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第十章 简朴超静定
习 题
10.1 对于图示各平面结构，若载荷作用在结构平面内，试：(1) 判断它为几次超静定结构；(2)列出相应的变形协调条件。
F

F

(a) (b)
F

q

(c) (d)
q

q

(e) (f)

q
q

(g) (h)
题10.1图

图一 图二 图三
解：（a）由图可看出，此为不稳定结构，此结构在水平方向少了一个约束力，在竖直方向多了一个约束力

（b）由图可看出，第二根铰链与第三根铰链有交点，所以这是个静定结构。无多余约束

（c）由图可知，此为不稳定结构，此结构在水平方向少了一个约束力

（d）由图可看出，此结构为一次超静定结构。在支座B处多了一个水平约束，（图一）但在均布载荷q的作用下，水平约束的支反力F=0，即变形协调条件为F=0

（e）由图可看出，此结构为一次超静定结构，多了一个垂直约束，（图二），再此约束情况下，有变形协调条件均布载荷载在B处引起的挠度等于支座B产生的支反力引起的变形，即

（f）由图可看出，此为不稳定结构，此结构在垂直方向少了一个约束力

（g）由图可看出，此结构是悬臂梁加根链杆移铰支座构成，所以这是个静定结构。无多余约束

（h）由图可看出，此结构为一次超静定结构，在支座B处多了一水平约束，（图三）但在均布载荷q的作用下，水平约束的支反力F=0，即变形协调条件为F=0

10.2 如图所示受一对力F作用的等直杆件两端固定，已知拉压刚度EA。试求A端和B端的约束力。
F

α
α
α
F

EA

题10.2图
解：杆件AB为对称的受力结构，设A、B端的受力为，。且有

对AC段进行考虑，（受拉）
对CD段进行考虑，（受压）
由变形协调方程 得：

即：A、B端的受力均为（拉力）

10.3 图示结构，AD为刚性杆，已知F＝40 kN，1、2杆材料和横截面积相同，且E1=E2=E=200 GPa，A1=A2=A=1 cm2，a=2 m，l＝1.5 m。试求1、2两杆的应力。

题10.3图

解：设1、2杆的受力分别为，，变形为、 由于杆AD为刚性杆，其变形如图所示
有平衡方程 得： （1）
其变形协调方程： =2 （2）
又有
联立方程（1）、（2）得：

有公式 得：
==

10.4 图示为一个套有铜套的钢螺栓。已知螺栓的横截面积A1=600 m2,弹性模量E1=200 GPa；铜套的横截面积A2=1200 m2,弹性模量E1=100 GPa。螺栓的长度l=750 mm，螺距s=3 mm。设初始状态下钢螺栓和铜套刚好不受力，试就下述三种情况求螺栓及套筒的轴力和：
（1）螺母拧紧1/4圈；
（2）螺母拧紧1/4圈，再在螺栓两端加拉力F=80kN；
（3）由初始状态温度上升。设钢的线膨胀系数，铜的线膨胀系数
铜
l
钢

题10.4图

解：（1）把螺母旋进1/4圈，必然会使螺栓手拉而套筒受压。如将螺栓及套筒切开，容易写出平衡方程

现在寻求变形协调方程。设想把螺栓及套筒切开，当螺母旋进1/4圈时，螺母前进的距离为s/4。这时如再把套筒装上去就必须把螺栓拉长，而把套筒压短，这样两者才干配合在一起。设两者最后在某一位置上取得协调，则变形之间的关系为
式中和皆为绝对值。钢螺栓的抗拉强度为E1 A1 ，套筒的抗压刚度为E2 A2，由胡克定律
，
于是有
可解出

（2）先把螺母旋进1/4圈，则螺栓与套筒的轴力为
再在螺栓两端加拉力F=80kN后， 螺栓的轴力（受拉）
套筒的轴力为0KN

（3） 先写出平衡方程
温度上升后变形条件为

由胡克定律
，
联立上面的式子有

10.5 如图所示结构，其中杆AC为刚性杆，杆1，2，3的弹性模量、横截面面积 和长度均相同，点C作用垂直向下的力。试求各杆内力值。

题10.5图

解：杆ABC的受力图如图所示，平衡条件为
（1）
（2）
变形的几何关系如图所示，变形协调方程为
（3）
运用胡克定律将（3）式变为 （4）
联立（1）、（2）、（4）式，解得

