高三数学平面向量一轮复习资料.doc

纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行

向量
一．知识清单
向量有关概念
1．有向线段： 叫做有向线段，它包含 三个要素
2．向量： 叫做向量
3．向量的长度（或模）： 就是此向量的长度
4．向量的表示： 表示向量，如
5．零向量： 叫做零向量，记作
6．单位向量： 叫做单位向量
7．平行向量： 叫做平行向量（也叫做共线向量）。如向量与平行（或共线），记作
8．相等向量： 叫做相等向量。如果向量与相等，记作=
二．基础训练
1．在下列各命题中，真命题为（ ）
A 两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
B 模为0的向量与任一向量平行
C 向量就是有向线段
D =是的必要不充分条件
2．下列命题中，假命题是（ ）
A 向量与向量长度相等
B 两个相等向量若起点相同，则终点必相同
C 只有零向量的模等于0
D 共线的单位向量相等
3．已知下列命题：①a=b,b=c,则a=c; ②若a//b,b//c则a//c；③若a=b,则a//b; ④若a//b,则a=b.其中命题正确的序号是（ ）
A ①③ B ②③ C ④③ D ①②
4．在四边形ABCD中， ，且，则四边形ABCD是
5．如图，D、E、F分别是的三边BC、CA和AB的中点，试写出：
A
（1）与平行的向量；
F
E
（2）与相等的向量；

C
D
B

三．强化训练
1．下列说法正确的是（ ）
A 方向相同或相反的向量是平行向量
B 零向量的长度是0
C 长度相等的向量叫相等向量
D 共线向量是在一条直线上的向量

2．下列命题中，真命题的个数为（ ）
① 若，则=或=
② 若，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点
③ 若=，，则=
④ 若，，则
A 4 B 3 C 2 D 1

3．下列命题，正确的是（ ）
A
B
C
D

4．如图，ABCD是边厂为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为的向量个数是
D
C
B
A

向量的加法与减法
一． 知识清单
1． 向量加法的定义
已知向量a、b，在平面内任取一点A作a，b，则向量 叫做a与b的和，记作 ，既a+b= =，如图
a
b
求两个向量和的运算，叫做 。
对于零向量与任一向量a，任然有0+a=a+0= 。
a+b
向量加法有 法则与 法则。
（1）向量加法的三角形法则
根据向量加法的定义求向量的方法，叫向量加法的三角形法则，使用三角形法则特别要注意“首尾相接”，具体做法是：把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示（其中后面向量的起点与前一个向量的终点重合，既用同一个字母来表示），则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。如a=,b=,c=则a+b+c=。
（2）向量加法的平行四边形法则
a
b
向量加法还可以用平行四边形法则：先把两个已知向量的起点 到同一点，再以这两个已知向量为 作平行四边形，则 就是这两个已知向量的和。
以点A为起点作向量a,b,以AB、AD为邻边作ABCD。则以A为起点的对角线就是a与b的和，记作a+b=
向量的加法满足交换律、结合律
（1）交换律： 。
（2）结合律： 。
以上运算对多个向量也是成立的
2． 向量的减法
a
b
a
b
a+b
O
A
1．相反向量：与a 的向量，叫做a的相反向量，记作 。零向量的相反向量仍是 。
2．向量的减法：向量a加上向量b的 ，叫做a与b的差，记作：a-b。求两个向量差的运算，叫做 。已知a、b，如图，在平面内任取一点O，作a，b,则 =a-b,既a-b可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量，如图。
（1）-(-a)=a;
（2）a+(-a)=(-a)+a=0
（3）a、b为相反向量，则a=-b,b=-a,a+b=0;
（4）差向量是由减向量的终点指向被减向量的终点。
B
3．两个向量的和与差仍是
二．基础训练
1．化简以下各式：（1）；（2）；（3）
（4），结果为零向量的个数是（ ）
A
B
C
D
A 1 B 2 C 3 D 4

2．已知，则的取值范围是

3．在如图所示的四边形ABCD中，设a，b，则等于
4．设a、b是非零向量，则“”成立的充要条件是（ ）
A a、b方向相同 B a、b方向相反
C a=b D

A
M
B
O
5．在矩形ABCD中，，，则向量（）的长度等于

6．如图M是线段AB的中点，求证：对于任意一点O，成立。

7． 在平行四边形ABCD中，若，则必有（ ）
A B
C ABCD是矩形 D ABCD是正方形

A
B
C
D
三．强化训练
1．在四边形ABCD中，，试判断四边形的形状

2．如图，在四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A B
C D

A
B
D
C
3．在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则 （用a，b表示）。

4．如图所示，D是的边AB上的中点，则向量等于（ ）
A B
C D

5．给出下列命题：（1）若向a与b平行，则a与b方向相反或者相同；（2）中，必有；（3）四边形ABCD是平行四边形的充要条件是；（4）若非零向量a与b的方向相同或相反，则a+a-b与a、b之一方向相同。其中正确的是（ ）
A （1）（2） B （3）（4） C （1）（4） D （2）（3）

