工程数学(复变函数积分变换场论).doc

资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 第三章 复变函数的积分第一节 复变函数积分的概念第二节 柯西-古萨基本定理第三节 原函数与不定积分第四节 柯西积分公式第五节 解析函数与调和函数的关系 第一节复变函数积分的概念第一节 复变函数积分的概念第三章一复变函数积分的定义复变函数的积分二积分存在的条件及其计算法三积分的性质吴新民- 2 - 第一节复变函数积分的概念一复变函数积分的定义第三章设 C是复平面一条光滑( 或按段光滑) 的曲线, 如果选定 C的两个可能的方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们能够将 C理解为带有方向的曲线, 称复变函数的积分为有向曲线, 如果 C是一条以 A与 B为端点的有向曲线, 如果从A到 B为 C的正向, 则称从 B到 A方向为正向的有向曲线称为 C反向曲线, 记为 C -。除特别声明外, 有向曲线C的正向总是指起点到终点的方向, 对一简单闭曲线总是指逆时针方向。吴新民- 3 - 第一节复变函数积分的概念定义设函数 w = f (z)在区域 D有定义, C为D内一条以 A为起点 B为终点的光滑的有向曲线, 第三章如果将曲线 C从起点到终点依次任意分成 n个小弧段, 分点为A = z0,z1,z2,L,zk-1,zk,L,zn = B复变函数的积分在每个小弧段 zk-1zkz ,任取一点 作和式knnf (zk)(zk - zk-1) = f (zk)Dzkk=1k=1记 Dsk为小弧段z z小的弧长, d = maxDsk,当 dk-1 k1kn趋向于零时, 如果对 C的无论怎样分法及 z在小k弧段上的无论怎样取法, 和式有唯一的极限, 则称吴新民- 4 - 第一节复变函数积分的概念极限值为函数 f (z)在 C上的积分, 记作 f (z)dz。即nC(3.1.1)f (z)dz = lim f (zk)Dzk第三章d0k=1C如果 C是闭曲线, 则我们将沿闭曲线的积分记为: 复变函数的积分f (z)dzC吴新民- 5 - 第一节复变函数积分的概念二积分存在的条件及其计算法设光滑曲线 C是由方程: z = z(t) = x(t)+ iy(t) t a,b(b,a)第三章确定, 其正向是从起点 A到终点B的方向, 其中a为A b起点参数, 是终点 B的参数, 且复变函数的积分z(t) = x(t)+ iy(t) 0如果函数 f (z) = u(x, y)+ iv(x, y)在区域 D上连续, 即 u(x, y)、 v(x, y)为D上的连续函数。设 zk = xk + ihk由于Dz = zk - zk-1= xk - xk-1 + i( yk - yk-1) = Dxk + iDyk吴新民- 6 - 第一节复变函数积分的概念因此nn f (z )Dz = u(xk,hk)Dxk - v(xk,hk)Dykkkk=0k=1第三章n+ i v(xk,hk)Dxk + u(xk,hk)Dykk=1复变函数的积分由线积分存在定理得, 当 d 0上面的两个和式的极限都是存在的, 且有 f (z)dz = udx - vdy + i vdx + udy (3.1.2)CCC(3.1.2)表明: 1) 当 f (z)是连续函数, C是光滑曲线, 则 f (z)dzC一定存在; 吴新民- 7 - 第一节复变函数积分的概念2) 计算复函数的积分能够转化为计算两个平面上对坐标的曲线积分。第三章根据对坐标的曲线积分的计算法, 有 u(x, y)dx - v(x, y)dyC复变函数的积分b= u(x(t), y(t)x(t)- v(x(t), y(t)y(t)dta v(x, y)dx + u(x, y)dyCb= v(x(t), y(t)x(t)+ u(x(t), y(t)y(t)dtab f (z)dz = f (z(t)z(t)dt(3.1.3)因此aC吴新民- 8 - 第一节复变函数积分的概念如果 C是分段光滑的有向曲线, 即 C是由几段光滑的有向曲线C1,C2,L,Cm依次首尾相接而构成的, 则第三章我们规定: m f (z)dz = f (z)dz(3.1.4)复变函数的积分k=1CCk例1计算积分 zdz,其中 C为C1) 从原点 O沿曲线z = t + ti到点 1+ i;2= 2 + it到点2) 从原点 O沿曲线 z t1+ i;3) 从原点O沿实轴到点1, 再平行于虚轴到点1+ i。