10.6 试求图示结构的许可载荷。已知杆AD，CE，BF的横截面面积均为A，杆材料的许用应力为，梁AB可视为刚体。
A
F

D
F
α
α
1
2
3
2l
l
B
C
E

题10.6图
解：这是一次超静定问题，梁的受力图如图所示
其静力学平衡条件为
（1）
（2）
变形协调条件为
（3）
运用胡克定律，可得各杆的伸长

代入（3）式的补充方程 （4）
联立（1）、（2）、（4）式，解得各杆内力

由杆1或杆2的强度条件

得
由杆3 的强度条件

得

比较和，所以结构的许可载荷为

10.7 图示结构中，ABC为刚性梁，已知，杆1和杆2的直径分别为，，两杆的弹性模量均为。试求1、2两杆的内力。

2
2 m

A
B
C
1
m
1
m
F
2
m
1
2 m

题10.7图

解：这是一次超静定问题，梁的受力图如图所示
其静力学平衡条件为
（1）
变形协调条件为
（2）
运用胡克定律，可得各杆的变形
（3）
（4）
联立（2）、（3）、（4）有
再联立（1）有

10.8 刚杆AB悬挂于1、2两杆上，1杆的横截面积为60 mm2，2杆为120 mm2，且两杆材料相同。若F＝6 kN，试求两杆的轴力及支座A的反力。
1 m
1 m
1 m
A
B
F

2 m
1
2

题10.8图
解：杆1和杆2的受力图如图所示，
这是一次超静定问题，可运用的平衡方程只有一个
（1）
变形协调方程为 （2）
解（1）、（2）式，得
由平衡条件
得

10.9 水平刚性横梁AB上部由杆1和杆2悬挂，下部由铰支座C支撑，如图所示。由于制造误差，杆1的长度短了 mm。已知两杆的材料和横截面积均相同，且，。试求装配后两杆的应力。

A
45°

1.5 m
1
1
m
2
m
2
B
C

题10.9图
解：设1杆伸长则2杆伸长

满足：

代入得

10.10 图示阶梯状杆，左端固定，右端与刚性平面相距 mm。已知左右两段杆的横截面积分别为600 mm2和300 mm2，材料的弹性模量 GPa，试求左右两段杆的内力。
C

A
B
3 m
F=60 kN
3 m

题10.10图

解：这是一次超静定问题，受力图如图所示，其静力学平衡方程为
（1）
变形协调方程为 （2）
运用胡克定律，可得各段杆的变形

代入（2），的补充方程 （3）
联立（1）、（3），解得

10.11 两端固定的阶梯状杆如图所示。已知左右两段杆的横截面积分别为A和2A，材料的弹性模量GPa，线膨胀系数。试求温度升高30时左右两段杆的应力。
C
A
B
l
l

题10.11图

解：阶梯状的受力图，如图所示，静力学平衡条件为
（1）
变形协调方程为 （2）
运用胡克定律，可得各段杆的变形

连同温度变形
一并代入（2），得补充方程
（3）
联立（1）、（3）得
所以杆内各段的应力

10.12 如图所示两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩。已知左右两段轴的直径分别为和，设，材料的切变模量为。试求两固定端处的支反力偶矩MA和MB。
Me
C
A
B
l
2l

题10.12图

解：此为一次超静定问题，阶梯轴的受力图，如图所示，其静力平衡条件为
（1）
因端面A和B均被固定，所以端面A相对截面C与端面B相对截面C的扭转角相同，即 （2）
端面A，B相对于截面C的扭转角分别为
（3）
（4）
解上面四个式子可得固定段的支反力偶矩

10.13 图示一两端固定的钢圆轴，直径 mm，轴在截面C处受一外力偶矩。已知钢的切变模量=80 GPa。试求截面C两侧横截面上的最大切应力和截面C的扭转角。
Me
C
A
B
0.5 m
1 m

