天津文15）在中，内角，所对的边分别为，已知.（1）求；（2）若，求的值.16.分析 （1）利用正弦定理，将边化为角：，再根据三角形内角范围化简得，；（2）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解.解析 （1）在中，由正弦定理化简，得，所以，得.（2）由，得，则，所以.17.（2016浙江文16）在中，内角，所对的边分别为，.已知.（1）求证：；（2）若，求的值.17.解析 （1）由正弦定理得，故，于是.又，故，所以或，因此
6、（舍去）或，所以（2）由，得，故，.18.（2017全国3文15）的内角，的对边分别为，.已知，则_.18.解析 由正弦定理有，所以，又，所以，所以.评注 考查用正、余弦定理解三角形问题以及三角形的内角和定理，难度偏低.题型59 余弦定理的应用1.（2014福建文14）在中，则等于 .2.（2015广东文）设的内角，的对边分别为，若，且，则（ ）.2.解析 由余弦定理得，所以，即，解得或.因为，所以.故选C3.（2015重庆文）设的内角，的对边分别为，且，则_.3.解析 因为，所以根据正弦定理得又因为，所以因为，所以，代入解得4.（2015江苏文）在中，已知，（1）求的长；（2）求的值4.解析
7、 （1）由余弦定理，解得（2），因为，故，故评注 在运算的过程中类似，可不化简，有时候会利于下面的运算5.（2015全国2文）中，是上的点，平分， .(1)求；(2)若，求.5.分析 (1)根据题意，由正弦定理可得.(2)由诱导公式可得，由(1)可知，所以，.解析 (1)由正弦定理得，.因为平分，所以.(2)因为，所以.由(1)知，所以，即.评注 三角是高中数学的重点内容，在高考中主要是利用三角函数，三角恒等变换及解三角形的正弦定理及余弦定理，在求解时，注意角的转化及定理的使用.6.（2015陕西文）的内角，所对的边分别为，向量与平行.（1）求；（2）若，求的面积.6.解析 (1)因为，所以
8、由正弦定理得， 将式代入式，又，得到，由于，所以.(2)解法一：由余弦定理得，而，得，即.因为，所以，故的面积为.解法二：由正弦定理，得，从而.又由知，所以.故，所以面积为.7（2015四川文）已知为的内角，是关于方程的两个实根.（1）求C的大小；（2）若，求p的值.7.解析 （1）由题意可得方程的判别式，所以或.由韦达定理，得，所以，可得.所以，所以.（2）由正弦定理，可得，解得或（舍去）.所以.则.所以.8.（2015天津文）在中，内角， 所对的边分别为，已知的面积为，.（1）求和的值；（2）求 的值.8.分析 （1）由面积公式可得，结合，可解得，.再由余弦定理求得.最后由正弦定理求的值；
9、（2）直接展开求值.解析 （1）中，由，得，由，得，又由，解得，.由，可得. 又由，得.（2）.9.（2015浙江文）在中，内角，所对的边分别为，.已知.(1)求的值；(2)若，求的面积.9.解析 (1) ，得.(2) ，.由正弦定理得，所以，又，所以.10.（2016全国乙文4）的内角，的对边分别为，.已知，则（ ）.A. B. C. D.10. D 解析 由余弦定理得，即，整理得，解得.故选D.11.（2016山东文8）在中，角，的对边分别是，已知，则（ ）.A. B. C. D.11. C解析 由余弦定理，得.因为，所以. 由已知得，所以，所以.因为，所以.故选C.评注 考试的时候得到，
10、若寻找不到因式分解可考虑代入选项检验.题型60 判断三角形的形状1. (2013陕西文9）设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）.A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定1.分析 利用余弦定理的变形将角的余弦值转化为三角形边之间的关系解析 因为,所以.因为，所以，即是直角三角形故选B.题型61 解三角形的综合应用1. （2013江西文17）在中，角所对的边分别为，已知.（1）求证：成等差数列；（2）若，求的值.1.分析 （1）根据正弦定理把已知条件中的角的关系转化为边的关系，从而证明成等差数列；（2）应用（1）的结论和余弦定理得出的关系式，从而求出结论.解析 （
11、1）由已知得.因为，所以.由正弦定理得，即成等差数列.（2）由及余弦定理得，即有，所以.2. (2013天津文16）在中， 内角所对的边分别是. 已知， . （1）求的值; （2）求的值. 2.分析 （1）先用正弦定理求出，再用余弦定理求出；（2）用二倍角公式和两角差公式求值.解析 （1）在中，由可得又由可得.又故由可得（2）由得进而得所以3.（2013湖北文18）在中，角，对应的边分别是，. 已知（1）求角的大小；（2）若的面积，求的值3.分析 利用倍角公式和诱导公式化简已知条件，求得的值，即得角的大小；由面积求出边，再利用余弦定理求出边，最后利用正弦定理求出的值.解析 （1）由，得，即，解
12、得.因为，所以.（2）由，得，又，所以.由余弦定理得，所以.从而由正弦定理得.4. （2013四川文17）在中，角的对边分别为，且.（1）求的值；推导的前项和公式；（2）若，求向量在方向上的投影.4.分析 （1）由三角形内角和定理得，即，然后利用两角和的余弦公式求得.（2）借助正、余弦定理求角后再利用向量投影公式求解解析 （1）由，得.则，即.又，则.（2）由正弦定理，有，所以.故题意知，则，故.根据余弦定理，有.解得或（负值舍去）.故向量在方向上的投影为.5. (2013浙江文18）在锐角中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小；（2）若，求的面积. 5.分析 （1）利用已知条件和正弦定
