工程数学(复变函数积分变换场论).doc

资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。

第三章 复变函数的积分
第一节 复变函数积分的概念
第二节 柯西----古萨基本定理
第三节 原函数与不定积分
第四节 柯西积分公式
第五节 解析函数与调和函数的关系

第一节
复变函数积分的概念
第一节 复变函数积分的概念
第三章
一复变函数积分的定义
复变函数的积分
二积分存在的条件及其计算法
三积分的性质
吴新民
- 2 -

第一节
复变函数积分的概念
一复变函数积分的定义
第三章设 C是复平面一条光滑( 或按段光滑) 的曲线,
如果选定 C的两个可能的方向中的一个作为正方向(或
正向), 那么我们能够将 C理解为带有方向的曲线, 称
复变函数的积分
为有向曲线, 如果 C是一条以 A与 B为端点的有向曲
线, 如果从A到 B为 C的正向, 则称从 B到 A方向
为正向的有向曲线称为 C反向曲线, 记为 C -。
除特
别声明外, 有向曲线C的正向总是指起点到终点的方
向, 对一简单闭曲线总是指逆时针方向。
吴新民
- 3 -

第一节
复变函数积分的概念
定义设函数 w = f (z)在区域 D有定义, C为
D内一条以 A为起点 B为终点的光滑的有向曲线,
第三章如果将曲线 C从起点到终点依次任意分成 n个小弧段,
分点为
A = z0,z1,z2,L,zk-1,zk,L,zn = B
复变函数的积分
在每个小弧段 zk-1zk
z ,
任取一点 作和式
k
n
n
å
å
f (zk)(zk - zk-1) = f (zk)Dzk
k=1
k=1
记 Dsk为小弧段
z z小的弧长, d = max{Dsk},
当 d
k-1 k
1£k£n
趋向于零时, 如果对 C的无论怎样分法及 z在小
k
弧段上的无论怎样取法, 和式有唯一的极限, 则称
吴新民
- 4 -

第一节
复变函数积分的概念
极限值为函数 f (z)在 C上的积分, 记作ò f (z)dz。即
n
C
(3.1.1)
å
ò
f (z)dz = lim f (zk)Dzk
第三章
d®0
k=1
C
如果 C是闭曲线, 则我们将沿闭曲线的积分记为:
Ñ
复变函数的积分
ò
f (z)dz
C
吴新民
- 5 -

第一节
复变函数积分的概念
二积分存在的条件及其计算法
设光滑曲线 C是由方程:
z = z(t) = x(t)+ iy(t) t Î[a,b]([b,a])
第三章
确定, 其正向是从起点 A到终点B的方向, 其中a为
A b
起点参数, 是终点 B的参数, 且
复变函数的积分
z¢(t) = x¢(t)+ iy¢(t) ¹ 0
如果函数 f (z) = u(x, y)+ iv(x, y)在区域 D上连续,
即 u(x, y)、 v(x, y)为D上的连续函数。设 zk = xk + ihk
由于
Dz = zk - zk-1
= xk - xk-1 + i( yk - yk-1) = Dxk + iDyk
吴新民
- 6 -

第一节
复变函数积分的概念
因此
n
n
å å
f (z )Dz = [u(xk,hk)Dxk - v(xk,hk)Dyk]
k
k
k=0
k=1
第三章
n
å
+ i [v(xk,hk)Dxk + u(xk,hk)Dyk]
k=1
复变函数的积分
由线积分存在定理得, 当 d ® 0上面的两个和式的极
限都是存在的, 且有
ò ò ò
f (z)dz = udx - vdy + i vdx + udy (3.1.2)
C
C
C
(3.1.2)表明:
1) 当 f (z)是连续函数, C是光滑曲线, 则ò f (z)dz
C
一定存在;
吴新民
- 7 -