题10.13图

解：此为一次超静定问题，圆轴的受力图，如图所示，其静力平衡条件为

因端面A和B均被固定，所以端面A相对截面C与端面B相对截面C的扭转角相同，即

并且有
联立上面的式子有
所以截面C左侧圆轴横截面上的最大切应力

所以截面C右侧圆轴横截面上的最大切应力

截面C的扭转角

10.14 一空心圆管A套在实心圆杆B的一端，如图所示。两杆在同一截面处各有一个直径相同的贯穿小孔，但两孔的中心线成一个角。现在杆B上施加外力偶使杆B扭转，以使两孔对准，并穿过孔装上销钉。在装上销钉后，卸除施加在杆B上的外力偶。试求管A和杆B横截面上的扭矩。设管A和杆B的材料相同，切变模量为，极惯性矩分别为和。
A

lA
lB
B

题10.14

解：先对实心圆杆B施加一外力偶矩并使其截面C相对截面E转过角，当套A和杆B上的孔对准重合后，装上销钉，然后取出外力偶矩，这时杆B产生回弹，并带动套A的截面C相对截面D转过一个角，杆B回弹后，其截面C相对截面E的实际转角为，并且有
（1）
达成平衡状态时的受力图如图所示，其静力平衡条件为
（2）
将
代入（1）后与（2）联立，可解得

10.15 试求图示AB梁B截面的挠度。设AB梁各截面的抗弯刚度均为EI，BC杆的抗拉刚度为EA。
2a
q
a
A
B
C

题10.15图

解：这是一次超静定问题，解除拉杆对梁的约束，代之以轴力，如图所示，变形协调条件是在梁的均布载荷q和轴力的作用下，梁在B点的挠度等于拉杆的伸长，即

应用叠加原理有

所以有
10.16 求图示超静定梁的两端反力。设固定端沿梁轴线的反力可以省略。
F

A
a
b
B
A
a
B
q

（a） （b）
题10.16图

解：（a）图示为二次超静定结构，因结构和载荷均对称，从中间把梁切开，（图）截面上的反对称内力即剪力必为零，只有弯矩，问题简化为一次超静定。因对称截面的转角为零，所以正则方程为
（1）

运用图乘法（图）求系数和常数
（2）
（3）
将（2）、（3）入上述正则方程（1）式得

根据平衡条件求约束反力，

（逆时针） （向上）
有对称性可求得
（顺时针） （向上）

（b）如图所示，图示为二次超静定结构，解除B端约束代之以反力，，静定基如（图）所示。

正则方程为

运用图乘法（图）求系数和常数

将后面五个式子代入正则方程组有

（向上） （顺时针）
由静力平衡方程可求得
（向上） （逆时针）
10.17 直梁在承受载荷前搁置在支座、上，梁与支座间有一间隙。在加上均布载荷后，梁就发生变形而在中点处与支座接触。如要使三个支座的约束反力相等，则应为多大?设梁的刚度为已知。
α
q

A
B
C

题10.17图

解:解除图所示梁的约束，代之以支座反力，其受力图，如图所示，因规定支座A，B，C三处约束力相等，所以应有

因变形后，B的垂直位移为，故有
查梁挠度的公式。可得

解上式

10.18 梁两端铰支，中点处为弹簧支承。若弹簧刚度，且已知，，，，均布载荷，试求弹簧的支反力。
q

A
C
B
b
h

题10.18图

解：这是一次超静定问题，梁的中点挠度等于弹簧被压缩高度，即
相应于被压缩高度，弹簧受压力
查挠度表有
又
有
即

10.19 为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短梁CD加固。设二梁EI相同，试求加固后AB梁B截面的挠度。
A
D
F

B
C
2l
l

题10.19图

解：将题给的图从D拆开，提成二个独立的悬臂梁，如图所示，由于二梁接触处的垂直位移相同，所以有

运用所提供的梁挠度公式，得

解上式，并注意到，得二梁接触处的压力
所以加固后B点的挠度为

10.20 图示悬臂梁的自由端恰好与光滑斜面接触。若温度升高，试求梁内最大弯矩。设该梁的弯曲刚度EI、横截面积A及线膨胀系数均为已知，且梁的自重以及轴力对弯曲的影响皆可略去不计。
A
B
l
45°

题10.20图

解：这是一个一次超静定问题，因温度的提高，梁伸长。它是斜面反力和温升引起的膨胀共同作用的结果，由图得几何关系

约束分力的两个正交分量
有最后两式有
截面A为最大弯矩