吴新民- 9 - 第一节复变函数积分的概念1 zdz (t it2) (1+ 2it)dt y= +解1) Cz = t + it 201= +2z t it)dt = iA 1+ i= (t - 2t3+ 3 it2第三章01 zdz =(t2 + it) (2t + i)dtOxB2) 复变函数的积分01C)dt = i= (2t3- t + 3 it203) C = C1 + C2, C1 : z = x,从 x = 0到 x = 1,到 y = 1。C2 : z = 1+ iy,从 y = 0 11zdz = zdz + zdz = xdx (1 iy)idy = i+ +00CCC21吴新民- 10 - 第一节复变函数积分的概念例2计算积分 zdz,其中 C为Ci到点 1+ i;z = t + t2O1) 从原点 沿曲线= 2 +第三章2) 从原点 O沿曲线 z t it到点1+ i;3) 从原点O沿实轴到点1, 再平行于虚轴到点1 + i。复变函数的积分y1zdz = -(t it2)(1+ 2it)dt解z = t + it 21) 0CA 1+ iz t= 2 + it= + i+ it2)dt 11= (t + 2t330Ox zdz =1(t2 - it)(2t + i)dt2) 0C)dt = 1- i1= (2t3+ t - it230吴新民- 11 - 第一节复变函数积分的概念C = C1 + C2,3) C1 : z = x,从 x = 0到 x = 1,第三章 C2 : z = 1+ iy,从 y = 0到 y = 1。 zdz = zdz + zdz复变函数的积分CCC2y1z = t + it 2z = t 2 + itA 1+ i101+ -= xdx (1 iy)idy0= 1+ iOxB吴新民- 12 - 第一节复变函数积分的概念例3设C为正向圆周 | z |= 1,计算: (x2 - y2 + 2xyi)dz;( y + xi)dz .1) 2) 第三章CC解利用 (3.1.2)与格林公式, 复变函数的积分= (x2- y2)dx - 2xydy1) 原式C+ i 2xydx + (x - y )dy = 02 2C 2) 原式= ydx - xdy + i xdx + ydyCC= -2pdz = dx + idy吴新民- 13 - 第一节复变函数积分的概念例4 设 C为正向圆周: | z - z0 |= r( 0),计算1(z - z0)n dzC第三章n为正整数。其中, 解设 C的方程为 z = z + reij, j2 ,p从 0 到 则复变函数的积分02p ireijdjr neinjdz(z z )- = 02p= ir1-ne-i(n-1)jdjn0C0因此, 当 n = 1时, dzz - z02p= idj = 2pi0C吴新民- 14 - 第一节复变函数积分的概念当 n 1时, dz(z z )-2p = ir1 n- -i(n-1)jdjen0第三章0Cin-12p (cos(n-1)j - isin(n-1)j)dj = 0=复变函数的积分r0即n = 1n 12pi1(z - z0)n dz =(3.1.5)0C吴新民- 15 - 第一节复变函数积分的概念三积分的性质 f (z)dz = - f (z)dz(3.1.6)(3.1.7)1) 第三章2) -CC af (z)dz = a f (z)dz, (a为常数)CC( f (z)+ g(z)dz = f (z)dz + g(z)dz (3.1.8) C复变函数的积分3) CC 4) | f (z)dz | | f (z)| ds(3.1.9)CC特别, 当曲线 C弧长为 L时, f (z)在 C上满足| f (z)| M则有| f (z)dz | ML(3.1.10)C吴新民- 16 - 第一节复变函数积分的概念(3.1.9)式的证明: 在 (3.1.1)式中, 由于| Dzk |表示zk-1第三章则Ds z到 zk的距离, 记 为 k-1到 zk的曲线段的弧长, knn | f (z )Dz | | f (zk)| Dskkk复变函数的积分k=1k=1两边取极限即得 (3.1.9)。