资源描述
一、解答题
1．在平面直角坐标系xOy中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得△MPQ的面积等于1，即S△MPQ＝1，则称点M为线段PQ的“单位面积点”，解答下列问题：
如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（1，0）．
（1）在点A（1，2），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（2，﹣4）中，线段OP的“单位面积点”是 ；
（2）已知点E（0，3），F（0，4），将线段OP沿y轴向上平移t（t＞0）个单位长度，使得线段EF上存在线段OP的“单位面积点”，直接写出t的取值范围 ．
（3）已知点Q（1，﹣2），H（0，﹣1），点M，N是线段PQ的两个“单位面积点”，点M在HQ的延长线上，若S△HMN≥S△PQN，求出点N纵坐标的取值范围．
2．综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线，且是直角三角形，，操作发现：
（1）如图1．若，求的度数；
（2）如图2，若的度数不确定，同学们把直线向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由．
（3）如图3，若∠A=30°，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出与的数量关系并说明理由．
3．已知，．点在上，点在 上．
（1）如图1中，、、的数量关系为： ；（不需要证明）；如图2中，、、的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图 3中，平分，平分，且，求的度数；
（3）如图4中，，平分，平分，且，则的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出么的度数．
4．已知直线，点P为直线、所确定的平面内的一点．
（1）如图1，直接写出、、之间的数量关系 ；
（2）如图2，写出、、之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线上，过点E作，作，点G在直线上，作的平分线交于点H，若，，求的度数．
5．如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．
（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；
（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．
6．如图1，已知直线m∥n，AB 是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA=∠QPB．
（1）如图1，若∠OPQ=82°，求∠OPA的度数；
（2）如图2，若∠AOP=43°，∠BQP=49°，求∠OPA的度数；
（3）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间，四块平面镜构成四边形ABCD，光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为 O→P→Q→R→O→P→…试判断∠OPQ和∠ORQ的数量关系，并说明理由．
7．阅读材料：求值：，
解答：设，
将等式两边同时乘2得：，
将得：，即．
请你类比此方法计算：
．
其中n为正整数
8．对非负实数“四舍五入”到各位的值记为.即:当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：，．
（1）计算： ； ；
（2）①求满足的实数的取值范围，
②求满足的所有非负实数的值；
（3）若关于的方程有正整数解，求非负实数的取值范围．
9．若一个四位数t的前两位数字相同且各位数字均不为0，则称这个数为“前介数”；若把这个数的个位数字放到前三位数字组成的数的前面组成一个新的四位数，则称这个新的四位数为“中介数”；记一个“前介数”t与它的“中介数”的差为P（t）．例如，5536前两位数字相同，所以5536为“前介数”；则6553就为它的“中介数”，P（5536）＝5536﹣6553＝-1017．
（1）P（2215）＝ ，P（6655）＝ ．
（2）求证：任意一个“前介数”t，P（t）一定能被9整除．
（3）若一个千位数字为2的“前介数”t能被6整除，它的“中介数”能被2整除，请求出满足条件的P（t）的最大值．
10．我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（，是正整数，且），在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：．例如：可分解成，或，因为，所以是的最佳分解，所以
（1）填空： ； ；
（2）一个两位正整数（，，，为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为，求出所有的两位正整数；并求的最大值；
（3）填空：
① ；② ；
11．定义：如果，那么称b为n的布谷数，记为.
例如：因为，所以，
因为，
所以.
（1）根据布谷数的定义填空：g（2）=________________,g（32）=___________________.
（2）布谷数有如下运算性质：
若m，n为正整数，则，.
根据运算性质解答下列各题：
①已知，求和的值；
②已知.求和的值.
12．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1），，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．
（2）已知，，则_____；______．
（3），，，……
小数点的变化规律是_______________________．
（4）已知，，则______．
13．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足，过C作轴于B，
（1）求a，b的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得△ABC和△OCP的面积相等，若存在，求出点P坐标，若不存在，试说明理由.
（3）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，图3，
①求：∠CAB＋∠ODB的度数；
②求：∠AED的度数.
