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线性时变周期系统的能控性分析
摘要: 本文讨论了线性时变系统研究现状及研究意义，介绍了线性时变周期系统的概念，并举出了几种应用实例。从线性时不变系统能控性的两个充要条件入手，分别提出了两种类似线性时不变系统能控性的判定时变周期系统能控性的必要条件的假设并加以证明。该判别条件的优点是不必计算系统的状态转移矩阵, 使判别时变周期系统能控性与能观性简单、 高效、 易于实现。并对两个判定线性时变系统的能控性的必要条件的应用进行讨论。
关键词: 时变周期系统; 能控性; 状态转移矩阵;必要条件

Problem on controllability and stabilizability of linear time-varying periodic system

Abstract: The present research situation and research significance of linear time-varying periodic system are discussed. The basic application instances are introduced. Two necessary conditions to judge the controllability of time-varying periodic systems are hypothesized from two necessary and sufficient conditions to judge the controllability of linear time invariant system. The determinant condition has such a merit of not calculating the system state transition matrix that it is simple and easy to judge the controllability and observability of time-varying periodic system. And application of the two necessary conditions to judge the controllability and observability of time-varying periodic systems are discussed.
Keywords: time-varying periodic system; controllability; state transition matrix; necessary conditions

1 引 言
线性时变系统也称为线性变系数系统，其特点是，表征系统动态过程的线性微分方程或差分方程中,至少包含一个参数为随时间变化的函数。在现实世界中，由于系统外部和内部的原因，参数的变化是不可避免的，因此严格地说几乎所有系统都属于时变系统的范畴。相比于线性时不变系统，时变系统的研究分析和综合方法比线性时不变系统要复杂的多。然而，在物理和工程技术中, 存在许多具有一定规律性的问题。许多问题最终都能导致具有周期系数的线性微分方程组，大量的工业过程和社会系统的数学模型可归结为周期时变线性系统。例如弹性力系统的动力学稳定性、卫星姿态控制、直升飞机传动系统、 生态系统和经济系统中周期环境的竞争平衡等。又如在机械故障诊断中, 齿轮等零件周期性旋转而产生的振动信号的模型；由于人体规律性作息，一天内不同时刻对相同刺激产生不同脑电信号的模型等。这类常见而又特殊的系统一般称为时变周期系统。若系统还是线性的, 则称为线性时变周期( linear time-varying periodic, LTVP)系统。为了研究用非线性微分方程描述的周期运动的特性, 不少实际方法都是围绕研究带有周期系数的线性微分方程组而进行探索。
系统的能控性和能观性是线性系统理论中最基本的概念，两者之间已有了熟知的对偶关系。线性定常系统经过半个多世纪的发展,系统能控性、能测性和能稳定性等基本问题已经有相当完善的结果, 但与时变系统的对应结论一直欠缺。时变系统是一类重要而又研究较少的系统。对时变系统来说, 由于系统矩阵中状态转移矩阵计算的复杂性，在研究时变系统时， 纯代数方法较少，到目前为止,没有关于利用特征多项式或矩阵代数方程判别系统能控性、 能观性的判据。时变系统的能控性、能观性、能稳定性、镇定问题在理论上有一些基本结论，但这些结果往往依赖于系统的状态转移矩阵，由于状态转移矩阵计算是十分困难和繁杂的, 因而实际应用还并不现实。本文对周期时变系统进行讨论,从线性时不变系统能控性的两个充要条件入手，提出了两种类似线性时不变系统能控性的判定时变周期系统能控性的必要条件。
2 时变周期系统的应用实例
这里列举几个线性时变周期系统的实例。
实例 1 直升飞机传动系统的振动衰减问题[1]
直升飞机的传动系统由复杂的齿轮组成, 它的振动是典型的周期振动问题, 其振动衰减研究是非常有意义的。振动的衰减可通过主动控制方法来解决,这一问题可由下述线性周期系统模型来描述
M00K(t)x1x2=DK(t)-K(t)0x1x2+f0u
y=000Ix1x2+d1d2u
式中，K( )表示系统的刚度矩阵，具有周期性；D表示系统的阻尼矩阵；M表示系统的质量矩阵；f表示系统施加的主动力矩阵；di表示对系统的干扰；u( )表示主动施加力；x( )表示系统的状态变量；y( )表示测量系统的位移。
实例 2 卫星姿态控制问题[2]
1976 年，Sticher提出了卫星姿态控制问题。利用位于卫星上传感器的三维磁力计测量地球磁场的相互作用原理，卫星绕地球轨道运动的姿态稳定性常常通过磁转矩来实现。由于沿飞机所在位置的轨道地球场磁力的相互作用产生了周期性，因此这类问题在数学领域的适当模型为周期模型，即
x( t ) = A( t ) x( t ) + B( t ) u( t ) , y ( t ) = C( t )x( t )
式中, A( t )、B( t )、C ( t ) 分别为连续的周期函数矩阵。
这些实例从不同侧面反映了周期系统的稳定性分析和控制问题的研究是非常重要的实际研究课题之一。
3 线性时变周期系统能控性的两个必要条件的引出及证明
3.1线性时变系统的状态方程、状态转移矩阵[3]
线性时变系统的状态方程描述为：

