资源描述
►基础梳理
1．平均变化率．
如果某个问题中的函数关系用f(x)表示，那么问题的平均变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，简记为(这里的Δx＝x2－x1，可以是正也可以是负)．
注：①几何意义：两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2)) 连线的斜率(割线的斜率)；②平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势(变化快慢)，或说在某个区间上曲线陡峭的程度．
2．瞬时速度和瞬时加速度．
(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度．
(2)位移的平均变化率：．
(3)瞬时速度：当Δt无限趋近于0时，无限趋近于一个常数，这个常数称为t＝t0时的瞬时速度．
(4)速度的平均变化率：.
(5)瞬时加速度：当Δt无限趋近于0时，无限趋近于一个常数，这个常数称为t＝t0时的瞬时加速度．
注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率，感受速度的平均变化率与加速度的关系，以及加速度与瞬时加速度的“逼近”关系．
3．导数．
(1)导数的概念．
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
(2)导数的几何意义．
函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线在该点处的切线的斜率k，即
k＝lim_＝f′(x0)．
(3)导函数．
如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点都有导数f′(x)，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称f′(x)为f(x)的导函数，记作f′(x)或y′，即
f′(x)＝y′＝lim_．
(4)求导数的步骤．
①求函数的增量：Δy＝f(x2)－f(x1)；②求平均变化率：＝；③取极限，得导数：f′(x0)＝lim_＝lim_．
上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限．
►自测自评
1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(B)
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.
2．一物体的运动方程是S＝3＋t2，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度为(D)
A．0.41
B．3
C．4
D．4.1
解析：＝＝＝4.1.
3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(B)
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴斜交
1．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为(D)
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
2．已知曲线y＝2x3上一点A(1，2)，则点A处的切线斜率是(D)
A．0 B．2
C．4 D．6
解析：依题意得，k＝y′|x＝1＝6.
3．曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是________．
解析：f′(1)＝lim
＝lim ＝4.
当x＝－1时，切线的斜率k＝f′(－1)＝1.
利用点斜式可得切线方程为：y＋3＝x＋1，
即y＝x－2.
答案：y＝x－2.
4．比较函数f(x)＝2x与g(x)＝3x，当x∈[1，2]时，平均增长率的大小．
解析：设f(x)＝2x在x∈[1，2]时的平均变化率为k1，则k1＝＝2，
设g(x)＝3x在x∈[1，2]时的平均变化率为k2，则k2＝＝6，
∵k1＜k2，故当x∈[1，2]时，g(x)的平均增长率大于f(x)的平均增长率．
5．已知曲线y＝2x2上的点(1，2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．
解析：因为f′(1)＝lim ＝4，所以过点(1，2)的切线的斜率为4.设过点(1，2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k，则4k＝－1，k＝－.所以所求的直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋4y－9＝0.
1．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx(D)
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．不等于0
2．一辆汽车在起步的前10秒内，按s＝3t2＋1做直线运动，则在2≤t≤3这段时间内的平均速度是(C)
A．4 B．13 C．15 D．28
3．y＝x2在x＝1处的导数为(B)
A．2x B．2
C．2＋Δx D．1
解析：lim ＝lim ＝
lim ＝lim (2＋Δx)＝2.
4．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是(C)
A．在点x＝x0处的函数值
B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值
C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
D．点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率
5．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是(D)
A．(0，0) B．(2，4)
C. D.
解析：由导数的定义，知y′|x＝x0＝lim ＝2x0＝tan ＝1，∴x0＝，则y0＝，故选D.
6．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝(A)
A．1 B. C．－ D．－1
解析：由导数的定义知f′(1)＝lim ＝2a＝2.
∴a＝1.
7．已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，则x0的值为________．
答案：0或－
8．已知使函数y＝x3＋ax2－a(a∈R)的导数值为0的x值同时使得函数值y等于0，则常数a＝________．
解析：根据导数的定义，得
y′＝lim ＝lim (3x2＋2ax＋Δx2＋3xΔx＋aΔx)＝3x2＋2ax.
令3x2＋2ax＝0，得x＝0或x＝－.
当x＝0时，由y＝－a＝0，得a＝0；
当x＝－时，由y＝－a＝0，
得a＝0或a＝±3.
综上所述，a的值为0或±3.
答案：0或±3
9．曲线y＝x3在点(1，1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为________
解析：根据导数的几何意义，可以求得切线斜率k＝y′|x＝1＝3.
于是，由点斜式得切线方程为：y－1＝3(x－1)．
令y＝0，得切线与x轴的交点A；
令x＝2，得切线与直线x＝2的交点为B(2，4)．
又直线x＝2与x轴的交点为C(2，0)，
所以，所求三角形的面积为
|AC|·|BC|＝××4＝.
答案：
10设某质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数，其关系式为s(t)＝3t2＋2t＋1.
(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1与Δt＝0.01时的平均速度；
(2)求当t＝2时的瞬时速度．
解析：直接计算可得结论．
(1)＝＝＝3Δt＋14.
当Δt＝1时，＝17；
当Δt＝0.1时，＝14.3；
当Δt＝0.01时，＝14.03.
(2)瞬时速度为
υ＝lim ＝lim (3Δt＋14)＝14.
11．已知抛物线y＝2x2＋1，问：
(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?
解析：(1)y′＝ ＝
＝4x，设点P(x0，y0)是满足条件的点．
因为切线平行直线4x－y－2＝0，
所以4x0＝4，即x0＝1，所以y0＝3，
所以点P(1，3)为所求．
(2)设在点M(x1，y1)处的切线垂直于直线x＋8y－3＝0.
又由(1)知y′＝4x，则有4x1＝8，即x1＝2，
所以y1＝9，故点M(2，9)为所求．
12．求双曲线y＝在点处的切线的斜率，并写出切线方程．
解析：∵y＝，
∴k＝lim ＝lim
＝lim ＝－.
∴当x＝时，k＝－4，∴切线斜率为k＝－4.
切线方程为y－2＝－4，即4x＋y－4＝0.
►体验高考
1．已知曲线y＝的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(A)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：切线的斜率为k＝lim ＝，则所求直线的斜率为＝，所以x＝1，即切点的横坐标为1.
2．曲线y＝x3＋x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(A)
A. B.
C. D.
解析：根据导数的定义和几何意义，可以求得切线的斜率k＝2.
于是，由点斜式得切线方程为：y－＝2(x－1)．
令x＝0，得切线与y轴的交点为A；
令y＝0，得切线与x轴的交点为B，
所以，所求三角形的面积为|AO|·|BO|＝××＝.
3．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．
解析：因为f(x)是偶函数，偶函数图象关于y轴对称，所以对应区间单调性相反，可知点(－1，f(－1))处的切线的斜率为－1.
答案：－1
4．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(B)
A．－ B.
C．－ D.
5．已知P、Q为抛物线x2＝2y上两点，点P、Q的横坐标分别为4、－2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(C)
A．1 B．3
C．－4 D．－8
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
