D72可分离变量的微分方程.pptx

分离变量方程的解法分离变量方程的解法:设 y(x)是方程的解,两边积分,得 则有恒等式 当G(y)与F(x)可微且 G(y)g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x)是的解.则有称为方程的隐式通解,或通积分.同样,当F(x)=f(x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y)也是的解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求微分方程的通解.解解:分离变量得两边积分得即(C 为任意常数)或说明说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解 y=0)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.解初值问题解解:分离变量得两边积分得即由初始条件得 C=1,(C 为任意常数)故所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求下述微分方程的通解:解解:令 则故有即解得(C 为任意常数)所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:解法解法 1 分离变量即(C 0 )解法解法 2故有积分(C 为任意常数)所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明说明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解 y=x 及 y=C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 求下列方程的通解:提示提示:(1)分离变量(2)方程变形为机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业P 304 1(1),(5),(7),(10);2(3),(4);4;5;6第三节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 已知曲线积分与路径无关,其中求由确定的隐函数解解:因积分与路径无关,故有即因此有机动 目录 上页 下页 返回 结束