实数与向量的积
一． 知识清单
1. 实数与向量的积的定义
实数与向量a的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：
（1） ；
（2）当时，a的方向与a的方向 ；当时，a的方向与a的方向
；时，a= 。
2. 实数与向量的积的运算律：设，则
（1） ；
（2）a= ；
（3）（a+b）= ；
3．两个向量共线的充要条件
向量b与非零向量a共线的充要条件是 ，使得b=a
4. 平面向量基本定理
如果是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，
，使得
5．基底
用来表示某一平面内任一向量的一对不共线的向量，叫做 。
6．三点共线的充要条件
不共线，三点A、B、P共线的充要条件是
二． 基础训练
1．已知a=,b=,则向量a+2b与2a-b（ ）
A 一定共线 B 一定不共线 C 仅当共线时共线 D 以上均不成立
2．在ABCD中，AC与BD交于点M，若设a，b，则下列选项中与a+b相等的向量是（ ）
A B C D
3．设四边形ABCD中，有，且，则这个四边形是（ ）
A 平行四边形 B 矩形 C 等腰梯形 D 菱形
4．已知向量不共线，实数x,y满足，则x-y的值等于（ ）
A 3 B -3 C 0 D 2
5．若M是的重心，则下列各向量中与共线的是（ ）
A B
C D
6．若，b与a的方向相反，且，则a= b
7．已知向量不共线
（1）若，，，求证A、B、D三点共线；
（2）向量与共线，求实数的值
三．强化训练
1．已知向量a 、b且a+2b，5a+6b，7a2b，则一定共线的三点是（ ）
A A、B、D B A、B、C C C、B、D D A、C、D
B
C
D
A
2．如图D是的边AB上的中点，则向量（ ）
A B
C D
A
O
M
N
P
B
3．如图，在中，a，b,M为OB的中点，N为AB的中点，P为ON、AM的交点，则等（ ）
A ab B ab
C ab D ab
O
B
A
P
4．如图所示），已知，用、表示，则等于（ ）
A B
C D

平面向量的数量积及运算率
一． 知识清单
１． 向量a与b的夹角
两个非零向量a和b，作a， b，则叫做　　　　　　　
当a与b　　　　　；当 a与b　　　　　。
２． 向量a与b垂直
如果a与b的夹角是，叫做　　　　　，记作ab
３． 向量a与b的数量积
两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量，叫做　　　　　　，记作，既＝　　　　　　　。规定：零向量与任一向量的数量积为０。两个向量的数量积是一个　　　　量，这个　　　　　量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。
４． 向量b在a方向上的投影
若向量a与b的夹角是，则　　　　　　　叫做向量b在a方向上的投影。当为　　　角时，它是正值；当为　　　角时，它是负值；当　　　时，它是０；当　　　时，它是；当　　　时，它是。
二． 基础训练
１． 已知，在方向上的投影是，则为　　　　　　
２． 在边长为２的等边三角形中，的值是　　　　　
３． 已知，与的夹角为，且（＋２）（－３）＝，则为
４． 设、是夹角为的单位向量，则２＋和３－２的夹角为
５． 若，则三角形为　　　　　　三角形。
６． 设＝＝，则 ＝　　　　　　　　
７． 若向量、、满足＋＋＝，且，＝１，＝４，则＋＋＝　　　　　　

三． 强化训练
１．已知向量与的夹角为，，，则等于

２．已知向量、满足，＝４，且＝２，则与的夹角为

３．若与－都是非零向量，则“＝”是“（－）”的（　　）
Ａ　充分而不必要条件　　　　　Ｂ　必要而不充分条件
Ｃ　充分必要条件　　　　　　　Ｄ　既不充分也不必要条件

