七年级初一数学数学第五章-相交线与平行线的专项培优易错试卷练习题及答案.doc

七年级初一数学数学第五章 相交线与平行线的专项培优易错试卷练习题及答案

一、选择题
1．下列命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形底边上的高是它的对称轴
B．有两个角相等的三角形是等腰三角形
C．等腰三角形底边上的中线平分顶角
D．等边三角形的每一个内角都等于60°
2．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（　　）

A．20 B．24 C．25 D．26
3．如图，在中，，平分，且，则的度数为（ ）

A．70° B．60° C．50° D．40°
4．下列命题是假命题的有（　　）
①邻补角相等；②对顶角相等；③同位角相等；④内错角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）不相等的两个角不是同位角；
（3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做该点到直线的距离；
（5）过一点作已知直线的平行线，有且只有一条．
其中真命题的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．如图，在△ABC中，AB=AC，CD∥AB，点E在BC的延长线上.若∠A=30°，则∠DCE的大小为（ ）

A．30° B．52.5° C．75° D．85°
7．佳佳将坐标系中一图案横向拉长2倍，又向右平移2个单位长度，若想变回原来的图案，需要变化后的图案上各点坐标( )
A．纵坐标不变，横坐标减2
B．纵坐标不变，横坐标先除以2，再均减2
C．纵坐标不变，横坐标除以2
D．纵坐标不变，横坐标先减2，再均除以2
8．下列语句是命题的是 ( )
（1）两点之间，线段最短；（2）如果两个角的和是180度，那么这两个角互补；（3）请画出两条互相平行的直线；（4）一个锐角与一个钝角互补吗?
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（1）（4）
9．已知，∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，若∠E=66°，则∠F为（ ）

A．23° B．33° C．44° D．46°
10．如图，面积为2，将沿AC方向平移至，且AC=CD，则四边形AEFB的面积为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题
11．一副直角三角板叠放如图所示，现将含角的三角板固定不动，把含角的三角板由图所示位置开始绕点逆时针旋转且，使两块三角板至少有一组边平行．如图时，．

请你在图、图、图内，各画一种符合要求的图形，标出，并完成各项填空：
图中_______________时，___________//___________﹔图中_____________时，___________//___________﹔图中_______________时，___________//___________﹔
12．如图，点为直线上一点，．

（1） °， °；
（2）的余角是_ ，的补角是__ ．
13．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为__°．

14．如图，△ABC的边长AB =3 cm，BC=4 cm，AC=2 cm，将△ABC沿BC方向平移a cm（a＜4 cm），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为_______cm．

15．如图,AB∥CD,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∠BFD=35°，那么∠BED的度数为_______.

16．如图，两直线AB、CD平行，则__________．

17．如图，已知AB∥CD,∠EAF =∠EAB,∠ECF=∠ECD ,则∠AFC与∠AEC之间的数量关系是_____________________________

18．已知M、N是线段AB的三等分点，C是BN的中点，CM=6 cm，则AB=_________ cm．
19．已知∠A与∠B的两边分别平行，其中∠A为x°，∠B的为(210﹣2x)°，则∠A=____度．
20．如图，∠AOB＝60°，在∠AOB的内部有一点P，以P为顶点，作∠CPD，使∠CPD的两边与∠AOB的两边分别平行，∠CPD的度数为_______度．

三、解答题
21．如图1，D是△ABC延长线上的一点，CEAB．
（1）求证：∠ACD＝∠A+∠B；
（2）如图2，过点A作BC的平行线交CE于点H，CF平分∠ECD，FA平分∠HAD，若∠BAD＝70°，求∠F的度数．
（3）如图3，AHBD，G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分∠QGD交AH于R，QN平分∠AQG交AH于N，QMGR，猜想∠MQN与∠ACB的关系，说明理由．

22．问题情境

（1）如图1，已知AB∥CD，∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，求∠BPC的度数．
佩佩同学的思路：过点P作PG∥AB，进而PG∥CD，由平行线的性质来求∠BPC，求得∠BPC＝　 　
问题迁移
（2）图2．图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB＝90°，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED＝∠α，∠PAC＝∠β．
①如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②如图3，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由；
拓展延伸
（3）当点P在C，D两点之间运动时，若∠PED，∠PAC的角平分线EN，AN相交于点N，请直接写出∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系．
23．阅读下面材料：
彤彤遇到这样一个问题：
已知：如图甲，ABCD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
彤彤是这样做的：
过点E作EFAB，
则有∠BEF＝∠B．
∵ABCD，
∴EFCD．
∴∠FED＝∠D．
∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
即∠BED＝∠B+∠D．
请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图乙．
已知：直线ab，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．
（1）如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；
（2）如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，直接写出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．