第一节
复变函数积分的概念
2) 计算复函数的积分能够转化为计算两个平面上
对坐标的曲线积分。
第三章根据对坐标的曲线积分的计算法, 有
ò u(x, y)dx - v(x, y)dy
C
复变函数的积分
b
ò
= [u(x(t), y(t))x¢(t)- v(x(t), y(t))y¢(t)]dt
a
ò v(x, y)dx + u(x, y)dy
C
b
ò
= [v(x(t), y(t))x¢(t)+ u(x(t), y(t))y¢(t)]dt
a
b
ò ò
f (z)dz = f (z(t))z¢(t)dt
(3.1.3)
因此
a
C
吴新民
- 8 -

第一节
复变函数积分的概念
如果 C是分段光滑的有向曲线, 即 C是由几段光
滑的有向曲线C1,C2,L,Cm依次首尾相接而构成的, 则
第三章
我们规定:
m
å
ò ò
f (z)dz = f (z)dz
(3.1.4)
复变函数的积分
k=1
C
C
k
例1
计算积分ò zdz,其中 C为
C
1) 从原点 O沿曲线
z = t + t
i到点 1+ i;
2
= 2 + it到点
2) 从原点 O沿曲线 z t
1+ i;
3) 从原点O沿实轴到点1, 再平行于虚轴到点
1+ i。
吴新民
- 9 -

第一节
复变函数积分的概念
1
ò ò
zdz (t it2) (1+ 2it)dt y
= +
解
1)
C
z = t + it 2
0
1
= +
2
ò
z t it
)dt = i
A 1+ i
= (t - 2t
3
+ 3 it
2
第三章
0
1
ò ò
zdz =
(t2 + it) (2t + i)dt
O
x
B
2)
复变函数的积分
0
1
C
ò
)dt = i
= (2t
3
- t + 3 it
2
0
3) C = C1 + C2, C1 : z = x,从 x = 0到 x = 1,
到 y = 1。
C2 : z = 1+ iy,从 y = 0
ò ò ò
1
1
zdz = zdz + zdz =
ò ò
xdx (1 iy)idy = i
+ +
0
0
C
C
C
2
1
吴新民
- 10 -

第一节
复变函数积分的概念
例2
计算积分ò zdz,其中 C为
C
i到点 1+ i;
z = t + t
2
O
1) 从原点 沿曲线
= 2 +
第三章2) 从原点 O沿曲线 z t it到点1+ i;
3) 从原点O沿实轴到点1, 再平行于虚轴到点
1 + i。
复变函数的积分
y
ò
1
ò
zdz = -
(t it2)(1+ 2it)dt
解
z = t + it 2
1)
0
C
A 1+ i
z t
= 2 + it
= + i
+ it
2
)dt 1
1
ò
= (t + 2t
3
3
0
O
x
ò zdz =
1
(t2 - it)(2t + i)dt
ò
2)
0
C
)dt = 1- i
1
ò
= (2t
3
+ t - it
2
3
0
吴新民
- 11 -

第一节
复变函数积分的概念
C = C1 + C2,
3)
C1 : z = x,从 x = 0到 x = 1,
第三章 C2 : z = 1+ iy,从 y = 0
到 y = 1。
ò ò ò
zdz = zdz + zdz
复变函数的积分
C
C
C
2
y
1
z = t + it 2
z = t 2 + it
A 1+ i
1
ò
0
1
ò
+ -
= xdx (1 iy)idy
0
= 1+ i
O
x
B
吴新民
- 12 -

第一节
复变函数积分的概念
例3设C为正向圆周 | z |= 1,计算:
Ñ
Ñò
ò
(x2 - y2 + 2xyi)dz;
( y + xi)dz .
1)
2)
第三章
C
C
解利用 (3.1.2)与格林公式,
ò
复变函数的积分
= (x
2
- y
2
)dx - 2xydy
1) 原式
C
ò
+ i 2xydx + (x - y )dy = 0
2 2
C
ò ò
2) 原式= ydx - xdy + i xdx + ydy
C
C
= -2p
dz = dx + idy
吴新民
- 13 -