４．已知非零向量与满足且，则三角形为（　　　）
Ａ　三边不相等的三角形　　　　Ｂ　直角三角形
Ｃ　等腰非等边三角形　　　　　Ｄ　等边三角形

５．如图所示，已知正六边形，下列向量的数量积最大的是（　　　）

Ａ　
Ｂ　

Ｃ　

Ｄ　

平面向量的坐标运算
一． 知识清单
１． 向量的坐标运算
在直角坐标系内，分别取与轴、轴　　　　　i、j作为基底，对于任一向量a，有且只有一对实数、，使得a=i+j，我们把叫做向量a的（直角）坐标，记作a=，其中叫做　　　　　，叫做　　　　　　。
２． 平面向量的坐标运算
设a=，b＝，则
（１）a＋b＝　　　　　　　　　　；
（２）a－b＝　　　　　　　　　　；
（３）a＝　　　　　　　　　　；
３．向量平行的坐标表示
设向量a＝，b＝，且b０，则ab的充要条件是　　　　　　　
４．向量的坐标与点的坐标间的关系
　（１）若点Ａ的坐标为Ａ，则向量的坐标为＝。其中Ｏ为原点，也就是说，点Ａ的坐标等于　　　　　　。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用　　　　　　唯一表示。
　（２）若点Ａ，Ｂ，则＝　　　　　　　　　，既一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的　　　　　　　　的坐标减去　　　　　　的坐标。
二．基础训练
１．a＝，b＝，则３a＋b＝　　　　　　　
２．已知Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线，且Ａ，Ｂ，若Ｃ点的横坐标为６，则Ｃ点的纵坐标是　　　　　　　

３．设向量a＝，b＝，c＝，若表示向量４a、４b－２c、２(ac)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d的坐标为　　　　　　　
４．已知a＝，b＝，且２a＋２b与a－２b平行，则等于　　　　　　
５．设a＝，b＝，ab，则锐角为　　　　　　。
６．已知ABCD的对角线交于Ｏ，且求的坐标
７．设Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点坐标依次为、、、，则四边形ABCD为（　　　）
Ａ　正方形　　　Ｂ　矩形　　　　　Ｃ　菱形　　　　　Ｄ　平行四边形
三．强化训练
１．已知，且Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线，则　　　　　　
２．（已知向量a＝，b＝且ab则
３．设向量a＝，b＝。若表示向量４a、３b－２a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为　　　　　　　
４．已知点和向量a＝，若３a　，则点Ｂ的坐标为　　　
５．已知向量a＝，b＝，c＝，且c＝a＋b，则、的值分别为　　　　　　　。

平面向量数量积的坐标运算
一． 基础知识
１． 两个向量数量积的坐标表示
设，，则＝　　　　　　
２． 向量的长度
设，则　　　　　
３． 平面上两点距离公式
设，，则＝　　　　　　　　
４． 两个非零向量垂直的条件
设，，则　　　　　　　　
　　注意：若是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，则＝　　　　，＝＝　　　　，＝　　　　　
二． 基础训练
１． 若，向量是垂直于的单位向量，则等于　　　　
２． 若，，则在的方向上的投影为　　　　　　
３． 已知向量，，如果向量＋与垂直，则的值为　　　　　
４． 已知，，，为线段的中点，则向量与的夹角为　　　
５． 已知，，，四点，则四边形是　　　　　　
６． 已知向量，，则的最大值为　　　　　
７． 已知是三角形三内角，向量，，且＝１，求角
三． 强化训练
１．已知向量，是不平行于轴的单位向量，且＝，则等于　　　　　

２．已知向量，，，若（＋）＝，则与的夹角为　　　　　　

３．与向量，的夹角相等，且模为１的向量是　　　　

４．在三角形中，，，则的值是　　

５．已知向量，，
（１）若，求
（２）求的最大值

6．在直角坐标系中，已知点和点，其中，若向量与垂直，求的值

平移
一． 基础知识
１． 图形的平移
设是坐标平面内的一个图形，将上所有点按照同一方向，移动同样长度，得到图形的过程叫做　　　　　　　　　。
２． 点的平移
设是图形上的任意一点，它在平移后图形上的对应点为，且设的坐标为则　　　　　　　。他反映了图形中的每一点在平移后的　　　　　　　
　　　与　　　　　　　间的关系。
二． 基础训练公式
１． 点平移后变成，则坐标原点平移后对应的坐标为　　　　　
２． 已知，则向量按向量平移后得到的向量是　　　　
３． 将函数的图象按平移后得到的解析式为　　　　　
４． 将函数的图象沿轴方向平移，使其通过原点，求平移后的函数解析式。
５． 把一个函数的图象按平移后得到的图象的函数解析式为，那么原来函数的解析式为　　　　　
６． 已知等腰三角形中，将三角形按平移后形成三角形，若，则点坐标为　　　　　
三． 强化训练
１．函数图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则可以是（　　　）
Ａ　　　　Ｂ　　　　Ｃ　　　　Ｄ　
２．将函数的图象沿向量平移，则平移后的图象所对应的函数解析式为（　　　）
Ａ　　　　　　Ｂ　　　　
Ｃ　　　　　　　　Ｄ　
３．把函数的图象按向量平移后，得到的图象，且，，＝４，则＝　　　　

４．为了得到函数的图象。只需把函数的图象所有的点（ ）
A 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

5．将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）

A
O

B

C
D
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