对连续时间线性时变系统，满足矩阵方程：

的解矩阵Φ(t,t0)称为状态转移矩阵。其中，状态转移矩阵具有如下形式
Φ,t0=Ι+t0tA(τ)dτ+t0tt0τA(τ1)dτ1A(τ)dτ+··· （1）
且状态转移矩阵具有如下性质：

3.2线性时变周期系统的状态方程、状态转移矩阵[3]
线性时变周期系统的状态方程描述为：
x( t ) = A( t )x( t ) + B( t ) u( t ) （II）
式中, A(t)、B(t)分别为连续的n×n、n×m函数矩阵,且有A(t+T)=A(t),B(t+T)=B(t)；若令t0 =0，则Φ(t)=Φ(t,0)为系统的状态转移矩阵,即

3.3线性时不变系统能控性的两个等价条件
许多控制理论教材都介绍了如下线性时不变系统能控性的判别结论。
引理1（PBH判据） 连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件是，对矩阵A的所有特征值λi(i=1,2,……n)，有：
rank[λiI-A,B] = n (i=1,2,……n)
均成立。
引理2[4] 线性时不变系统x(t)=Ax(t)+Bu(t)能控的充要条件是矩阵方程
AX-XA=0XB=0 只有零解
3.4线性时变周期系统能控性的的两个必要条件的引出及证明
先证明以下引理3结论。
引理3[5] 对于时变系统（I），其状态转移矩阵为Φ(t,t0)，则
Φ(t0,t)=Ι-t0tA(τ)dτ+t0tt0τA(τ1)dτ1A(τ)dτ-t0tt0τt0τ1A(τ2)dτ2A(τ1)dτ1A(τ)dτ+···
证明 由线性时变系统状态转移矩阵的性质（2），有

对方程两端同时在t0到t上求积分，可得
Φ(t0,t)=Ι-t0tΦ(t0,t)A(τ)dτ·······①
应用逐次逼近法，即将式①代入自身的Φ(t0,t)中去，
第一次迭代后，得Φ(t0,t)=Ι-t0tA(τ)dτ+t0tt0τΦ(t0,t1)A(τ1)dτ1A(τ)dτ
反复迭代可得：
Φ(t0,t)=Ι-t0tA(τ)dτ+t0tt0τA(τ1)dτ1A(τ)dτ-t0tt0τt0τ1A(τ2)dτ2A(τ1)dτ1A(τ)dτ+···
下面根据线性时不变系统能控性的两个等价条件引理1及引理2，分别提出两个判断线性时变周期系统能控性的必要条件，并加以证明。
对于引理1，线性时不变系统能控性的PBH判据，提出以下假设，
假设1 系统(II) 能控的必要条件是 rank[λI-A(t),B(t)] = n, λ∈C。
证明 为表示简单起见，不妨设
用反证法证明，假设存在行向量α≠0，使得α[λI-A(t),B(t)] = 0，
即λα =αA(t),αB(t) =0 ∀λ∈C, t ∈[0,t1]，t1>0成立，则有：
α0tA(τ)dτB(t)=0tλdταB(t)=0
         α0t0τA(τ1)dτ1A(τ)dτB(t)=0t0τλαdτ1A(τ)dτB(t)=0t0τλ2dτ1dταB(t)=0
 α0t0τ0τ1A(τ2)dτ2A(τ1)dτ1A(τ)dτB(t)
=0t0τ0τ1λαdτ2A(τ1)dτ1A(τ)dτB(t)
=0t0τ0τ1λ2αA(τ)dτ2dτ1dτB(t)
=0t0τ0τ1λ3A(τ)dτ2dτ1dταB(t)=0
进而αΦ(0,t)B(t)
=α(Ι-0tA(τ)dτ+0t0τA(τ1)dτ1A(τ)dτ-0t0τ0τ1A(τ2)dτ2A(τ1)dτ1A(τ)dτ+······) B(t)
=(1 - 0tλdτ+0t0τλ2dτ1d-0t0τ0τ1λ3A(τ)dτ2dτ1dτ+···)αB(t)=0
根据线性时变系统能控性的格拉姆矩阵判据，线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵：

