双基地雷达栅栏覆盖的二维布站优化方法_李海鹏.pdf

双基地雷达栅栏覆盖的二维布站优化方法李海鹏冯大政*王晓辉贺龙周亚鹏(西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室西安710071)(西安电子工程研究所西安710100)摘要：为解决双基地雷达栅栏覆盖的优化问题，该文提出一种基于相邻部署线的2维布站优化方法。该方法首先将感兴趣区域用矩形区域近似替代，再将矩形区域划分为多个相同的子栅栏覆盖区域；其次为了充分发挥发射器的效能，该方法不仅利用同条部署线上的发射器与接收器组成双基地雷达，同时也采用相邻部署线之间的发射器与接收器组成双基地雷达。为此提出一种新的基本布站模式，并以该模式为基础建立2维布站的优化模型。该模型以布站成本最小为准则，覆盖区域为约束条件。为了求解该优化模型，该文提出一种基于贪婪算法的求解方法，该方法可以确定2维布站中发射器与接收器的数量及其位置。最后，仿真试验和分析表明该文方法可以有效降低布站成本，减少发射器的使用数量，证明了该文布站优化方法的有效性。关键词：双基地雷达；栅栏覆盖；最小布站成本；2维布站优化中图分类号：TN95文献标识码：A文章编号：1009-5896(2023)04-1275-10DOI:10.11999/JEIT220215Two-dimensional Deployment Optimization Method for theBarrier Coverage of Bistatic RadarsLIHaipengFENGDazhengWANGXiaohuiHELongZHOUYapeng(National Key Laboratory of Radar Signal Processing,Xidian University,Xian 710071,China)(Xian Electronic Engineering Research Institute,Xian 710100,China)Abstract:Tosolvetheoptimizationproblemofbistaticradarforbeltbarriercoverage,atwo-dimensionaldeploymentoptimizationmethodusingadjacentdeploymentlinesisproposed.First,thefieldofinterestisapproximatelyrepresentedbyarectangulararea,andthentheareaisdividedintomultipleidenticalsub-barriercoverageareas.Togivefullplaytotheefficiencyofthetransmitters,thebistaticradarsconsistingofthetransmittersandthereceiversonthesamedeploymentlineandtheadjacentdeploymentlinesshouldbeconsidered.Thus,fourtwo-dimensionaldeploymentpatternsareintroducedandanalyzed.Furthermore,anoptimizationmodelbasedonthesedeploymentpatternsisproposed.Theminimumdeploymentcostandthecoveragearearequirementsareadoptedastheoptimizationcriterionandconstraints,respectively.Amethodbasedonthegreedyalgorithmisexploitedtosolvetheoptimizationmodel.Thedeploymentlocationsandtheminimumdeploymentcostcanbecalculatedbytheproposedmethod.Finally,thesimulationresultsandanalysisshowthat,comparedwiththeexistingmethod,theminimumdeploymentcostandthenumberoftransmitterscanbeimpressivelyreducedbytheproposedmethod.Theeffectivenessoftheproposedmethodisproven.Key