14．已知，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点．
（1）如图1所示时，试问，，满足怎样的数量关系?并说明理由．
（2）除了（1）的结论外，试问，，还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明
（3）当满足，且，分别平分和，
①若，则__________°．
②猜想与的数量关系．（直接写出结论）
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，且
（1）求；
（2）若为直线上一点．
①的面积不大于面积的，求P点横坐标x的取值范围；
②请直接写出用含x的式子表示y．
（3）已知点，若的面积为6，请直接写出m的值．
16．请阅读求绝对值不等式和的解的过程．
对于绝对值不等式，从图1的数轴上看：大于而小于的数的绝对值小于，所以的解为；
对于绝对值不等式，从图2的数轴上看：小于或大于的数的绝对值大于，所以的解为或．
（1）求绝对值不等式的解
（2）已知绝对值不等式的解为，求的值
（3）已知关于，的二元一次方程组的解满足，其中是负整数，求的值．
17．在平面直角坐标系中，已知点，，连接，将向下平移6个单位得线段，其中点的对应点为点．
（1）填空：点的坐标为______，线段平移到扫过的面积为______．
（2）若点是轴上的动点，连接．
①如图，当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由．
②当将四边形的面积分成1∶3两部分时，求点的坐标．
18．在平面直角坐标系中，点，满足关系式．
（1）求，的值；
（2）若点满足的面积等于，求的值；
（3）线段与轴交于点，动点从点出发，在轴上以每秒个单位长度的速度向下运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，问为何值时有，请直接写出的值．
19．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究．
（1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为3：2，面积为30，请求出该长方形纸片的长和宽；
（2）小葵在长方形内画出边长为a，b的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，间小葵的判断正确吗？请说明理由．
20．如图，已知和的度数满足方程组，且.
(1)分别求和的度数；
(2)请判断与的位置关系，并说明理由；
(3)求的度数．
21．新定义，若关于，的二元一次方程组①的解是，关于，的二元一次方程组②的解是，且满足，，则称方程组②的解是方程组①的模糊解．关于，的二元一次方程组的解是方程组的模糊解，则的取值范围是________．
22．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(a，0)，B(b，0)，且a，b满足|a＋b﹣2|＋＝0，现同时将点A，B分别向右平移1个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A，B的对应点为C，D．
（1）请直接写出A、B、C、D四点的坐标．
（2）点E在坐标轴上，且S△BCE＝S四边形ABDC，求满足条件的点E的坐标．
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在线段BD上移动时（不与B，D重合）求：的值．
23．某小区准备新建个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建个地上停车位和个地下停车位共需万元：新建个地上停车位和个地下停车位共需万元，
（1）该小区新建个地上停车位和个地下停车位各需多少万元?
（2）若该小区新建车位的投资金额超过万元而不超过万元，问共有几种建造方案?
（3）对（2）中的几种建造方案中，哪种方案的投资最少?并求出最少投资金额.
24．阅读材料：
如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x] ．
例如，[3.2]=3，[5]=5，[－2.1]=－3．
那么，x=[x]+a，其中0≤a＜1．
例如，3.2=[3.2]+0.2，5=[5]+0，－2.1=[－2.1]+0.9．
请你解决下列问题：
（1）[4.8]= ，[－6.5]= ；
（2）如果[x]=3，那么x的取值范围是 ；
（3）如果[5x－2]=3x+1，那么x的值是 ；
（4）如果x=[x]+a，其中0≤a＜1，且4a= [x]+1，求x的值．
25．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b）．如果存在点N（a′，b′），满足a′＝|a＋b|，b′＝|a﹣b|，则称点N为点M的“控变点”．
（1）点A（﹣1，2）的“控变点”B的坐标为 ；
（2）已知点C（m，﹣1）的“控变点”D的坐标为（4，n），求m，n的值；
（3）长方形EFGH的顶点坐标分别为（1，1），（5，1），（5，4），（1，4）．如果点P（x，﹣2x）的“控变点”Q在长方形EFGH的内部，直接写出x的取值范围．
26．对、定义了一种新运算T，规定（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，
已知，．
（1）求，的值；
（2）求．
（3）若关于的不等式组恰好有4个整数解，求的取值范围．
27．对于三个数，，，表示，，这三个数的平均数，表示，，这三个数中最小的数，如：
，；
，．
解决下列问题：
（1）填空：______；
（2）若，求的取值范围；
（3）①若，那么______；
②根据①，你发现结论“若，那么______”（填，，大小关系）；
③运用②解决问题：若，求的值．
28．如图，已知，，且满足.
（1）求、两点的坐标；
（2）点在线段上，、满足，点在轴负半轴上，连交轴的负半轴于点，且，求点的坐标；
（3）平移直线，交轴正半轴于，交轴于，为直线上第三象限内的点，过作轴于，若，且，求点的坐标.