第一节
复变函数积分的概念
例4 设 C为正向圆周: | z - z0 |= r(> 0),计算
1
(z - z0)
Ñ
ò
n dz
C
第三章
n
为正整数。
其中,
解设 C的方程为 z = z + reij, j
2 ,
p
从 0 到 则
复变函数的积分
0
2p ireijdj
r neinj
dz
(z z )
-
Ñ
ò = ò0
2p
ò
= ir1-ne-i(n-1)jdj
n
0
C
0
因此, 当 n = 1
时,
dz
z - z0
2p
ò
ò
= idj = 2pi
0
C
吴新民
- 14 -

第一节
复变函数积分的概念
当 n > 1
时,
dz
(z z )
-
Ñ
2p
ò ò
= ir1 n
- -i(n-1)j
dj
e
n
0
第三章
0
C
i
n-1
2p (cos(n-1)j - isin(n-1)j)dj = 0
ò
=
复变函数的积分
r
0
即
n = 1
n > 1
2pi
1
(z - z0)
Ñ
ò
n dz =
(3.1.5)
0
C
吴新民
- 15 -

第一节
复变函数积分的概念
三积分的性质
ò ò
f (z)dz = - f (z)dz
(3.1.6)
(3.1.7)
1)
第三章
2)
-
C
C
ò ò
af (z)dz = a f (z)dz, (a
为常数)
C
C
( f (z)+ g(z))dz = f (z)dz + g(z)dz (3.1.8)
ò
ò ò
C
复变函数的积分
3)
C
C
ò ò
4) | f (z)dz |£ | f (z)| ds
(3.1.9)
C
C
特别, 当曲线 C弧长为 L时, f (z)在 C上满足
| f (z)|£ M
则有
ò
| f (z)dz |£ ML
(3.1.10)
C
吴新民
- 16 -

第一节
复变函数积分的概念
(3.1.9)式的证明: 在 (3.1.1)式中, 由于| Dzk |表示
zk-1
第三章
则
Ds z
到 zk的距离, 记 为 k-1到 zk的曲线段的弧长,
k
n
n
å å
| f (z )Dz |£ | f (zk)| Dsk
k
k
复变函数的积分
k=1
k=1
两边取极限即得 (3.1.9)。
吴新民
- 17 -

第二节 柯西---古萨定理
第二节柯西--古萨定理
第三章
一柯西--古萨定理
复变函数的积分
二复合闭路定理
吴新民
- 18 -

第二节 柯西---古萨定理
一柯西--古萨定理
设D为复平面上的单连通区域, f (z) = u+ iv为 D
第三章
上的解析函数, C为D内的一条正向简单闭曲线, 由上
节公式 (3.1.2)知
复变函数的积分
Ñ Ñ Ñ
C
f (z) D
ò ò ò
f (z)dz = udx - vdy + i vdx + udy
C
C
由于 在上解析, 从而在 D上即在 C所围的区
内满足柯西－黎曼条件:
ux = v y, vx = -uy
因此, 对上面的两个曲线积分使用格林公式可得
吴新民
- 19 -

第二节 柯西---古萨定理
Ñ
òò
ò
udx - vdy = (-vx - uy)dxdy = 0
D
1
C
Ñ
ò
vdx + udy = 0
第三章
C
Ñ
ò
即 f (z)dz = 0
复变函数的积分
C
因此有
定理( 柯西－古萨基本定理) 如果函数 w = f (z)
在单连通区域 B内解析, C是 B内的一条正向简单闭
曲线, 则
Ñ
ò
f (z)dz = 0
(3.2.1)
C
吴新民
- 20 -