24．如图1，AB∥CD，点E在AB上，点G在CD上，点 F 在直线 AB，CD之间，连接EF，FG，EF垂直于 FG，∠FGD =125°．
(1)求出∠BEF的度数；
(2)如图 2，延长FE到H，点M在FH的上方，连接MH，Q为直线 AB 上一点，且在直线 MH 的右侧， 连接 MQ，若∠EHM=∠M +90°，求∠MQA 的度数；
(3)如图 3，S 为 NB 上一点，T 为 GD 上一点，作直线 ST，延长 GF 交 AB 于点 N，P 为直线 ST 上一动点，请直接写出∠PGN，∠SNP 和∠GPN 的数量关系 ．（题中所有角都是大于 0°小于 180°的角）

25．已知：，，四点在同一直线上．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，猜想这三个角之间有何数量关系？并证明你的结论；
（3）如图3，是下方一点，连接，且，，若，求的度数．
26．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起（如图①），其中，，.

（1）猜想与的数量关系，并说明理由；
（2）若，求的度数；
（3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角，试探究等于多少度时，并简要说明理由.

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一、选择题

1．A
解析：A
【分析】
分别分析各题设是否能推出结论，不能推出结论的既是假命题，从而得出答案．
【详解】
A.等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴，故该选项错误，是假命题，
B.有两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，
C.等腰三角形底边上的中线平分顶角，正确，是真命题，
D.等边三角形的每一个内角都等于60°，正确，是真命题，
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理，判断命题的真假，关键是分析各题设是否能推出结论．
2．D
解析：D
【解析】
由平移的性质知，BE=4，DE=AB=8，可得HE=DE-DH=8-3=5，所以S四边形HDFC=S梯形ABEH=（AB+EH）×BE=（8+5）×4=26．故选D.
3．D
解析：D
【分析】
由角平分线的定义求出∠BEF=140°，再根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”求出∠B的度数即可.
【详解】
∵平分，且，
∴
∴
∵
∴
∴
故选D
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质和角平分的性质，此题难度不大，注意掌握相关性质的运用
4．C
解析：C
【解析】
试题分析：根据命题的正确与否，直接可知：
邻补角相加和为180°，不一定相等，故①是假命题；
根据对顶角相等的性质，可知②是真命题；
根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，可知③是假命题；
根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，可知④是假命题.
故选C.
5．B
解析：B
【解析】
试题分析：根据两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故（1）不正确；
同位角不一定相等，只有在两直线平行时，同位角相等，故（2）不正确；
平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，故（3）正确；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离，故（4）不正确；
过直线外一点作已知直线的平行线，有且只有一条，故（5）不正确.
故选B.
6．C
解析：C
【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质：等边对等角，可得∠B=∠ACB，然后根据三角形的内角和可求得∠B=75°，然后根据平行线的性质可得∠B=∠DCE=75°.
故选：C.
点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质求得两底角的值，然后根据平行线的性质可求解问题.
7．D
解析：D
【解析】图案横向拉长2倍就是纵坐标不变，横坐标乘以2，又向右平移2个单位长度，就是纵坐标不变，横坐标加2，应该利用逆向思维纵坐标不变，横坐标先减2，再均除以2．
故选：D．
点睛：此题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减
8．A
解析：A
【分析】
根据命题的定义对四句话进行判断．
【详解】
解：（1）两点之间，线段最短，它是命题；
（2）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，它是命题；
（3）请画出两条互相平行的直线，它不是命题；
（4）一个锐角与一个钝角互补吗？，它不是命题．
所以，是命题的为（1）（2），
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成如果…那么…形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
9．C
解析：C
【分析】
如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得，同样的方法可得，再根据角的倍分可得，由此即可得出答案．
【详解】
如图，过点E作，则，
，
，
同理可得：，
，
，
，
故选：C．