words:Bistaticradar;Barriercoverage;Minimumdeploymentcost;Two-dimensionaldeploymentoptimization1 引言无线传感器网络(WirelessSensorNetworks,WSNs)中的栅栏覆盖可广泛应用于环境监测、区域监控等领域，为了能够探测到沿任意路径进入关注区域的入侵者，往往需要利用传感器构建一个连续的栅栏覆盖13。随着电子技术的快速发展，基于多基地雷达的无线传感器网络引起了极大的关注4,5。与收发共置的单基地雷达相比，多基地雷达是由空间上分开布置的多个接收器和发射器组成的雷达系收稿日期：2022-03-02；改回日期：2022-07-29；网络出版：2022-08-03*通信作者：冯大政基金项目：国家自然科学基金(61971470)FoundationItem:TheNationalNaturalScienceFoundationofChina(61971470)第45卷第4期电子与信息学报Vol.45No.42023年4月JournalofElectronics&InformationTechnologyApr.2023统，其具有抗低空突防能力强、抗反辐射导弹能力强、抗隐身能力强、抗干扰能力强的“四抗”优势69。依据栅栏覆盖的形状将其可分为圆周栅栏覆盖1013与带状栅栏覆盖1418。文献10对关注区域内随机分布的多个固定目标优化传感器部署位置，在目标的周围以尽可能少的传感器建立环形栅栏覆盖。而当目标位置改变后栅栏就不能覆盖该目标，因而这种覆盖方法不适用于可移动目标。文献11基于布站总成本最小化为目标，采用多基地雷达构建圆环栅栏覆盖，提出了圆环栅栏覆盖的优化布站方法。文献12,13均基于最小化布站总成本提出了一种求解圆周栅栏覆盖的优化布站策略。针对带状栅栏覆盖，文献1416提出了一种基于成本最小化的等分策略构建方法，这些方法利用若干条宽度相同、结构相同的子带状栅栏构成带状栅栏覆盖；文献17提出非等分策略带状栅栏覆盖构建方法，该方法采用若干条宽度不尽相同、结构各异的子带状栅栏构成了带状栅栏覆盖。但是以上文献只研究了同条部署线上发射器与接收器组合的布站方法，属于双基地雷达1维布站优化问题。文献18提出2维布站优化方法，但是该方法主要存在以下问题：(1)确定总发射器与接收器数量的方法需要改进；(2)布站模式固定，并非通过优化计算获得；(3)未考虑发射器与接收器成本对发射器、接收器数量的影响。为了解决文献18中存在的问题与不足，本文提出一种新的双基地雷达2维布站优化方法。首先，给出构建子栅栏覆盖区域的基本布站模式，并基于该布站模式建立以布站成本最小化为准则的布站优化模型。接着提出该模型的求解算法，并通过仿真实验验证了本文方法的可行性与有效性。2 基本概念与问题描述2.1 基本概念(T,R)记由发射器T与接收器R构成的双基地雷达(Bi-staticRadars,BR)为，为了监控关注区域，本文采用搜索雷达建立栅栏覆盖。记z点目标信噪比(SignaltoNoiseRatio,SNR)为SNR(z)，由雷达方程可得19SNR(z)=K(d(T,z)d(R,z)2(1)d(R,z)d(T,z)SNR(z)其中，,分别表示点z到R和T的欧氏距离，K由BR发射器与接收器的工作参数所确定。同时假设目标雷达散射截面积的起伏按照SwerlingI型模型且恒定，发射器与接收器之间极化匹配。因此对于确定的BR，可认为K是一个常量14。设检测目标信号所需的最小SNR为，若，(T,R)d(T,R)那么位于z点的目标可以被探测到。