吴新民- 17 - 第二节 柯西-古萨定理第二节柯西-古萨定理第三章一柯西-古萨定理复变函数的积分二复合闭路定理吴新民- 18 - 第二节 柯西-古萨定理一柯西-古萨定理设D为复平面上的单连通区域, f (z) = u+ iv为 D第三章上的解析函数, C为D内的一条正向简单闭曲线, 由上节公式 (3.1.2)知复变函数的积分 Cf (z) D f (z)dz = udx - vdy + i vdx + udyCC由于 在上解析, 从而在 D上即在 C所围的区内满足柯西黎曼条件: ux = v y, vx = -uy因此, 对上面的两个曲线积分使用格林公式可得吴新民- 19 - 第二节 柯西-古萨定理udx - vdy = (-vx - uy)dxdy = 0D1Cvdx + udy = 0第三章C即 f (z)dz = 0复变函数的积分C因此有定理( 柯西古萨基本定理) 如果函数 w = f (z)在单连通区域 B内解析, C是 B内的一条正向简单闭曲线, 则f (z)dz = 0(3.2.1)C吴新民- 20 - 第二节 柯西-古萨定理我们能够将柯西古萨基本定理作一修改: 如果函数w = f (z)在区域 B内解析, C是 B内的第三章一条正向简单闭曲线, 且所围的区域仍完全落在B内, f (z)dz = 0.则复变函数的积分C事实上, 我们能够将BC分成两个区域, 其中的一个为包含 C的单连通区域D ,在 D上对 C使用柯西古萨定理即可。DB吴新民- 21 - 第二节 柯西-古萨定理更一般可知: 设C为正向简单闭曲线, f (z)在C上及C内解析, 则第三章f (z)dz = 0C由此可得: 当 C是不经过且不包围点z0的一条正向简单闭曲线, 则复变函数的积分1(z - z0)n dz = 0(3.2.2)C吴新民- 22 - 第二节 柯西-古萨定理二复合闭路定理设 D为复平面的一个区域, f (z)在D内解析, C,C1第三章为 D内两条正向简单闭曲线, 且 C1在 C的内部, C,C1所围的区域仍完全落在 D的内部。作两条不相交的曲复变函数的积分 AA ,BB ,分别连线段接 C上点A到 C1 的一C1B BAAA ,点 C上的点 B到CB。因此C1上的一点D吴新民- 23 - 第二节 柯西-古萨定理 + = + + + f (z)dz=AnBA AB BBmAABmAAnBBC =+ + + +第三章 + B B AnBB n AA AA n BBmAA m BB m AC1=+复变函数的积分 BmAA m B B AnBB n A Amf (z)dz = 0由于 AmBB m A Am C1f (z)dz = 0AAB BC BnAA n B Bnn f (z)dz = f (z)dzD因此CC1吴新民- 24 - 第二节 柯西-古萨定理更一般, 我们有定理( 复合闭路定理) 设函数 f (z)在区域 D上解析, 第三章C,C1,L,Cn是 D内的互不相交的正向简单闭曲线, 且C1,L,Cn是落在 C的内部的互不包围的, C,C1,L,Cn所围的区域完全落在 D,则复变函数的积分n f (z)dz = f (z)dz(3.2.3)k=1CCkC1CC2C3吴新民- 25 - 第二节 柯西-古萨定理利用复合闭路定理和本章第一节的例4得: 对于任何一条包围点z0一条正向简单闭曲线 C,总可在其内部作一条正向圆周 Kr :| z - z0 |= r,第三章因此2pi n = 10 n 111(z - z0)Kr =n dz =(3.2.4)dz-n(z z )C0复变函数的积分由上节可知当 C是不经过且不包围点z0的一条正向简单闭曲线, 则1(z - z0)n dz = 0C吴新民- 26 - 第二节 柯西-古萨定理例计算下列积分3z - 2i dz1) 第三章其中C为正向圆周: | z -1|= 22-z izC复变函数的积分解 1) 3z - 2i 1 2= + , i ,0且 都位于| z -1|= 22- -z iz z i z的内部, 因此13z - 2iz2 - iz1dz= 2 z dz+z - i dzCCC= 4pi + 2pi = 6pi吴新民- 27 - 第二节 柯西-古萨定理1z2 - 3z - 4其中 C为正向圆周: | z |= 2dz2) C11 1 1= - ,z2 - 3z - 4 5 z 4 z 1第三章解- +复变函数的积分且 4位于 | z |= 2的外部, -1位于| z |= 2的内部, 1 11 1- 原式 =dz因此5 z - 4 5 z +1dzCC2pi 2pi= 0 - = -55吴新民- 