第二节 柯西---古萨定理
我们能够将柯西－古萨基本定理作一修改:
如果函数w = f (z)在区域 B内解析, C是 B内的
第三章
一条正向简单闭曲线, 且所围的区域仍完全落在B内,
Ñ
ò
f (z)dz = 0.
则
复变函数的积分
C
事实上, 我们能够将B
C
分成两个区域, 其中的一个
为包含 C的单连通区域D ,
在 D上对 C使用柯西－古萨
定理即可。
D
B
吴新民
- 21 -

第二节 柯西---古萨定理
更一般可知: 设C为正向简单闭曲线, f (z)在C上
及C内解析, 则
第三章
Ñ
ò
f (z)dz = 0
C
由此可得: 当 C是不经过且不包围点z0的一条正
向简单闭曲线, 则
复变函数的积分
1
(z - z0)
Ñ
ò
n dz = 0
(3.2.2)
C
吴新民
- 22 -

第二节 柯西---古萨定理
二复合闭路定理
设 D为复平面的一个区域, f (z)在D内解析, C,C1
第三章
为 D内两条正向简单闭曲线, 且 C1在 C的内部, C,C1
所围的区域仍完全落在 D的内部。作两条不相交的曲
复变函数的积分
¼ ¼
¢ ¢
AA ,BB ,分别连
线段
接 C上点A到 C1 的一
C1
B¢ B
A
A¢
¢
A ,
点 C
上的点 B到
C
B¢。因此
C1上的一点
D
吴新民
- 23 -

第二节 柯西---古萨定理
Ñ
ò ò ò ò ò ò
ò
+ = + + +
¼ ¼
¼
¼
f (z)dz=
¼
AnB
¼
¢
A A
¢
¢
B B
¢
BmAA
BmA
AnBB
C
ò ò ò ò ò ò
=
+ + +
+ +
第三章
¼
¼ ¼
¼
¼ ¼
¢ ¢ ¢
¢
+
¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢
¢
B B
¢ ¢ ¢
AnBB n A
A A
A n B
BmAA m B
B m A
Ñ
Ñ
ò
ò
C1
=
+
¼
¼
复变函数的积分
ò
¢ ¢ ¢
BmAA m B B
¢ ¢ ¢
AnBB n A A
Ñ
ò
m
f (z)dz = 0
由于¼
¢ ¢ ¢
AmBB m A A
¢
m C1
Ñ
ò
f (z)dz = 0
A
A¢
¼
B¢ B
C
¢ ¢ ¢
BnAA n B B
n¢
n
Ñ Ñ
ò ò
f (z)dz = f (z)dz
D
因此
C
C
1
吴新民
- 24 -

第二节 柯西---古萨定理
更一般, 我们有
定理( 复合闭路定理) 设函数 f (z)在区域 D上解析,
第三章C,C1,L,C
n是 D内的互不相交的正向简单闭曲线, 且
C1,L,Cn是落在 C的内部的互不包围的, C,C1,L,Cn
所围的区域完全落在 D,则
复变函数的积分
n
Ñ Ñ
å
ò ò
f (z)dz = f (z)dz
(3.2.3)
k=1
C
C
k
C1
C
C2
C3
吴新民
- 25 -

第二节 柯西---古萨定理
利用复合闭路定理和本章第一节的例4得: 对于任何
一条包围点z0一条正向简单闭曲线 C,总可在其内部作
一条正向圆周 Kr :| z - z0 |= r,
第三章
因此
2pi n = 1
0 n > 1
ì
í
î
1
1
(z - z0)
K
r
Ñ Ñ
ò ò
=
n dz =
(3.2.4)
dz
-
n
(z z )
C
0
复变函数的积分
由上节可知当 C是不经过且不包围点z0的一条正
向简单闭曲线, 则
1
(z - z0)
Ñ
ò
n dz = 0
C
吴新民
- 26 -