为非奇异。而上面的证明， αΦ(0,t)B(t)=0，这与系统能控相矛盾，即矩阵 [ λI - A(t) ,B (t) ] 线性无关，说明假设1成立。
对于引理2，提出以下假设，
假设2 系统(II)能控的必要条件是周期时变能控的必要条件是矩阵方程：A(t)X-XA(t)=0X(t)B=0 只有零解
证明 证明方法与假设1类似, 假设存在一个X≠0使矩阵方程组成立，对矩阵方程前一个等式积分，有：
 0tA(τ)dτX=X0tA(τ)dτ
X0tA(τ)dτB(t)=X0tA(τ)dτXB(t)=0
X0t0τA(τ1)dτ1A(τ)dτB(t)
=0t0τA(τ1)Xdτ1A(τ)dτB(t)=0t0τA(τ1)dτ1dτX B(t)=0
X0t0τ0τ1A(τ2)dτ2A(τ1)dτ1A(τ)dτB(t)
=0t0τ0τ1A(τ2)Xdτ2A(τ1)dτ1A(τ)dτB(t)
=0t0τ0τ1A(τ2)dτ2A(τ1)Xdτ1dτB(t)
=0t0τ0τ1A(τ2)dτ2A(τ1)dτ1 A(τ) dταXB(t)=0
进而
XΦ(0,t)B(t)=
XBt-0tAτdτ+0t0τAτ1dτ1AτdτXB(t)-0t0τ0τ1Aτ2dτ2Aτ1dτ1AτdτXBt+···
=0，与系统（II）能控矛盾，故假设成立，矩阵方程只有零解
注 1 与线性时不变系统中引理1的结论不同, rank[λI-A(t),B(t)] = n是时变周期系统(II)能控的必要条件而非充分条件,这容易通过下面的反例加以说明。
实例3 时变周期系统[6]
x(t)=cost1-1costxt+)=cost-sintu(t)
分析，Φ(0,t)=e-sint cost-sintsintcost ， Φ(0,t)B(t)= e-sint0,秩为1，系统不能控。
然而， rank[λI-A(t),B(t)] = rank λ-cost-1cost1λ-cost-sint=2
注 2 与线性时不变系统中引理2的结论不同, 时变周期系统(II) 矩阵方程
A(t)X- XA(t)=0 和 XB(t)=0 只有零解只是系统(II)能控的必要条件而非充分条件。同样可由实例3说明。
4 结束语
本文给出了两种判定时变周期系统能控性的必要条件，同时利用对偶性,可以得到完全对应的能观性结论。线性时不变系统能控性的两个判别定理中的条件都是充要条件，在时变周期系统对应的两个能控性判别定理的条件只是必要条件。因此，若周期时变系统不满足其中任一个条件，则该系统是不能控的。线性时变周期系统在许多实际问题中有着广泛的应用。这两种判定时变周期系统能控性的必要条件,只依赖于系统矩阵和输入矩阵,不必考虑和计算系统的状态转移矩阵，能使判别时变周期系统能控性与能观性简单、高效。

参考文献:
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