【点睛】
本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
10．C
解析：C
【分析】
如图（见解析），先根据平移的性质可得，，，再根据平行线的性质可得的边BF上的高等于BG，然后根据三角形的面积公式分别求出和的面积即可得出答案．
【详解】
如图，过点B作于点G，连接BE，
面积为2，
，即，
由平移的性质得：，，，
，
，，
，
，
的边BF上的高等于BG，
，
四边形AEFB的面积为，
故选：C．

【点睛】
本题考查了平移的性质、平行线间的距离、三角形的面积公式等知识点，熟练掌握平移的性质是解题关键．
二、填空题

11．；（答案不唯一)
【分析】
画出图形，再由平行线的判定与性质求出旋转角度．
【详解】
图中，当时，DE//AC；

图中，当 时，CE//AB，

图中，当 时，DE//BC．

故答案为：；（答案
解析：；（答案不唯一)
【分析】
画出图形，再由平行线的判定与性质求出旋转角度．
【详解】
图中，当时，DE//AC；

图中，当 时，CE//AB，

图中，当 时，DE//BC．

故答案为：；（答案不唯一）．
【点睛】
考查了平行线的判定和性质，解题关键是理解平行线的判定与性质，并且利用了数形结合．
12．（1）35，55；（2）与，
【分析】
（1）由，可得，，所以，，，所以，已知的度数，即可得出与的度数；
（2）由（1）可得的余角是与，要求的补角，即要求的补角，的补角是．
【详解】
（1），，
，
解析：（1）35，55；（2）与，
【分析】
（1）由，可得，，所以，，，所以，已知的度数，即可得出与的度数；
（2）由（1）可得的余角是与，要求的补角，即要求的补角，的补角是．
【详解】
（1），，
，，
，，，
，
，
，；
（2）由（1）可得的余角是与，
，
的补角是，
的补角是．
故答案为：（1）35，55；（2）与，．
【点睛】
本题主要考查余角、补角以及垂直的定义，熟记补角、余角以及垂直的定义是解题关键．
13．46
【分析】
过点C作CF∥AB，根据平行线的传递性得到CF∥DE，根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝76°，由等式性质得到∠
解析：46
【分析】
过点C作CF∥AB，根据平行线的传递性得到CF∥DE，根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝76°，由等式性质得到∠DCF＝30°，于是得到结论．
【详解】
解：过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，
∵∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，
∴∠BCF＝76°，∠DCF＝30°，
∴∠BCD＝46°，
故答案为：46．

【点睛】
本题主要考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系．
14．9
【分析】
根据平移的特点，可直接得出AC、DE、AD的长，利用EC=BC－BE可得出EC的长，进而得出阴影部分周长．
【详解】
∵AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm，将△ABC沿BC方向平
解析：9
【分析】
根据平移的特点，可直接得出AC、DE、AD的长，利用EC=BC－BE可得出EC的长，进而得出阴影部分周长．
【详解】
∵AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm，将△ABC沿BC方向平移acm
∴DE=AB=3cm，BE=acm
∴EC=BC－BE=(4－a)cm
∴阴影部分周长=2+3+(4－a)+a=9cm
故答案为：9
【点睛】
本题考查平移的特点，解题关键是利用平移的性质，得出EC=BC－BE．
15．70°
【分析】
此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．
【详解】
解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．

∵EG∥AB，FH∥A
解析：70°
【分析】
此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．
【详解】
解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．

∵EG∥AB，FH∥AB，
∴∠5=∠ABE，∠3=∠1，
又∵AB∥CD，
∴EG∥CD，FH∥CD，
∴∠6=∠CDE，∠4=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=35°．
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE=2∠1，∠CDE=2∠2，
∴∠BED=∠5+∠6=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×35°=70°．
故答案为70°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，根据题中的条件作出辅助线EG∥AB，FH∥AB，再灵活运用平行线的性质是解本题的关键．
16．【分析】
根据题意，通过添加平行线，利用内错角和同旁内角，把这五个角转化成4个的角．
【详解】
分别过F点，G点，H点作，，平行于AB
利用内错角和同旁内角，把这五个角转化一下，可得，有4个的角，
解析：
【分析】
根据题意，通过添加平行线，利用内错角和同旁内角，把这五个角转化成4个的角．
【详解】
分别过F点，G点，H点作，，平行于AB
利用内错角和同旁内角，把这五个角转化一下，可得，有4个的角，
．
故答案为．