由于在关注区域内部署了多个BR，因此要求各发射器以相互正交的频率发射信号，接收器通过设置工作频率与一个发射器信号匹配，从而避免其他发射器的影响20。此外，对于BR中直达波抑制和测距不确定等问题。可通过自适应天线的干扰置0，利用参考通道进行旁瓣对消和空时域、距离-方位域以及多普勒域联合处理等方法解决直达波抑制的问题21,22。而对于测距不确定的问题，可以通过确定、目标视角、距离和来计算目标分别到发射器和接收器的距离23,24。SNRmax(z)位于z点的目标可能会同时被多对BR覆盖，记为目标在z点的最大信噪比，它表明了栅栏覆盖对z点的覆盖性能，由式(1)有SNRmax(z)=max(Ti,Rj)K(d(Ti,z)d(Rj,z)2(2)SNRmax(z)由式(2)可知雷达系统对目标的覆盖能力取决于目标距离积最小的一对BR，如果，那么位于点z的目标可被雷达系统覆盖。为了便于表述，记目标在点z的探测性为14l(z)=min(Ti,Rj)d(Ti,z)d(Rj,z)(3)SNRmax(z)l(z)K/Imax=K/l(z)ImaxImaxd(T,R)Imax又因为等价于。记最大探测性的阈值，因此当时，认为目标被探测区域覆盖。对于一个BR，其覆盖区域由所有探测性不大于的点构成，区域形状取决于与的关系，且仅当形状是类椭圆或腰形时才能保证栅栏覆盖的宽度大于014。2.2 问题描述cR,cT=cT/cR针对矩形关注区域Q，记其长、宽分别为L,H，部署线平行于矩形长边布置，雷达的发射器和接收器均布置在部署线上。通常一条部署线构成的栅栏宽度不足以覆盖整个矩形区域，因此需要多条部署线共同构成栅栏覆盖。同时，本文假设所有发射器和接收器的性能均分别相同，即采用同构雷达构建栅栏覆盖4,25。令分别为接收器与发射器的布站成本，为发射器和接收器的布站成本比。特别地，各接收器和发射器的布站成本仅由其自身成本确定，不考虑修建阵地等其他费用。综上，本文所研究的问题可描述为：针对一个矩形区域，需要多少条部署线，且每条部署线及其相邻部署线上如何布置发射器与接收器，可使得栅栏覆盖的总布站成本最小。3 布站模式分析在1维布站方法中，接收器距发射器越远，栅1276电子与信息学报第45卷栏覆盖增加面积的效率越低15。因此围绕发射器的周围，采用2维布站方法部署接收器，可以提高构建栅栏覆盖的效率。值得注意的是，2维布站中栅栏覆盖范围与布站模式紧密相关，为了便于分析布站模式的性质和建立优化布站模型，首先定义4种基本布站模式：TR3(1)若1个发射器与3个接收器按图1(a)所示方式布站，则被称为布站模式。TR5TR3(2)若1个发射器与5个接收器按图1(b)所示方式布站，则被称为布站模式；该模式可由2个布站模式左右对称构成。STR5TR3(3)若1个发射器与5个接收器按图1(c)所示方式布站，则被称为布站模式；该模式可由2个布站模式上下对称构成。TR8TR5STR5(4)若1个发射器与8个接收器按图1(d)所示方式布站，则被称为布站模式；该模式可由2个布站模式上下对称构成，或2个布站模式左右对称构成。TR3cTcR如果2个布站模式的发射器、接收器数量分别相等，且节点位置相同，则称为同结构模式；否则，称为异结构模式。特别地，由模式可构成其他3种基本布站模式，因此本文重点研究其覆盖区域的性质。本文假设多个接收器设置了相同的工作频率，则它们会分别接收与其匹配的1个发射器的信号，此时构成“1发多收”的布站模式，整个雷达覆盖区域等于多组BR覆盖区域的组合，如图2(a)绿色实线所示。“1发多收”的情况下可以在尽可能少用发射器的同时充分发挥其构建栅栏覆盖的能力，并且减少受到电子对抗和反辐射打击的风险。特别当远大于时，有利于节约布站成本。TR3x1|x|x 0图2(a)中红色虚线围成的区域是模式的最大覆盖矩形，将矩形水平边、垂直边分别称为长边、宽边。为发射器T到其左侧矩形宽边的距离，为接收器R1到最近小矩形宽边的距离，定义若矩形宽边位于接收器R1的左侧，；若位于右侧x 0y0|y|y 0y 0TR3则；为发射器T与接收器R1所在的直线到其下方小矩形长边的距离；为接收器R2,R3所在的直线到小矩形最近长边的距离，若R2,R3位于长边的上方，；若位于下方。