二重积分的概念及几何意义.pptx

二重积分的概念及几何意义二重积分的概念及几何意义 一、问题的提出一、问题的提出二、二重积分的定义二、二重积分的定义三、二重积分的几何意义三、二重积分的几何意义一、问题的提出曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积定义定义体积体积=曲边梯形面积的求法曲边梯形面积的求法“分割、近似、求和、取极限分割、近似、求和、取极限”的思想方法的思想方法平顶柱体的体积计算平顶柱体的体积计算底面积底面积高高曲顶柱体的体积计算曲顶柱体的体积计算以直线代曲线以直线代曲线以平面代曲面以平面代曲面步骤如下：步骤如下：并取典型小区域并取典型小区域,用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积顶柱体的体积 .曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积.求平面薄片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量二、二重积分的定义积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素对二重积分对二重积分(double integral)定义的说明定义的说明D D三、二重积分的几何意义三、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值值 二重积分的几何意义二重积分的几何意义 二重积分是各部分区域二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在平面上方的取正，在xoy平面平面下方取负下方取负例例 根据二重积分的几何意义判断下例积分的值根据二重积分的几何意义判断下例积分的值.解解投影区域为圆域投影区域为圆域 被积函数为半球面被积函数为半球面 由二重积分的几何意义，得由二重积分的几何意义，得