【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，添加辅助线是解题关键．
17．4∠AFC=3∠AEC
【解析】
【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=18
解析：4∠AFC=3∠AEC
【解析】
【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），求出∠AEC=4（x°+y°），∠AFC═3（x°+y°），即可得出答案．
【详解】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°=180°，
∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），∠FAC+∠FCA=180°-（3x°+3y°），
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[180°-（4x°+4y°）]
=4x°+4y°
=4（x°+y°），
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（3x°+3y°）]
=3x°+3y°
=3（x°+y°），
∴∠AFC=∠AEC，
即：4∠AFC=3∠AEC，

故正确答案为：4∠AFC=3∠AEC.
【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．
18．12
【解析】
如图，∵M、N是线段AB的三等分点，C是BN的中点，
∴AM=MN，CN=CB，
∴AM+CB=MN+CN=MC=6，
∴AB=AM+MN+CN+CB=（AM+CB）+（MN+CN）
解析：12
【解析】
如图，∵M、N是线段AB的三等分点，C是BN的中点，
∴AM=MN，CN=CB，
∴AM+CB=MN+CN=MC=6，
∴AB=AM+MN+CN+CB=（AM+CB）+（MN+CN）=6+6=12（cm）.

19．70或30．
【分析】
分∠A=∠B与∠A+∠B=180°两种情况进行讨论即可求解．
【详解】
解：根据题意，有两种情况：
（1）当∠A=∠B，
可得：x=210﹣2x，
解得：x=70；
（2）当
解析：70或30．
【分析】
分∠A=∠B与∠A+∠B=180°两种情况进行讨论即可求解．
【详解】
解：根据题意，有两种情况：
（1）当∠A=∠B，
可得：x=210﹣2x，
解得：x=70；
（2）当∠A+∠B=180°时，
可得：x+210﹣2x=180，
解得：x=30．
故答案为：70或30．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，在解答此题时要注意分类讨论．
20．60或120
【分析】
根据题意分两种情况，如图所示（见解析），再分别根据平行线的性质即可得．
【详解】
由题意，分以下两种情况：
（1）如图1，，
（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，内错
解析：60或120
【分析】
根据题意分两种情况，如图所示（见解析），再分别根据平行线的性质即可得．
【详解】
由题意，分以下两种情况：
（1）如图1，，
（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，内错角相等）；
（2）如图2，，
（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，同旁内角互补）；
综上，的度数为或，
故答案为：60或120．

【点睛】
本题考查了平行线的性质，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
三、解答题

21．（1）证明见解析；（2）∠F=55°；（3）∠MQN＝∠ACB；理由见解析．
【分析】
（1）首先根据平行线的性质得出∠ACE＝∠A，∠ECD＝∠B，然后通过等量代换即可得出答案；
（2）首先根据角平分线的定义得出∠FCD＝∠ECD，∠HAF＝∠HAD，进而得出∠F＝（∠HAD+∠ECD），然后根据平行线的性质得出∠HAD+∠ECD的度数，进而可得出答案；
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义得出，， ，再通过等量代换即可得出∠MQN＝∠ACB．
【详解】
解：（1）∵CEAB，
∴∠ACE＝∠A，∠ECD＝∠B，
∵∠ACD＝∠ACE+∠ECD，
∴∠ACD＝∠A+∠B；
（2）∵CF平分∠ECD，FA平分∠HAD，
∴∠FCD＝∠ECD，∠HAF＝∠HAD，
∴∠F＝∠HAD+∠ECD＝（∠HAD+∠ECD），
∵CHAB，
∴∠ECD＝∠B，
∵AHBC，
∴∠B+∠HAB＝180°，
∵∠BAD＝70°，
，
∴∠F＝（∠B+∠HAD）＝55°；
（3）∠MQN＝∠ACB，理由如下：
平分，
．
平分，
．
，
．
∴∠MQN＝∠MQG﹣∠NQG
＝180°﹣∠QGR﹣∠NQG
＝180°﹣（∠AQG+∠QGD）
＝180°﹣（180°﹣∠CQG+180°﹣∠QGC）
＝（∠CQG+∠QGC）
＝∠ACB．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
22．（1）80°；（2）①∠APE＝∠α+∠β；②∠APE＝∠β﹣∠α，理由见解析；（3）∠ANE＝（∠α+∠β）
【分析】
（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，由平行线的性质可得∠BPC的度数；
（2）①过点P作FD的平行线，依据平行线的性质可得∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②过P作PQ∥DF，依据平行线的性质可得∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，即可得到∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α；
（3）过P和N分别作FD的平行线，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系为∠ANE＝（∠α+∠β）．
【详解】
解：（1）如图1，过点P作PG∥AB，则PG∥CD，
由平行线的性质可得∠B+∠BPG＝180°，∠C+∠CPG＝180°，
又∵∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，
∴∠BPC＝360°﹣125°﹣155°＝80°，
故答案为：80°；
（2）①如图2，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠α+∠β；理由如下：