以下通过定理1计算模式中覆盖矩形的长和宽。TR3R1,R2dR1TR2=TR3d+x+x0dsin+y+y0 x,y1,y2,y0,x1,x2定理1如图2(a)所示，设布站模式中发射器T到接收器的距离均为，且，则由模式所构成的覆盖矩形的长和宽分别为与，且由以下公式可以分别计算参数的值x2+(d+x)2tan2(/2)(d+x)2=cos2(/2)l4max(4)(dsin+y1)2+(d+x)2(d+x dcos)2+y12=l4max(5)(dcos/2)2+(y2+dsin)2(dcos/2)2+y22=l4max(6)y0=min(d+x)tan(/2),l2max d2/4(7)(x21+y20)(dsin+y0)2+x21=l4max(8)(dsin+y)2+x22 y2+x22=l4max(9)x0=minx1,x2,y=miny1,y2并且。证明见附录A。本文用若干个子栅栏构成整个矩形栅栏覆盖，每个子栅栏由沿部署线部署的模式TR3构成。如图3(a)所示，“虚线”部署线与“实线”部署线平行于矩形长边等距相间排列。红色“*”代表发射器，蓝色“”代表接收器。各“虚线”部署线上布站方式相同，且仅部署接收器；各“实线”部署线上布站方式相同，且同时部署发射器与接收器。如图3(b)所示，发射器不仅与同部署线上的接收器构建栅栏覆盖，也可与上下相邻“虚线”部署线上的接收器构建栅栏覆盖；“虚线”部署线上的接收器作为共享接收器，可以与相邻“实线”部署线上的发射器共同构建栅栏覆盖。图14种基本布站模式示意图第4期李海鹏等：双基地雷达栅栏覆盖的二维布站优化方法1277d,y1,y2,xy1,y2,xd,定理1表明基本布站模式的覆盖区域的形状及面积大小取决于参数。由于要使图3中各模式之间的覆盖区域无间隙，则要求在模式TR3中T及R1,R2,R3均需要在栅栏覆盖的最大覆盖矩形区域内，即要求定理1中均非负。定理2证明了非负的条件，即提出了基本布站模式无间隙“拼接”时参数应满足的条件。定理2在定理1的条件下，以下陈述为真：0 d (cos(/2)/sin(/2)lmax0 x cos(/2)lmax(1)当时，。0 d (2/cos41+3sin2)lmaxy2 0(2)当且仅当时，。y1 00dlmax/(41+sin21 cos)(3)的必要条件是。证明见附录A。另外，要整个栅栏无间隙，所有基本布站模式的覆盖区域内应无“洞”，即覆盖区域是单连通的。以下分析覆盖区域是单连通的条件。设点U为T和R1连线的中垂线与T和R2连线的中垂线的交点，如图2(b)所示。为避免覆盖区域中有“洞”，l(U)l2maxd 2cos(/2)lmaxddmaxd1=(cos(/2)/sin(/2)lmax,d2=2lmax/(cos41+3sin2)d3=lmax/(41+sin2x1 cos)d4=2cos(/2)lmax如图2(c)所示。须有，于是有。再由定理2可得当 给定时，的上限阈值由式(10)计算。为了便于表述，分别记,，于是有dmax=min d1,d2,d3,d4(10)d1,d2,d32lmax为了避免覆盖空隙，需要同时对角度 进行约束，双基地雷达的覆盖区域形状只能是椭圆或腰形，因此要求均小于，进一步可得arccos(3/4)minarcsin(2/3),2arcsin(52)(11)d /sindmin为了有足够的检测和处理时间，子栅栏的宽度应不小于14，则有。因此d最小值应满足dmin=min/sin,dmax(12)d,dmin d dmax综上，要使基本布站模式覆盖区域间能无缝“拼接”且覆盖区域内无“洞”，参数应满足及式(11)。基于该条件，由定理35TR3图2模式栅栏覆盖矩形区域与无(有)洞示意图图3多基地雷达2维布站方式示意图1278电子与信息学报第45卷TR5,STR5TR8TR5,STR5TR8分别给出及栅栏覆盖小矩形的长、宽计算方法。如图4所示，红色虚线围成模式及栅栏覆盖的最大覆盖矩形。TR5R1TR2=R4TR5=R1,R2,R4,R5dTR52(d+x)dsin+y+y0 x,y,y0定理3如图4(a)所示，设模式中，T到的距离均为，则模式的最大覆盖矩形长、宽分别为与。