二重积分概念同济少学时.pptx

目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 二重积分的概念与性质 第九章 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底：底：xOy 面上的闭区域 D顶顶:连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求 极限”目录 上页 下页 返回 结束 1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体目录 上页 下页 返回 结束 4)“取极限”令目录 上页 下页 返回 结束 2.平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片,在 xOy 平面上占有区域 D,计算该薄片的质量 M.度为设D 的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小块.目录 上页 下页 返回 结束 2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第 k 小块的质量目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I,使可积可积,在D上的二重积分二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数,目录 上页 下页 返回 结束 引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,元素d也常记作二重积分记作这时分区域 D,因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质三、二重积分的性质(k 为常数)为D 的面积,则 目录 上页 下页 返回 结束 特别,由于则5.若在D上6.设D 的面积为,则有目录 上页 下页 返回 结束 7.(二重积分的中值定理)证证:由性质6 可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上 为D 的面积,则至少存在一点使使连续,因此目录 上页 下页 返回 结束 例例1.比较下列积分的大小:其中解解:积分域 D 的边界为圆周它在与 x 轴的交点(1,0)处与直线从而而域 D 位于直线的上方,故在 D 上目录 上页 下页 返回 结束 例例2.估计下列积分之值解解:D 的面积为由于积分性质5即:1.96 I 2D目录 上页 下页 返回 结束 P122 1,3(1)(3),4(1)(2)第二节 作业作业目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)目录 上页 下页 返回 结束 被积函数相同,且非负,思考与练习思考与练习解解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:目录 上页 下页 返回 结束 2.设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则的大小顺序为()提示:因 0 y 1,故故在D上有目录 上页 下页 返回 结束 3.计算解解:目录 上页 下页 返回 结束 4.证明:其中D 为解解:利用题中 x,y 位置的对称性,有又 D 的面积为 1,故结论成立.目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.估计 的值,其中 D 为解解:被积函数D 的面积的最大值的最小值目录 上页 下页 返回 结束 2.判断的正负.解：解：当时，故又当时，于是