第二节 柯西---古萨定理
例计算下列积分
3z - 2i dz
Ñ
ò
1)
第三章
其中C为正向圆周: | z -1|= 2
2
-
z iz
C
复变函数的积分解 1) 3z - 2i 1 2
= + , i ,0
且 都位于| z -1|= 2
2
- -
z iz z i z
的内部, 因此
1
3z - 2i
z2 - iz
1
Ñ
Ñ
Ñ
ò
ò
dz= 2 z dz+
ò
z - i dz
C
C
C
= 4pi + 2pi = 6pi
吴新民
- 27 -

第二节 柯西---古萨定理
1
z2 - 3z - 4
Ñ
ò
其中 C为正向圆周: | z |= 2
dz
2)
C
1
1 1 1
= [ - ],
z2 - 3z - 4 5 z 4 z 1
第三章
解
- +
复变函数的积分且 4位于 | z |= 2的外部,
-1位于| z |= 2的内部,
1 1
1 1
-
Ñ Ñ
ò ò
原式 =
dz
因此
5 z - 4 5 z +1dz
C
C
2pi 2pi
= 0 - = -
5
5
吴新民
- 28 -

第二节 柯西---古萨定理
1
Ñ
ò
其中 C为正向圆周: | z |= 2
3)
解
(z -1)2 z dz
C
1
1
1 1
第三章
=
2 - + ,
(z -1)2z
(z -1)
-
z 1 z
复变函数的积分
| z |= 2的内部,
0,1
且 都位于
1
(z 1)
-
1
z -1
1
Ñ Ñ Ñ
ò ò ò
原式 =
dz -
dz + z dz
因此
2
C
C
C
= 0 - 2pi + 2pi
= 0
吴新民
- 29 -

第二节 柯西---古萨定理
1
Ñ
ò
4)
z2(z2 + 2z + 2) dz
|z|=2
0,-1± i都位于 | z |= 2的内部,
解
第三章
-
1
1
1
z (z 2z 2)
+ +
A
B
Ñ Ñ Ñ
ò ò
dz = dz + 2 dz
2
ò
2
2
2
复变函数的积分
z
z
=
|z|=2
=
|z| 2
|z| 2
1
1
4
C
D
Ñ
ò
Ñ
ò
+
4
dz +
dz
z +1- i
z +1+ i
|z|=2
|z|=2
1 1
-p + p + p = 0
= 0 i i i
2 2
+Cz2(z +1+ i) +Dz2(z +1- i)
吴新民
- 30 -

第三节 原函数与不定积分
第三节原函数与不定积分
在单连通区域内, 由于在闭曲线上线积分为零和
第三章
线积分与路径无关是等价的, 因此我们有
w = f (z)在单连通区域 B内解
定理一
如果函数
复变函数的积分
析, 则积分ò f (z)dz与在B内的 C的路径无关, 仅与
C
C的起点和终点有关。
由定理一, 如果函数 w = f (z)在单连通区域 B内
解析, C是B内的任何一条以 z0为起点, z1为终点的
有向曲线, 则我们能够记:
吴新民
- 31 -

第三节 原函数与不定积分
z
ò f (z)dz = ò
1
f (z)dz
z0
C
如果我们让 z0在 B固定, z1 = z在 B变动, 如此可
第三章
得到一个定义在B上的单值函数:
z
ò
复变函数的积分F(z) = f (z)dz
(3.3.1)
z
0
关于这个函数我们有:
f (z)
设函数
在单连通区域 B内解析,
定理二
则由(3.3.1)定义的函数仍为 B解析函数, 且
F¢(z) = f (z)
(3.3.2)
其中 z0为 B内任意的一定点。
吴新民
- 32 -

第三节 原函数与不定积分
( )
f x
［证］设z为区域B任意一点, 由于函数 在
处连续, 因此对于任意给定的正数 e ,总存在正数 d,
z
时, 恒有| f (x)- f (z)|< e ,现在 B内作
第三章使当| z - x |< d
圆周K :| z - x |= d1 £ d, z 0 | z | ,由
< D < d (3.4.1)
取 使得
1
D
z+Dz
z
复变函数的积分
F(z + Dz)- F(z)= ò z ò
f (x)dx - f (x)dx
z
0
0
由于积分与路径无关, 我们上式的第一个积分的路径
为先从z0出发沿第二
个积分的路径到 z,再
z + Dz
·
z ·
K
沿直线到点 z + Dz,
z0
d1
B
吴新民
- 33 -

