工程力学习题廖明成整理版.doc

第十章 简朴超静定习 题10.1 对于图示各平面结构，若载荷作用在结构平面内，试：(1) 判断它为几次超静定结构；(2)列出相应的变形协调条件。F F(a) (b)F q(c) (d)q q(e) (f)q q(g) (h)题10.1图 图一 图二 图三解：（a）由图可看出，此为不稳定结构，此结构在水平方向少了一个约束力，在竖直方向多了一个约束力（b）由图可看出，第二根铰链与第三根铰链有交点，所以这是个静定结构。无多余约束 （c）由图可知，此为不稳定结构，此结构在水平方向少了一个约束力 （d）由图可看出，此结构为一次超静定结构。在支座B处多了一个水平约束，（图一）但在均布载荷q的作用下，水平约束的支反力F=0，即变形协调条件为F=0 （e）由图可看出，此结构为一次超静定结构，多了一个垂直约束，（图二），再此约束情况下，有变形协调条件均布载荷载在B处引起的挠度等于支座B产生的支反力引起的变形，即 （f）由图可看出，此为不稳定结构，此结构在垂直方向少了一个约束力 （g）由图可看出，此结构是悬臂梁加根链杆移铰支座构成，所以这是个静定结构。无多余约束 （h）由图可看出，此结构为一次超静定结构，在支座B处多了一水平约束，（图三）但在均布载荷q的作用下，水平约束的支反力F=0，即变形协调条件为F=010.2 如图所示受一对力F作用的等直杆件两端固定，已知拉压刚度EA。试求A端和B端的约束力。 FFEA题10.2图解：杆件AB为对称的受力结构，设A、B端的受力为，。且有 对AC段进行考虑，（受拉） 对CD段进行考虑，（受压） 由变形协调方程 得： 即：A、B端的受力均为（拉力）10.3 图示结构，AD为刚性杆，已知F40 kN，1、2杆材料和横截面积相同，且E1=E2=E=200 GPa，A1=A2=A=1 cm2，a=2 m，l1.5 m。试求1、2两杆的应力。 题10.3图解：设1、2杆的受力分别为，变形为、 由于杆AD为刚性杆，其变形如图所示有平衡方程 得： （1） 其变形协调方程： =2 （2）又有 联立方程（1）、（2）得： 有公式 得： = 10.4 图示为一个套有铜套的钢螺栓。已知螺栓的横截面积A1=600 m2,弹性模量E1=200 GPa；铜套的横截面积A2=1200 m2,弹性模量E1=100 GPa。螺栓的长度l=750 mm，螺距s=3 mm。设初始状态下钢螺栓和铜套刚好不受力，试就下述三种情况求螺栓及套筒的轴力和：（1）螺母拧紧1/4圈；（2）螺母拧紧1/4圈，再在螺栓两端加拉力F=80kN；（3）由初始状态温度上升。设钢的线膨胀系数，铜的线膨胀系数铜l钢 题10.4图解：（1）把螺母旋进1/4圈，必然会使螺栓手拉而套筒受压。如将螺栓及套筒切开，容易写出平衡方程现在寻求变形协调方程。设想把螺栓及套筒切开，当螺母旋进1/4圈时，螺母前进的距离为s/4。这时如再把套筒装上去就必须把螺栓拉长，而把套筒压短，这样两者才干配合在一起。设两者最后在某一位置上取得协调，则变形之间的关系为式中和皆为绝对值。钢螺栓的抗拉强度为E1 A1 ，套筒的抗压刚度为E2 A2，由胡克定律， 于是有 可解出 （2）先把螺母旋进1/4圈，则螺栓与套筒的轴力为再在螺栓两端加拉力F=80kN后， 螺栓的轴力（受拉）套筒的轴力为0KN（3） 先写出平衡方程 温度上升后变形条件为 由胡克定律， 联立上面的式子有10.5 如图所示结构，其中杆AC为刚性杆，杆1，2，3的弹性模量、横截面面积 和长度均相同，点C作用垂直向下的力。试求各杆内力值。 