作PQ∥DF，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，
∴∠APE＝∠APQ+∠EPQ＝∠β+∠α；
②如图3，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠β﹣∠α；理由如下：
过P作PQ∥DF，

∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，
∴∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α；
（3）如图4，∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系为∠ANE＝（∠α+∠β）．理由如下：

作NQ∥DF，
∵DF∥CG，
∴NQ∥CG，
∴∠DEN＝∠QNE，∠CAN＝∠QNA，
∵EN平分∠DEP，AN平分∠CAP，
∴∠DEN＝∠α，∠CAN＝∠β，
∴∠QNE＝∠α，∠QNA＝∠β，
∴∠ANE＝∠QNE +∠QNA＝∠α+∠β=（∠α+∠β）；
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定和性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得出结论．
23．（1）65°；（2）
【分析】
（1）如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC=60°，∠ADC=70°，参考彤彤思考问题的方法即可求∠BED的度数；
（2）如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC=α，∠ADC=β，参考彤彤思考问题的方法即可求出∠BED的度数．
【详解】
（1）如图1，过点E作EF∥AB，
有∠BEF=∠EBA．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED=∠EDC．
∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC．
即∠BED=∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA=∠ABC=30°，∠EDC=∠ADC=35°，
∴∠BED=∠EBA+∠EDC=65°．
答：∠BED的度数为65°；

（2）如图2，过点E作EF∥AB，
有∠BEF+∠EBA=180°．
∴∠BEF=180°﹣∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC．
∴∠BEF+∠FED=180°﹣∠EBA+∠EDC．
即∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA=∠ABC=，∠EDC=∠ADC=，
∴∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC=180°﹣ +．
答：∠BED的度数为180°﹣ +．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
24．（1）；（2）;（3）
【分析】
（1）过点F作，根据AB∥CD，EF 垂直于FG，∠FGD =125°可计算，，从而求算；
（2）作,交MQ于点K，由（1）知，从而求算，再根据，设，利用外角求出，从而求算;
（3）作交NG于I，连接NP，GP，FP，设 ，则
设 ，则，从而表示，进而寻找数量关系．
【详解】
（1）过点F作，如图：

∵AB∥CD，EF垂直于FG，∠FGD =125°
∴
∴
（2）作,交MQ于点K，如图：

由（1）知：
∴
又∵，设
∴
∴
∴
（3）作交NG于I，连接NP，GP，FP，如图：

设 ，则
设 ，则
又∵
∴
∴
【点睛】
本题考查平行线的性质综合，转化相关的角度是解题关键．
25．（1）详见解析；（2），详见解析；（3）
【分析】
（1）如下图，延长AC，DE相交于点G，利用∠G作为过渡角可证；
（2）如下图，作，可得，推导得出；
（3）如下图，过作，利用平行可得出，再利用得到，从而得出z的值．
【详解】
（1）延长相交于点．

∵，
∴，
∴．
（2）作，则

∵，．
∴，
∴
即．
（3）过作

则．
∵
∴
即
旁证：过作，则．

设，，．
则，，．
∵
∴，．
∴
又∵
∴
∵
∴
【点睛】
本题考查角度的推导，第（3）问的解题关键是通过方程思想和整体思想，计算得出∠2的大小．
26．（1），理由详见解析；（2）135°；（3）等于或时，.
【分析】
（1）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（2）设∠ACE=，则∠BCD=3，依据∠BCD+∠ACE=180°，即可得到∠BCD的度数；
（3）分两种情况讨论，依据平行线的性质，即可得到当∠BCD等于150°或30°时，CE//4B.
【详解】
解：（1），理由如下：
，
；
（2）如图①，设，则，
由（1）可得，
，
，
；
（3）分两种情况：
①如图1所示，当时，，
又，
；

②如图2所示，当时，，
又，
.

综上所述，等于或时，.
【点睛】
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键.