28 - 第二节 柯西-古萨定理1其中 C为正向圆周: | z |= 23) 解(z -1)2 z dzC111 1第三章=2 - + ,(z -1)2z(z -1)-z 1 z复变函数的积分| z |= 2的内部, 0,1且 都位于1(z 1)-1z -11 原式 =dz -dz + z dz因此2CCC= 0 - 2pi + 2pi= 0吴新民- 29 - 第二节 柯西-古萨定理14)z2(z2 + 2z + 2) dz|z|=20,-1 i都位于 | z |= 2的内部, 解第三章-111z (z 2z 2)+ +AB dz = dz + 2 dz2222复变函数的积分zz=|z|=2=|z| 2|z| 2114CD+4dz +dzz +1- iz +1+ i|z|=2|z|=21 1-p + p + p = 0= 0 i i i2 2+Cz2(z +1+ i) +Dz2(z +1- i)吴新民- 30 - 第三节 原函数与不定积分第三节原函数与不定积分在单连通区域内, 由于在闭曲线上线积分为零和第三章线积分与路径无关是等价的, 因此我们有w = f (z)在单连通区域 B内解定理一如果函数复变函数的积分析, 则积分 f (z)dz与在B内的 C的路径无关, 仅与CC的起点和终点有关。由定理一, 如果函数 w = f (z)在单连通区域 B内解析, C是B内的任何一条以 z0为起点, z1为终点的有向曲线, 则我们能够记: 吴新民- 31 - 第三节 原函数与不定积分z f (z)dz = 1f (z)dzz0C如果我们让 z0在 B固定, z1 = z在 B变动, 如此可第三章得到一个定义在B上的单值函数: z复变函数的积分F(z) = f (z)dz(3.3.1)z0关于这个函数我们有: f (z)设函数在单连通区域 B内解析, 定理二则由(3.3.1)定义的函数仍为 B解析函数, 且F(z) = f (z)(3.3.2)其中 z0为 B内任意的一定点。吴新民- 32 - 第三节 原函数与不定积分( )f x证设z为区域B任意一点, 由于函数 在处连续, 因此对于任意给定的正数 e ,总存在正数 d,z时, 恒有| f (x)- f (z)| e ,现在 B内作第三章使当| z - x | d圆周K :| z - x |= d1 d, z 0 | z | ,由 D d (3.4.1)取 使得1Dz+Dzz复变函数的积分F(z + Dz)- F(z)= z f (x)dx - f (x)dxz00由于积分与路径无关, 我们上式的第一个积分的路径为先从z0出发沿第二个积分的路径到 z,再z + Dzz K沿直线到点 z + Dz,z0d1B吴新民- 33 - 第三节 原函数与不定积分z+Dz因此 F(z + Dz)- F(z) = f (x)dxzf (z)= D1z z+Dz f (z)dx由于第三章z因此复变函数的积分F(z + Dz)- F(z)Dz1z+Dzz- f (z)= Dz( f (x)- f (z)dx根据 (3.1.9)F(z + Dz)- F(z) - f (z)| | f (x)- f (z)| e有|Dz因此lim | F(z + Dz)- F(z) - f (z)|= 0DzDz0吴新民- 34 - 第三节 原函数与不定积分即F(z) = f (z)如果函数 j(z)在区域 B内的导数为 f (z)定义第三章j(z) = f (z),j(z) f (z)在区域 B上的一个即则称 为原函数。复变函数的积分zf (z)dz是函数 f (z)的一个原函数。定理二表明: z0容易证明: f (z)的任意两个原函数相差一个常数。因此, 我们定义: 设 F(z)为 f (z)的一个原函数, 称f (z)的原函数一般表示式F(z)+ C( 其中C为任意常数) 记作 f (z)dz ,即为 f (z)的不定积分, 吴新民- 35 - 第三节 原函数与不定积分 f (z)dz = F(z)+ C(3.3.3)利用任意两个原函数之间相差一个常数的性质, 能够第三章推出类似定积分的牛顿莱布尼茨公式的复函数积分的计算公式。复变函数的积分定理三如果函数 f (z)在单连通区域B内解析, G(z)为 f (z)的一个原函数, 则z1 f (z)dz = G(z )- G(z0)(3.3.4)1z0z ,z其中 为 B内的两点。0 1有了原函数、 不定积分和积分计算公式后, 复函数的积分能够像实函数的积分类似去计算。