题10.5图解：杆ABC的受力图如图所示，平衡条件为 （1） （2）变形的几何关系如图所示，变形协调方程为 （3）运用胡克定律将（3）式变为 （4）联立（1）、（2）、（4）式，解得 10.6 试求图示结构的许可载荷。已知杆AD，CE，BF的横截面面积均为A，杆材料的许用应力为，梁AB可视为刚体。AFDF1232llBCE题10.6图解：这是一次超静定问题，梁的受力图如图所示其静力学平衡条件为 （1） （2）变形协调条件为 （3）运用胡克定律，可得各杆的伸长 代入（3）式的补充方程 （4）联立（1）、（2）、（4）式，解得各杆内力 由杆1或杆2的强度条件得 由杆3 的强度条件得 比较和，所以结构的许可载荷为10.7 图示结构中，ABC为刚性梁，已知，杆1和杆2的直径分别为，两杆的弹性模量均为。试求1、2两杆的内力。22 m ABC1m1mF2 m12 m 题10.7图解：这是一次超静定问题，梁的受力图如图所示其静力学平衡条件为 （1）变形协调条件为 （2）运用胡克定律，可得各杆的变形 （3） （4）联立（2）、（3）、（4）有 再联立（1）有 10.8 刚杆AB悬挂于1、2两杆上，1杆的横截面积为60 mm2，2杆为120 mm2，且两杆材料相同。若F6 kN，试求两杆的轴力及支座A的反力。1 m1 m1 mABF2 m12题10.8图解：杆1和杆2的受力图如图所示，这是一次超静定问题，可运用的平衡方程只有一个 （1）变形协调方程为 （2）解（1）、（2）式，得 由平衡条件 得 10.9 水平刚性横梁AB上部由杆1和杆2悬挂，下部由铰支座C支撑，如图所示。由于制造误差，杆1的长度短了 mm。已知两杆的材料和横截面积均相同，且，。试求装配后两杆的应力。A451.5 m11m2m2BC题10.9图解：设1杆伸长则2杆伸长 满足：代入得10.10 图示阶梯状杆，左端固定，右端与刚性平面相距 mm。已知左右两段杆的横截面积分别为600 mm2和300 mm2，材料的弹性模量 GPa，试求左右两段杆的内力。CAB3 mF=60 kN3 m题10.10图解：这是一次超静定问题，受力图如图所示，其静力学平衡方程为 （1）变形协调方程为 （2）运用胡克定律，可得各段杆的变形 代入（2），的补充方程 （3）联立（1）、（3），解得 10.11 两端固定的阶梯状杆如图所示。已知左右两段杆的横截面积分别为A和2A，材料的弹性模量GPa，线膨胀系数。试求温度升高30时左右两段杆的应力。CABll 题10.11图解：阶梯状的受力图，如图所示，静力学平衡条件为 （1）变形协调方程为 （2）运用胡克定律，可得各段杆的变形 连同温度变形 一并代入（2），得补充方程 （3）联立（1）、（3）得所以杆内各段的应力10.12 如图所示两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩。已知左右两段轴的直径分别为和，设，材料的切变模量为。试求两固定端处的支反力偶矩MA和MB。MeCABl2l题10.12图解：此为一次超静定问题，阶梯轴的受力图，如图所示，其静力平衡条件为 （1）因端面A和B均被固定，所以端面A相对截面C与端面B相对截面C的扭转角相同，即 （2）端面A，B相对于截面C的扭转角分别为 （3） （4）解上面四个式子可得固定段的支反力偶矩 10.13 图示一两端固定的钢圆轴，直径 mm，轴在截面C处受一外力偶矩。已知钢的切变模量=80 GPa。试求截面C两侧横截面上的最大切应力和截面C的扭转角。MeCAB0.5 m1 m题10.13图解：此为一次超静定问题，圆轴的受力图，如图所示，其静力平衡条件为 因端面A和B均被固定，所以端面A相对截面C与端面B相对截面C的扭转角相同，即 并且有 联立上面的式子有 所以截面C左侧圆轴横截面上的最大切应力所以截面C右侧圆轴横截面上的最大切应力截面C的扭转角10.14 一空心圆管A套在实心圆杆B的一端，如图所示。