其中如定理1中所述。STR5R1,R2,R8dR3R7dsinR1TR2=R1TR8=STR5d+x+x22(dsin+y)x,y,x2定理4如图4(b)所示，设模式中T到的距离均为，T到,的距离均为，且，那么模式所覆盖的矩形区域长、宽分别为与。其中如定理1中所述。TR8R1,R2,R4,R5,R6,R8dR3,R7dsinR1TR2=R1TR2=R1TR2=R4TR5=R5TR6=R1TR8=TR82(d+x)2(dsin+y)x,y定理5如图4(c)所示，设模式中T到的距离均为，T到的距离 均 为，则模式所覆盖的矩形区域长、宽分别为与。其中如定理1中所述。TR8STR5S1=s,TR8S1=s,TR8,STR5S1,S1TR5TR3S2=s,TR5S2=s,TR5,TR3S2,S2本文采用若干个基本布站模式构建矩形栅栏覆盖：把矩形区域Q沿长边分割成若干子区域，子区域的宽度都相同，或仅有2个子区域的宽度与其他子区域的不同，而其余宽度都相同。对每个子区域构建子栅栏覆盖，且构成栅栏覆盖的布站序列有2种方式：第1种，栅栏覆盖由s个及至多1个构成，记为或，为方便分析，把由布站序列构成的子栅栏分别称为“1型I类”和“1型II类”子栅栏。第2种，栅栏覆盖是由s个及至多1个构成，记为或。类 似 地 将分别称为“2型I类”和“2型II类”子栅栏。lili+1为了构建连续无缝隙栅栏覆盖，本文采用以下布站方法：不失一般性，从下往上依次构建子栅栏覆盖，且部署线平行于矩形长边，仅部署接收器的部署线记为，即图3(a)中的“虚线”，同时部署发射器与接收器的部署线记为，即图3(a)中的lilili+1dsinp=0p=1“实线”；由 开始，与按的宽度依次相间部署，每条部署线上的以接收器开始从左到右依次部署接收器(发射器)。令表示整个栅栏仅由相同的1型子栅栏构成，表示由若干1型与1个2型子栅栏构成。由下面的定理6确定部署线个数与整个栅栏的构成方式。d,x,y,y0q=(H y)/(2dsin)=H y 2qdsin定理6设如定理1所述，记，那么 yq+1liqli+1l1lq+1qp=0(1)若，则部署线包含条 和 条，以 开始，结束；此时整个栅栏由 个相同的1型子栅栏构成，有。y dsin+y0lili+1q+1l1lq+1q2dsindsinp=1(2)若，则部署线 与均为条，以 开始，结束；此时整个栅栏由个相同(宽度为)的1型子栅栏与一个宽度为的2型子栅栏构成，有。dsin+y0 02s部署线上共有发射器s个，当时，共有接收器个，当时，共有接收器个。0 02s+1(2)若，则子栅栏为1型II类或者2型II类，此时；部署线上共有接收器个；部署线上共有发射器s+1个，当时，共有接收器个，当时，接收器个。d+x+?x0 02s+2(3)若，则子栅栏为1型I类或2型I类，此时。部署线上共有接收器个，部署线上共有发射器s+1个，当时，接收器个，当时，接收器个。定理7证明与定理6类似，从略。4 优化模型与求解算法4.1 优化模型M1=s+tN1=7s+1+(s 1)sgn(x)+t(4+sgn(x)M2=s+tN2=4s+1+(s 1)sgn(x)+t(2+sgn(x)liNl=3s+2tli+1Ml=s+tNl=s+1+(s+t 1)sgn(x)cR=1依据上面的定理结论，本节构建矩形区域上2维布站问题的优化模型。1型子栅栏中发射器、接 收 器 个 数 M1,N1分 别 为,sgn()为符号函数；2型子栅栏中发射器、接收器个数分别为与；部署线上共有接收器的数量为个。部署线上有发射器、接收器数量分别为,个。不失一般性，假设接收器成本，若构建整个栅栏需要q个1型子栅栏，基于最小化布站成本的优化2维布站问题，有如式(13)优化数学模型mins,t,q,p,d,ctotal=qM1+N1 (q+p 1)Nl+pM2+N2s.t.2s(d+x)+t(d+x+?x0)L2y+2qdsin+p(dsin+y0 y)Hs,q N0,t,p 0,1,x,y,y0,?x0 0dmin d dmax,min max|(13)x,y,y0,?x0d,d,x,y,y0,?x0d,其中，N0为非负整数集合，如定理1所述。