第三节 原函数与不定积分
z+Dz
ò
因此 F(z + Dz)- F(z) = f (x)dx
z
f (z)= D1z z+Dz f (z)dx
ò
由于
第三章
z
因此
复变函数的积分F(z + Dz)- F(z)
Dz
1
z+Dz
ò
z
- f (z)= Dz
( f (x)- f (z))dx
根据 (3.1.9)
F(z + Dz)- F(z) - f (z)| £| f (x)- f (z)| < e
有
|
Dz
因此
lim | F(z + Dz)- F(z) - f (z)|= 0
Dz
Dz®0
吴新民
- 34 -

第三节 原函数与不定积分
即
F¢(z) = f (z)
如果函数 j(z)在区域 B内的导数为 f (z)
定义
第三章
j¢(z) = f (z),
j
(z) f (z)
在区域 B上的一个
即
则称 为
原函数。
复变函数的积分
z
ò
f (z)dz是函数 f (z)的一个原函数。
定理二表明: z0
容易证明: f (z)的任意两个原函数相差一个常数。
因此, 我们定义: 设 F(z)为 f (z)的一个原函数, 称
f (z)的原函数一般表示式F(z)+ C( 其中C为任意常数)
ò
记作 f (z)dz ,即
为 f (z)的不定积分,
吴新民
- 35 -

第三节 原函数与不定积分
ò f (z)dz = F(z)+ C
(3.3.3)
利用任意两个原函数之间相差一个常数的性质, 能够
第三章
推出类似定积分的牛顿－莱布尼茨公式的复函数积分的
计算公式。
复变函数的积分
定理三如果函数 f (z)在单连通区域B内解析, G(z)
为 f (z)的一个原函数, 则
z
ò
1 f (z)dz = G(z )- G(z0)
(3.3.4)
1
z0
z ,z
其中 为 B内的两点。
0 1
有了原函数、 不定积分和积分计算公式后, 复函数
的积分能够像实函数的积分类似去计算。
吴新民
- 36 -

第三节 原函数与不定积分
例1 计算积分
i
ò
ò ze2zdz
zcosz2dz
2)
1)
0
1
第三章
解 1)
ò
ò ze2zdz = zde2z
2
= 12 ze2z - e2z
1
ò
dz
复变函数的积分
2
1
= 1
ze2z e2z + C
-
2
4
1
1
i
i
ò ò
2sin z2 0i
2) zcosz dz cosz2dz2 =
2
=
2
0
0
= 1 i
(sin sin0)
- = -12sin1
2
2
吴新民
- 37 -

第三节 原函数与不定积分
ò( y3 - 3x2 y - i(3y2x - x3)dz
例2计算积分
C
其中C为曲线z = t + it 2从原点到点1+ i一段。
第三章
解法一根据解析函数的充要条件知, 此积分的被
复变函数的积分积函数是解析的, 因此是与路径无关的。选取积分路
径 C1 : z = x , x
从 0到1,C : z = 1+ iy , y从 0到1。
2
ò ò
原式 = +
C
C
2
1
1
1
ò ò
= ix
3
dx + ( y
3
- 3y + i(1- 3y
2
))idy
0
0
i i 3i
= + - -1+1 = -i
4 4 2
吴新民
- 38 -

第三节 原函数与不定积分
z + z z - z
解法二令 x = , y =
代入被积函数得被
2
2i
第三章积函数是 iz3 ,因此
1+i
ò
原式 = iz
3
dz
0
复变函数的积分
= 4i z4 1+i
0
i(1+ i)4 = -i
=
4
吴新民
- 39 -