两杆在同一截面处各有一个直径相同的贯穿小孔，但两孔的中心线成一个角。现在杆B上施加外力偶使杆B扭转，以使两孔对准，并穿过孔装上销钉。在装上销钉后，卸除施加在杆B上的外力偶。试求管A和杆B横截面上的扭矩。设管A和杆B的材料相同，切变模量为，极惯性矩分别为和。AlAlBB题10.14解：先对实心圆杆B施加一外力偶矩并使其截面C相对截面E转过角，当套A和杆B上的孔对准重合后，装上销钉，然后取出外力偶矩，这时杆B产生回弹，并带动套A的截面C相对截面D转过一个角，杆B回弹后，其截面C相对截面E的实际转角为，并且有 （1）达成平衡状态时的受力图如图所示，其静力平衡条件为 （2）将 代入（1）后与（2）联立，可解得10.15 试求图示AB梁B截面的挠度。设AB梁各截面的抗弯刚度均为EI，BC杆的抗拉刚度为EA。2aqaABC题10.15图解：这是一次超静定问题，解除拉杆对梁的约束，代之以轴力，如图所示，变形协调条件是在梁的均布载荷q和轴力的作用下，梁在B点的挠度等于拉杆的伸长，即 应用叠加原理有所以有10.16 求图示超静定梁的两端反力。设固定端沿梁轴线的反力可以省略。FAabBAaBq （a） （b）题10.16图解：（a）图示为二次超静定结构，因结构和载荷均对称，从中间把梁切开，（图）截面上的反对称内力即剪力必为零，只有弯矩，问题简化为一次超静定。因对称截面的转角为零，所以正则方程为 （1） 运用图乘法（图）求系数和常数 （2） （3）将（2）、（3）入上述正则方程（1）式得根据平衡条件求约束反力， （逆时针） （向上）有对称性可求得（顺时针） （向上）（b）如图所示，图示为二次超静定结构，解除B端约束代之以反力，静定基如（图）所示。 正则方程为运用图乘法（图）求系数和常数将后面五个式子代入正则方程组有 （向上） （顺时针）由静力平衡方程可求得（向上） （逆时针）10.17 直梁在承受载荷前搁置在支座、上，梁与支座间有一间隙。在加上均布载荷后，梁就发生变形而在中点处与支座接触。如要使三个支座的约束反力相等，则应为多大?设梁的刚度为已知。qABC题10.17图解:解除图所示梁的约束，代之以支座反力，其受力图，如图所示，因规定支座A，B，C三处约束力相等，所以应有因变形后，B的垂直位移为，故有查梁挠度的公式。可得解上式 10.18 梁两端铰支，中点处为弹簧支承。若弹簧刚度，且已知，均布载荷，试求弹簧的支反力。qACBbh题10.18图解：这是一次超静定问题，梁的中点挠度等于弹簧被压缩高度，即相应于被压缩高度，弹簧受压力查挠度表有 又 有 即 10.19 为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短梁CD加固。设二梁EI相同，试求加固后AB梁B截面的挠度。ADFBC2ll 题10.19图解：将题给的图从D拆开，提成二个独立的悬臂梁，如图所示，由于二梁接触处的垂直位移相同，所以有运用所提供的梁挠度公式，得解上式，并注意到，得二梁接触处的压力 所以加固后B点的挠度为 10.20 图示悬臂梁的自由端恰好与光滑斜面接触。若温度升高，试求梁内最大弯矩。设该梁的弯曲刚度EI、横截面积A及线膨胀系数均为已知，且梁的自重以及轴力对弯曲的影响皆可略去不计。ABl45题10.20图解：这是一个一次超静定问题，因温度的提高，梁伸长。它是斜面反力和温升引起的膨胀共同作用的结果，由图得几何关系约束分力的两个正交分量 有最后两式有 截面A为最大弯矩