29．某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨．
（1）1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？
（2）若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载．
①请帮柑橘园设计租车方案；
②若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
30．规定:二元一次方程有无数组解，每组解记为,称为亮点，将这些亮点连接得到一条直线，称这条直线是亮点的隐线，答下列问题：
(1) 已知，则是隐线的亮点的是 ;
(2) 设是隐线的两个亮点，求方程中的最小的正整数解;
(3)已知是实数， 且,若是隐线的一个亮点，求隐线中的最大值和最小值的和.
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一、解答题
1．（1），；（2）或；（3）见解析
【分析】
（1）分别根据三角形的面积计算△OPA，△DPB，△DPC，△OPD的面积即可；
（2）分线段OP在线段EF下方和线段OP在线段EF上方分别求解；
（3）画出图形，根据S△PQN=1，得到S△HMN≥，分当xN=0时，当xN=2时，分别结合S△HMN≥，得到不等式，求出N点纵坐标的范围．
【详解】
解：（1）S△OPA=，则点A是线段OP的“单位面积点”，
S△OPB=，则点B不是线段OP的“单位面积点”，
S△OPC=，则点C是线段OP的“单位面积点”，
S△OPD=，则点D不是线段OP的“单位面积点”，
（2）设点G是线段OP的“单位面积点”，则S△OPG=1，
∵点E的坐标为（0，3），点F的坐标为（0，4），且点G在线段EF上，
∴点G的横坐标为0，
∵S△OPG=1，线段OP为y轴向上平移t（t＞0）个单位长度，
当为单位面积点时，
当为单位面积点时，
综上所述：1≤t≤2或5≤t≤6；
（3）∵M，N是线段PQ的两个单位面积点，
∴S△PQM=1，S△PQN=1，
∵P（1，0），Q（1，-2），
∴PQ=2，
∴M，N的横坐标为0或2，
∵点M在HQ的延长线上，
∴点M的横坐标为xM=2，
∵S△HMN≥S△PQN，
∴S△HMN≥，
当xN=0时，S△HMN=，
则，
∴或；
当xN=2时，S△HMN=，
则，
∴或．
【点睛】
本题主要考查三角形的面积公式，并且能够理解单位面积点的定义，解题关键是找到单位面积点的轨迹进行求解．
2．（1）42°；（2）见解析；（3）∠1=∠2，理由见解析
【分析】
（1）由平角定义求出∠3=42°，再由平行线的性质即可得出答案；
（2）过点B作BD∥a．由平行线的性质得∠2+∠ABD=180°，∠1=∠DBC，则∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1，进而得出结论；
（3）过点C 作CP∥a，由角平分线定义得∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°，由平行线的性质得∠1=∠BAM=60°，∠PCA=∠CAM=30°，∠2=∠BCP=60°，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵∠1=48°，∠BCA=90°，
∴∠3=180°-∠BCA-∠1=180°-90°-48°=42°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=42°；
（2）理由如下：
过点B作BD∥a．如图2所示：
则∠2+∠ABD=180°，
∵a∥b，
∴b∥BD，
∴∠1=∠DBC，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1，
∴∠2+60°-∠1=180°，
∴∠2-∠1=120°；
（3）∠1=∠2，理由如下：
过点C 作CP∥a，如图3所示：
∵AC平分∠BAM
∴∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°，
又∵a∥b，
∴CP∥b，∠1=∠BAM=60°，
∴∠PCA=∠CAM=30°，
∴∠BCP=∠BCA-∠PCA=90°-30°=60°，
又∵CP∥a，
∴∠2=∠BCP=60°，
∴∠1=∠2．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线定义、平角的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平移的性质和平行线的性质是解题的关键．
3．（1）∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）120°（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
【分析】
（1）过E作EHAB，易得EHABCD，根据平行线的性质可求解；过F作FHAB，易得FHABCD，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME＋∠END）＋∠BMF−∠FND＝180°，可求解∠BMF＝60°，进而可求解；
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ＝∠BME，进而可求解．
【详解】
解：（1）过E作EHAB，如图1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵ABCD，
∴HECD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN−∠END．
如图2，过F作FHAB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵ABCD，
∴FHCD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK−∠KFN＝∠BMF−∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF−∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF−∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF−∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，