13、理可求出，进而求出；（2）利用余弦定理求出，再用面积公式求面积.解析 （1）由及正弦定理，得.因为是锐角，所以.（2）由余弦定理，得.又，所以.由三角形面积公式，得的面积为.6.（2014四川文8）如图所示，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度等于（ ）.A. B.C. D.7.（2014新课标文16）如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高 .8（2014湖北文13）在中，角所对的边分别为. 输入开始否是结束输出已知，则 .9.（2014北京文12）在中，则 ； .9. 解析 由余
14、弦定理知，故；由，知，由知.10.（2014陕西文16）（本小题满分12分） 的内角所对的边分别为.（1）若成等差数列，求证：；（2）若成等比数列，且，求的值. 11. （2014安徽文16）（本小题满分12分）设的内角所对边的长分别是，且，的面积为，求与的值.11. 解析 由三角形面积公式，得，故.因为，所以.当时，由余弦定理得，所以.当时，由余弦定理得，所以.评注 本题考查解三角形，解题时要注意已知求时有两解，防止漏解.12.（2014大纲文18）（本小题满分12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求B.13.（2014辽宁文17）（本小题满分12分） 在中，内角的对边分别为
15、，且，已知，求：（1）和的值；（2）的值.14.（2014山东文17）（本小题满分12分）中，角所对的边分别为. 已知.（1）求的值；（2）求的面积.15.（2014浙江文18）在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）已知，的面积为，求边长的值.16.（2014重庆文18）（本小题满分12分）在中，内角所对的边分别为，且.（1）若，求的值；（2）若，且的面积，求和的值.17. （2014新课标文17）（本小题满分12分）四边形的内角与互补，.（1）求和；（2）求四边形的面积.18.（2014湖南文19）（本小题满分13分）如图所示，在平面四边形中，.（1）求的值；（2）求的长.
16、19.（2015湖北文）如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度= m.19.解析 中，所以，因为，由正弦定理可得，即m，在中，因为，所以，所以m. 20.（2015湖南）设的内角，的对边分别为，.（1）证明：；（2）若，且为钝角，求，.20.解析 （1）由及正弦定理，得，所以.（2）因为所以 .由（1）知，因此，所以，又为钝角，故，由知，从而.综上所述，.21.（2016上海文10）已知的三边长分别为，则该三角形的外接圆半径等于 .21.解析 不妨设，则，故，因此.22.（201
17、6四川文18）在中，角，所对的边分别是，且.（1）求证：；（2）若，求.22.解析 （1）根据正弦定理，可设，则，.代入中，有，可变形得在中，由，有，所以（2）由已知，根据余弦定理，有.所以.由（1）得，所以，故23.（2017全国1文11）的内角，的对边分别为，已知，则（ ）.A B C D23.解析 由题意得，即，所以.由正弦定理，得，即，得.故选B.24.（2017全国2文16）的内角，B，C的对边分别为，若，则 .24.解析 解法一:由正弦定理可得.解法二：如图所示，由射影定理知，所以，所以，所以.25.（2017山东文17）在中，角，的对边分别为，已知，求和.25.解析 因为，所以，
18、又 ，所以，因此， 且，所以.又，所以.由余弦定理，得，所以.26.（2017天津文15）在中，内角所对的边分别为.已知，.（1）求的值；（2）求的值.26.解析 （1）因为，所以由正弦定理得，则. 又因为，所以由余弦定理得.（2）因为，所以，且.因为，所以由正弦定理得.又因为，所以，所以，所以，所以.27.（2017浙江14）已知，.点为延长线上的一点，联结，则的面积是_，_.27.解析 如图所示，取的中点为，在等腰中,，所以，所以的面积为因为，所以是等腰三角形，所以，解得28.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为，容器的底面对角线的长为，容
19、器的两底面对角线，的长分别为和 分别在容器和容器中注入水，水深均为 现有一根玻璃棒，其长度为（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；（2） 将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度 28.解析 （1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，记玻璃棒的另一端落在上点处，如图所示为截面的平面图形因为，所以，从而.记与水面的交点为， 过点作，为垂足，则平面，故，从而答：玻璃棒没入水中部分的长度为（2）如图所示为截面的平面图形，是正棱台两底面的中心由正棱台的定义，平面， 所以平面平面，同理，平面平面，记玻璃棒的另一端落在上点处过作，为垂足，则因为，所以，从而设，则因为，所以在中，由正弦定理可得，解得 因为，所以，于是记与水面的交点为，过作，为垂足，则平面，故，从而答：玻璃棒没入水中部分的长度为评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：，所以，所以由，即，解得答：玻璃棒没入水中部分的长度为题型 正、余弦定理与向量的综合暂无
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