第四节 柯西积分公式
第四节 柯西积分公式
第三章
一柯西积分公式
复变函数的积分
二高阶导数公式
吴新民
- 40 -

第四节 柯西积分公式
一柯西积分公式
定理( 柯西积分公式) 设函数 f (z)在区域D内
第三章解析, C是 D内的, 且其内部仍在 D内的正向简单
闭曲线, z为 C的内部的任意一个定点, 则
0
复变函数的积分
f (z0) =
1 f (z) dz
Ñ
ò
(3.4.1)
2 i z z
p -
0
C
［证明］由于函数 f (z)在z0处
C
连续, 因此对任意给定的正数 e,总
存在正数 当 | z z |
d, - < d时, 恒有
0
z0
| f (z)- f (z0)|< e,
吴新民
- 41 -

第四节 柯西积分公式
现在C内作一圆周 K :| z - z0 |= R(0 < R < d ),
由复合闭路定理知
f (z)
f (z) dz
-
z z0
Ñ Ñò
第三章
ò
=
dz
z - z
C
C
0
K
f (z )
f (z)- f (z0) dz
复变函数的积分
Ñ Ñ
R
ò ò
=
dz
+
0
K z0
z - z
z - z0
K
0
K
f (z)- f (z0) dz
Ñ
ò
= p +
2 if (z )
0
z - z0
K
利用 (3.1.9)
我们有
| f (z)- f (z0)|ds £ 2pe
f (z)- f (z )
z - z0
Ñ
Ñ
ò
ò
dz |£
|
0
| z - z0 |
K
K
吴新民
- 42 -

第四节 柯西积分公式
因此得
1 f (z) dz - f (z )|< e
Ñ
ò
|
p -
2 i z z
0
第三章
C
0
由于 e是任意的, 上式的右端是与e无关的, 因此
1 f (z) dz
Ñ
ò
复变函数的积分 f (z0) =
2 i z z
p -
C
0
公式 (3.4.1)
称为柯西积分公式, 它表明一个解析函
函数在一条封闭曲线C的内部任一个的函数值能够用
C上的函数值表示。这是解析函数的又一特征。
吴新民
- 43 -

第四节 柯西积分公式
z = z0 + Reij,
- =
特别取 C :| z z | R,在 (3,4.1)中令
0
则有
1
2p
第三章
2p
f (z0 + Reif )df
ò
f (z0) =
(3.4.2)
0
这表明: 解析函数在圆心的函数值等于在圆周上的平
复变函数的积分
均值。
吴新民
- 44 -

第四节 柯西积分公式
例1计算积分( 沿正向圆周)
ez
Ñ
ò
z - 2 dz
1)
|z|=4
第三章
ez
z - 2
Ñ
ò
解
dz = 2piez
= 2pie2
z=2
|z|=4
复变函数的积分
ez
z(z + 2) dz
Ñ
ò
2)
|z-1|=2
ez
解法一由于 f (z) = z + 2在 | z -1|£ 2
上解析, 因此
ez
z
z + 2
z
dz = 2p i ez
z + 2 z=0
e
Ñ Ñ
ò
ò
= p i
=
dz
z(z + 2)
|z-1|=2
|z-1|=2
吴新民
- 45 -

第四节 柯西积分公式
z
dz
z
e1
1
z
e1
1
e
Ñ Ñ Ñ
ò
ò ò
-
解法二
dz [
|z-1|=2
z + 2 dz]
z(z + 2) 2
z
|z-1|=2
|z-1|=2
= 2pi 12 ez
+ 0 = pi
第三章
z=0
sin z
Ñ
ò
复变函数的积分 z2 - 3z - 4 dz
3)
|z-2|=4
解法一利用复合闭路定理得
sin z
sin z
z +1 dz
sin z
Ñ Ñ
Ñ
z - 4 dz +
ò
ò
ò
dz =
z 4
-
2
- -
z 3z 4
z