该优化模型为有约束的非线性规划模型，且约束条件也是非线性的，目标函数表达式中没有显含变量，但其值的大小却依赖于变量；约束条件中的变量也依赖变量。4.2 求解算法s,q,p,td,d,注意到，由于变量为非负整数变量，连续变量的取值范围是有限的，因此目标函数的值为整数(不妨假设 为自然数)，即目标函数是关于变量的“阶梯”函数。于是本文可以采用贪婪算法求解优化模型。算法的基本步骤：d,步骤1对变量分别按定步长在其取值范围内进行搜索；x,y,y0,?x0q,s,t,p步骤2按定理1，分别计算的值，并按照定理6,7计算变量的取值；d,ctotald,q,s,t,p步骤3对所有可能的，计算目标函数值，并确定其最小值及相应的变量。li+1d,值得注意的是，当x=0时，部署线上的两个相邻发射器之间只有1个接收器，而且它们共用该接收器；否则，有2个接收器各自独立分别与发射器耦合。在第1步按定步长搜索变量所有可能的取值，因此算法的复杂度为O(n2)。5 仿真实验及结果分析Imax=3.52km=1,30,80L=100 km现有相关文献中，文献17所提方法的优化结果最好，因此本节通过仿真实验对比本文方法与文献17方法的优化结果。仿真实验的基本条件同文献17，假设其他参数为：最大探测阈值,，栅栏长度，宽度H由5km增加到25km，变化步长为1km。定义两种优化方法所得布站参数的变化率 为=(1 2)/1 100%(14)1,2其中，分别是按照文献17与本文方法得到的布站参数。当该参数表示布站成本时，由式(14)可得布站成本变化率曲线，如图5所示。=30,80H=9,=80=1由图5(a)可知，当时，成本变化率大于0，且下降比率均在20%以上，最高可达48.19%()。这说明本文方法的部署成本更低。当 值较大时，本文方法的优化结果更好，这表明本文方法可以充分发挥发射器的覆盖效率。而当，本文方法明显不如文献17，这是因为从布站花费角度来说，此时发射器与接收器成本相同，无需多使用接收器以降低布站总成本。这种情况下本文方法仍使用1个发射器与多个接收器共同建立栅栏覆盖，消耗了更多的接收器，造成布站总成本增大。但实际中发射器成本远要高于接收器，因此本文方法在实际情况中能有效减少布站成本。1,2当分别表示发射器、接收器与部署线数量时，由式(14)可得相应参数的变化率曲线，如图6所示。由图6(a)可知，在=1,30,80的情况下，发射器变化率始终大于0，至少可减少24%，最高可减少60%，这说明本文方法所需发射器数量更少。在电子战中，有源发射器易被侦测定位和受反辐射导弹攻击，而本文方法显著地减少了发射器的使用，因此能够提高雷达系统的生存能力。1280电子与信息学报第45卷=80从图6(b)可知相比于文献17方法，本文方法所需的接收器数量有增有减。总体来说，本文方法的接收器数量比文献17方法要多，变化率甚至高达到200%以上，但是当 较大时，比如时，文献17中比本文方法使用更多的接收器，这是因为此时为了降低总布站成本，只有尽可能多地使用接收器，但是由文献17的研究讨论可知，在基本模式中越远离发射器的接收器，其栅栏覆盖效率就越差，因而文献17中使用接收器数量比本文方法要多。由图6(c)可知，本文方法的部署线数量大于文献17。这是因为本文方法要考虑相邻部署线之间雷达发射器与接收器的耦合，相邻部署线之间的距离不能太大，而文献17不考虑相邻部署线之间雷达发射器与接收器的耦合，仅仅考虑同条部署线上雷达发射器与接收器的耦合。但当 较大时，比如=80时，大部分情况下，本文方法布部署线数量不多于文献17，这是由于部署线的多少与栅栏的宽度密切相关。因此影响总成本的主要因素为栅栏宽度与部署线的布站方式。图7表明随着 的增大，发射器数量具有减少的趋势，而接收器与部署线的数量具有增大趋势。这=30,80是因为当 较大时，发射器布站成本远大于接收器，为了取得较小的布站费用，需要减少使用发射器，而多用接收器。因此需要减少子栅栏的宽度，即增加了部署线的数量。而且从图7可知当时，发射器、接收器以及部署线数量几乎完全相同。