∵EQNP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN−∠NEQ＝（∠BME＋∠END）−∠END＝∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝×60°＝30°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作辅助线是解题的关键．
4．（1）∠A+∠C+∠APC=360°；（2）见解析；（3）55°
【分析】
（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补，即可证得∠A+∠C+∠APC=360°；
（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可证得∠APC=∠A+∠C；
（3）由（2）知，∠APC=∠PAB-∠PCD，先证∠BEF=∠PQB=110°、∠PEG=∠FEG，∠GEH=∠BEG，根据∠PEH=∠PEG-∠GEH可得答案．
【详解】
解：（1）∠A+∠C+∠APC=360°
如图1所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A+∠APQ=180°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ=180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ=360°，即∠A+∠C+∠APC=360°；
（2）∠APC=∠A+∠C，
如图2，作PQ∥AB，
∴∠A=∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C=∠CPQ，
∵∠APC=∠APQ-∠CPQ，
∴∠APC=∠A-∠C；
（3）由（2）知，∠APC=∠PAB-∠PCD，
∵∠APC=30°，∠PAB=140°，
∴∠PCD=110°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB=∠PCD=110°，
∵EF∥BC，
∴∠BEF=∠PQB=110°，
∵EF∥BC，
∴∠BEF=∠PQB=110°，
∵∠PEG=∠PEF，
∴∠PEG=∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH=∠BEG，
∴∠PEH=∠PEG-∠GEH
=∠FEG-∠BEG
=∠BEF
=55°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
5．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°．
【分析】
（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；
（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；
（3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．
【详解】
解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，
∵MN∥PQ，AD∥MN，
∴AD∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，
即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，∵CD∥AB，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，
∵∠ECM+∠ECN＝180°，
∵∠ECN＝∠CAB
∴∠ECM＝∠ACD，
即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠MCA＝∠DCE；
（3）∵AF∥CG，
∴∠GCA+∠FAC＝180°，
∵∠CAB＝60°
即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，
∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，
由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，
∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，
∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，
又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，
∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，
∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，
∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，
∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA
＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF
＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF
＝120°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键．
6．（1）49°，（2）44°，（3）∠OPQ=∠ORQ
【分析】
（1）根据∠OPA=∠QPB．可求出∠OPA的度数；
（2）由∠AOP=43°，∠BQP=49°可求出∠OPQ的度数，转化为（1）来解决问题；
（3）由（2）推理可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP，∠ORQ=∠DOR+∠RQC，从而∠OPQ=∠ORQ．
【详解】
解：（1）∵∠OPA=∠QPB，∠OPQ=82°，
∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×=（180°-82°）×=49°，
（2）作PC∥m，
∵m∥n，
∴m∥PC∥n，
∴∠AOP=∠OPC=43°，
∠BQP=∠QPC=49°，
∴∠OPQ=∠OPC+∠QPC=43°+49°=92°，
∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×=（180°-92°）×44°，
（3）∠OPQ=∠ORQ．
理由如下：由（2）可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP，∠ORQ=∠DOR+∠RQC，
∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，
∴∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠RQC，
∴∠OPQ=∠ORQ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定，解决本题的关键是注意问题的设置环环相扣、前为后用的设置目的．
7．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
设，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；
同理即可得到所求式子的值．
【详解】
解：设，
将等式两边同时乘2得：，
将下式减去上式得：，即，
则；
设，
两边同时乘3得：，
得：，即，
则．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题．
8．（1）2，3 （2）①② （3）
【分析】
（1）根据新定义的运算规则进行计算即可；
（2）①根据新定义的运算规则即可求出实数的取值范围；②根据新定义的运算规则和为整数，即可求出所有非负实数的值；
（3）先解方程求得，再根据方程的解是正整数解，即可求出非负实数的取值范围．
【详解】
（1）2；3；
（2）①∵
∴
解得；
②∵
∴
解得
∵为整数
∴
故所有非负实数的值有；
（3）
∵方程的解为正整数
∴或2
①当时，是方程的增根，舍去
②当时，．
【点睛】
本题考查了新定义下的运算问题，掌握新定义下的运算规则是解题的关键．
9．（1）-3006，990；（2）见解析；（3）P（t）的最大值是P（2262）=36．
【分析】
（1）根据“前介数”t与它的“中介数”的差为P（t）的定义求解即可；
（2）设“前介数”为且a、b、c均不为0的整数，即1a、b、c，根据定义得到P（t）=，则P（t）一定能被9整除；
（3）设“前介数”为，根据题意得到能被3整除，且b只能取2，4，6，8中的其中一个数；对应的“中介数”是，得到a只能取2，4，6，8中的其中一个数，计算P（t），推出要求P（t）的最大值，即要尽量的大，要尽量的小，再分类讨论即可求解．
【详解】
（1）解：2215是“前介数”，其对应的“中介数”是5221，
∴P（2215）=2215-5221=-3006；
6655是“前介数”，其对应的“中介数”是5665，
∴P（6655）=6655-5665=990；
故答案为：-3006，990；
（2）证明：设“前介数”为且a、b、c均为不为0的整数，即1a、b、c，
∴，
又对应的“中介数”是，
∴P（t）=
，
∵a、b、c均不为0的整数，
∴为整数，
∴P（t）一定能被9整除；
（3）证明：设“前介数”为且即1a、b，a、b均为不为0的整数，
∴，
∵能被6整除，
∴能被2整除，也能被3整除，
∴为偶数，且能被3整除，
又1，
∴b只能取2，4，6，8中的其中一个数，
又对应的“中介数”是，
且该“中介数”能被2整除，
∴为偶数，
又1，
∴a只能取2，4，6，8中的其中一个数，
∴P（t）=
，
要求P（t）的最大值，即要尽量的大，要尽量的小，
①的最大值为8，的最小值为2，但此时，
且14不能被3整除，不符合题意，舍去；
②的最大值为6，的最小值仍为2，但此时，能被3整除，
且P（t）=2262-2226=36；
③的最大值仍为8，的最小值为4，但此时，
且16不能被3整除，不符合题意，舍去；
其他情况，减少，增大，则P（t）减少，
∴满足条件的P（t）的最大值是P（2262）=36．
【点睛】
本题考查用新定义解题，根据新定义，表示出“前介数”，与其对应的“中介数”是求解本题的关键．本题中运用到的分类讨论思想是重要一种数学解题思想方法．
10．（1），1；（2）两位正整数为39，28，17，的最大值为；（3）①；②
【分析】
（1）仿照样例进行计算即可；
（2）由题设可以看出交换前原数的十位上数字为a，个位上数字为b，则原数可以表示为，交换后十位上数字为b，个位上数字为a，则交换后数字可以表示为，根据“交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54”确定出a与b的关系式，进而求出所有的两位数，然后求解确定出的最大值即可；
（3）根据样例分解计算即可．
【详解】
解：（1）
∵，
∴；
∵，
∴，
故答案为：；1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：
，
∴，
∵，
∴或或，
∴t为39，28，17；
∵39＝1×39＝3×13，
∴；
28＝1×28＝2×14＝4×7，
∴＝；
17＝1×17，
∴；
∴的最大值．
（3）①∵
∴；
②
∴；
故答案为：；
【点睛】
本题主要考查了有理数的运算，理解最佳分解的定义，并将其转化为有理数的运算是解题的关键．
11．（1）1；5；（2）①3.807，0.807；②；.
【分析】
（1）根据布谷数的定义把2和32化为底数为2的幂即可得出答案；
（2）①根据布谷数的运算性质, g（14）=g（2×7）=g（2）+g（7），，再代入数值可得解；
②根据布谷数的运算性质, 先将两式化为，，再代入求解.
【详解】
解：（1）g（2）=g（21）=1，
g（32）=g（25）=5；
故答案为1，32；
（2）①g（14）=g（2×7）=g（2）+g（7），
∵g（7）=2.807，g（2）=1，
∴g（14）=3.807；
g（4）=g（22）=2，
∴=g（7）-g（4）=2.807-2=0.807；
故答案为3.807，0.807；
②∵.
∴；
.
【点睛】
本题考查有理数的乘方运算，新定义；能够将新定义的运算转化为有理数的乘方运算是解题的关键．
12．（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01
【分析】
（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；
（2）利用得出的规律计算即可得到结果；
（3）归纳总结得到规律，写出即可；
（4）利用得出的规律计算即可得到结果．
【详解】
解：（1），，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．
故答案为：两；右；一；
（2）已知，，则；；
故答案为：12.25；0.3873；
（3），，，……
小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；
（4）∵，，
∴，
∴，
∴y=-0.01．
【点睛】
此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．
13．（1）a=-2，b=2；（2）P（0，-4）或（0，4）；（3）①∠CAB＋∠ODB=90°；②∠AED=45°.