吴新民- 36 - 第三节 原函数与不定积分例1 计算积分i ze2zdzzcosz2dz2) 1) 01第三章解 1) ze2zdz = zde2z2= 12 ze2z - e2z1dz复变函数的积分21= 1ze2z e2z + C-2411ii 2sin z2 0i2) zcosz dz cosz2dz2 =2=200= 1 i(sin sin0)- = -12sin122吴新民- 37 - 第三节 原函数与不定积分( y3 - 3x2 y - i(3y2x - x3)dz例2计算积分C其中C为曲线z = t + it 2从原点到点1+ i一段。第三章解法一根据解析函数的充要条件知, 此积分的被复变函数的积分积函数是解析的, 因此是与路径无关的。选取积分路径 C1 : z = x , x从 0到1,C : z = 1+ iy , y从 0到1。2 原式 = +CC2111 = ix3dx + ( y3- 3y + i(1- 3y2)idy00i i 3i= + - -1+1 = -i4 4 2吴新民- 38 - 第三节 原函数与不定积分z + z z - z解法二令 x = , y =代入被积函数得被22i第三章积函数是 iz3 ,因此1+i原式 = iz3dz0复变函数的积分= 4i z4 1+i0i(1+ i)4 = -i=4吴新民- 39 - 第四节 柯西积分公式第四节 柯西积分公式第三章一柯西积分公式复变函数的积分二高阶导数公式吴新民- 40 - 第四节 柯西积分公式一柯西积分公式定理( 柯西积分公式) 设函数 f (z)在区域D内第三章解析, C是 D内的, 且其内部仍在 D内的正向简单闭曲线, z为 C的内部的任意一个定点, 则0复变函数的积分f (z0) =1 f (z) dz(3.4.1)2 i z zp -0C证明由于函数 f (z)在z0处C连续, 因此对任意给定的正数 e,总存在正数 当 | z z |d, - d时, 恒有0z0| f (z)- f (z0)| e,吴新民- 41 - 第四节 柯西积分公式现在C内作一圆周 K :| z - z0 |= R(0 R d ),由复合闭路定理知f (z)f (z) dz-z z0 第三章=dzz - zCC0Kf (z )f (z)- f (z0) dz复变函数的积分 R =dz+0K z0z - zz - z0K0Kf (z)- f (z0) dz= p +2 if (z )0z - z0K利用 (3.1.9)我们有| f (z)- f (z0)|ds 2pef (z)- f (z )z - z0dz |0| z - z0 |KK吴新民- 42 - 第四节 柯西积分公式因此得1 f (z) dz - f (z )| e|p -2 i z z0第三章C0由于 e是任意的, 上式的右端是与e无关的, 因此1 f (z) dz复变函数的积分 f (z0) =2 i z zp -C0公式 (3.4.1)称为柯西积分公式, 它表明一个解析函函数在一条封闭曲线C的内部任一个的函数值能够用C上的函数值表示。这是解析函数的又一特征。吴新民- 43 - 第四节 柯西积分公式z = z0 + Reij,- =特别取 C :| z z | R,在 (3,4.1)中令0则有12p第三章2pf (z0 + Reif )dff (z0) =(3.4.2)0这表明: 解析函数在圆心的函数值等于在圆周上的平复变函数的积分均值。吴新民- 44 - 第四节 柯西积分公式例1计算积分( 沿正向圆周) ezz - 2 dz1) |z|=4第三章ezz - 2解dz = 2piez= 2pie2z=2|z|=4复变函数的积分ezz(z + 2) dz2) |z-1|=2ez解法一由于 f (z) = z + 2在 | z -1| 2上解析, 因此ezzz + 2zdz = 2p i ezz + 2 z=0e = p i=dzz(z + 2)|z-1|=2|z-1|=2吴新民- 45 - 第四节 柯西积分公式zdzze11ze11e -解法二dz |z-1|=2z + 2 dzz(z + 2) 2z|z-1|=2|z-1|=2= 2pi 12 ez+ 0 = pi第三章z=0sin z复变函数的积分 z2 - 3z - 4 dz3) |z-2|=4解法一利用复合闭路定理得sin zsin zz +1 dzsin z z - 4 dz +dz =z 4-2- -z 3z 4z