这表明发射器、接收器以及部署线的数量是关于 的阶梯函数。6 结论针对双基地雷达栅栏覆盖中的布站优化问题，本文提出了一种利用相邻部署线上发射器和接收器配合的2维布站方法。本方法可以充分发挥发射器的覆盖作用，提高发射器的使用效率。仿真结果和分析表明，本文方法与现有相关方法相比，布站成本花费更低、发射器需求更少。从经济性和安全性来说，本文方法可以节省部署成本，提升雷达系统在电子战中的生存概率。附录 A定理1的证明|TA|R1A|=|TA|R2A|=l2max|R2A|=|R1A|如图2(a)所示，覆盖边界上一点A满足，符号表示两点间欧氏距离，因此。即点A在角=1,30,80图5时部署成本变化率示意图图6发射器、接收器及部署线变化率示意图第4期李海鹏等：双基地雷达栅栏覆盖的二维布站优化方法1281R1TR2|R1B|=xR1TA=/2|TR1|=|TR2|=d|R1A|=x2+(d+x)2tan2(/2)|TA|=(d+x)/cos(/2)|TA|R1A|=l2max0 d lmaxcos(/2)/sin(/2)x 0 x=0 xdd 0|x|cos(/2)lmax0(d cos(/2)/sin(/2)lmax0 x cos(/2)lmax的 角 分 线 上，记，因 此，又由于，于是，由方程整理可得定理1式(4)成立。进一步由式(4)可得，当且仅当时，。特别地，当不等式取等号时，成立。从式(4)可得，与呈 反 比 关 系。令，可 得。因此当时，。y1|DC|=y1(T,R2)|TC|=(dsin+y1)2+(d+x)2|R2C|=y21+(d dcos+x)2下 面 证 明满 足 定 理 1 的 式(5)。记，对于双基地雷达覆盖区域边界上的一点C，可得：，于是由雷达方程可得式(5)成立。y2y2,?x?x2+(y2+dsin)2(dcos?x)2+y22=l4max?x2+(y2+dsin)2(?x2+y22)=l4max?x=(dcos)/2接着证明满足式(6)。记分别为点E到直线R3R2和TR3的距离，且点E是双基地雷达(T,R2)和(T,R3)覆盖区域边界的交点，因此有和成立。进一步可得。因此式(6)成立。y0=|GF|,|TG|=x1y0=min(d+x)tan(/2),l2max d2/4|TF|=x21+y20|R3F|=x21+(y0+dsin)2x1x2l(W)=(dsin+y)2+x22y2+x22记，由图2(a)可知：，点F在雷达(T,R3)所覆盖的区域边界上，,。整理可得 满足式(8)。记点W到直线TZ的距离为，点W在雷达对(T,R3)的覆盖区域边界上，此处的探测值满足：。整理可得式(9)成立。定理1证毕。定理2的证明(1)与定理1证明类似，从略。y2 0Q(dcos/2,dsin)|TQ|R3Q|l2maxdcosdcos22/4+d2sin2 2l2max0 d(2/cos41+3sin2)lmax(2)要使成立，即图2(a)中的点E须位于接收器R3R2所在直线的上方，因此必须在雷达(T,R3)覆盖区域内，于是有。整理可得.因 此 有。y1 0 x 00d1/(1 cos41+sin2)lmax(3)要使()，则点H在模式TR3覆盖区域内，于是有。定理2证毕。参 考 文 献MISHRATK,SADHUJ,andKUMARA.Boundarydetectionindynamicwirelesssensornetworksusingconvexhull techniquesC.2020 IEEE Calcutta Conference(CALCON),Kolkata,India,2020:368372.doi:10.1109/CALCON49167.2020.9106533.1WANG Changqing,WANG Bang,and LIU Wenyu.Movementstrategiesforimprovingbarriercoverageinwireless sensor networks:A surveyC.The 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