【分析】
（1）根据非负数的性质即可求得a、b的值；（2）先求得S△ABC=4，设P（0，t），根据S△OPC=OP×2=× ×2=4求得t值，即可求得点P的坐标；（3）①已知BD∥AC，根据两直线平行，内错角相等可得∠CAB=∠OBD，由∠OBD＋∠ODB=90°，即可得∠CAB＋∠ODB=90°；②根据角平分线的定义及①中的结论，可求得∠3+∠4=45°；过点E作EF∥AC，即可得EF∥BD∥AC，根据平行线的性质可得∠3=∠1，∠2=∠4，由此求得∠AED=∠1+∠2=∠4+∠3=45°.
【详解】
（1）∵，
∴a+2=0，b-2=0，
∴a=-2，b=2；
（2）∵a=-2，b=2，
∴A（-2，0），C（2，2），
∴S△ABC= AB•BC=×4×2=4；
设P（0，t），
∴S△OPC=OP×2=× ×2==4；
∴t=4或t=-4，
∴P（0，-4）或（0，4）．
（3）①∵BD∥AC，
∴∠CAB=∠OBD，
∵∠OBD＋∠ODB=90°，
∴∠CAB＋∠ODB=90°；
②∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠3=,∠4=,
∵∠CAB＋∠ODB=90°，
∴∠3+∠4=+=45°，
过点E作EF∥AC，
∵BD∥AC，
∴EF∥BD∥AC，
∴∠3=∠1，∠2=∠4，
∴∠AED=∠1+∠2=∠4+∠3=45°.
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，熟知非负数的性质、三角形的面积公式及平行线的性质是解决问题的关键．
14．（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF；（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①150°或30；②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF
【分析】
（1）由于点是平行线，之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论：如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为：；
（2）当点在的右侧时，，，满足数量关系为：；
（3）①若当点在的左侧时，；当点在的右侧时，可求得；
②结合①可得，由，得出；可得，由，得出．
【详解】
解：（1）如图1，过点作，
，
，
，
，
，
；
（2）如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为：；
过点作，
，
，
，
，
，
；
（3）①如图3，若当点在的左侧时，
，
，
，分别平分和，
，，
；
如图4，当点在的右侧时，
，
，
；
故答案为：或30；
②由①可知：，
；
，
．
综合以上可得与的数量关系为：或．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键．
15．（1）4；（2）①或；②；（3）或．
【分析】
（1）先根据偶次方和绝对值的非负性求出的值，从而可得点的坐标和的长，再利用直角三角形的面积公式即可得；
（2）①分和两种情况，先分别求出和的面积，再根据已知条件建立不等式，解不等式即可得；
②分和两种情况，利用、和的面积关系建立等式，化简即可得；
（3）过点作轴的平行线，交直线于点，从而可得，再分、和三种情况，分别利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得．
【详解】
解：（1）由题意得：，
解得，
，
，
轴轴，
；
（2）①的面积不大于面积的，
的面积小于的面积，
则分以下两种情况：
如图，当时，
则，，
因此有，
解得，
此时的取值范围为；
如图，当时，
则，，
因此有，
解得，
此时的取值范围为，
综上，点横坐标的取值范围为或；
②当时，则，，
由（2）①可知，，
则，
即；
如图，当时，则，
，，
，
，
解得，
综上，；
（3）过点作轴的平行线，交直线于点，
由（2）②可知，，
则，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当时，
则，
，
解得，不符题设，舍去；
②如图，当时，
则，
，
解得或（不符题设，舍去）；
③如图，当时，
则，
，
解得，符合题设，
综上，的值为或．
【点睛】
本题考查了偶次方和绝对值的非负性、坐标与图形等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键．
16．（1）x＞5或x＜1；（2）9；（3）m=-3或m=-2或m=-1
【分析】
（1）由绝对值的几何意义即可得出答案；
（2）由知，据此得出，再结合可得出关于、的方程组，解之即可求出、的值，从而得出答案；
（3）两个方程相加化简得出，由知，据此得出，解之求出的取值范围，继而可得答案．
【详解】
解：（1）根据绝对值的定义得：或，
解得或；
（2），
，
解得，
解集为，
，
解得，
则；
（3）两个方程相加，得：，
，
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