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丢番图方程整数解方法

求不定方程整数解的常用方法

不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括：

(1)分离整数法
此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.

例1 求不定方程的整数解
解 已知方程可化为

因为y是整数，所以也是整数.
由此
x+2=1，-1，3，-3，即
x=-1，-3，1，-5，
相应的
所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).

(2) 辗转相除法
此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：
第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式);
第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;
第三步，用辗转相除法解不定方程.
例2 求不定方程的整数解.
解 因为,所以原方程有整数解.
用辗转相除法求特解:

从最后一个式子向上逆推得到

所以

则特解为

通解为

或改写为

(3) 不等式估值法
先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.
例3 求方程适合的正整数解.
解 因为

所以

所以

即

所以

所以
当时有

所以

所以

所以
所以
当时有

所以

所以

所以
所以

(4) 逐渐减小系数法
此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.
例4 求不定方程的整数解.
解 因为，所以原方程有整数解.
有，用来表示，得

则令

由4<37,用来表示,得

令将上述结果一一带回，得原方程的通解为

注解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止.
‚对于二元一次不定方程来说有整数解的充要条件是.

(5)分离常数项的方法
对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.
例5 求不定方程的整数解.
解 原方程等价于

因为

所以

所以原方程的通解为

(6)奇偶性分析法
从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用或代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.
例6 求方程的正整数解.
解 显然,不妨设

因为328是偶数，所以、的奇偶性相同，从而是偶数.
令

则、
所以

代入原方程得

同理，令
、
于是，有

再令

得

此时，、必有一奇一偶，且

取得相应的

所以，只能是
从而

结合方程的对称性知方程有两组解

(7)换元法
利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.
例7 求方程的正整数解.
解 显见，为此，可设其中、为正整数.
所以原方程可化为

整理得

所以

相应地

所以方程正整数解为

(8)构造法
构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.
例8 已知三整数、、之和为13且，求的最大值和最小值，并求出此时相应的与的值.
解 由题意得，消去得
整理得到关于的一元二次方程

因为

因
若符合题意，此时

若时，则有无实数解，故
若时，则有解得符合题意，此时

综上所述，的最大值和最小值分别为16和1，相应的与的值分别为

(9)配方法
把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式，这种方法叫做配方法.配方法是式子恒等变形的重要手段之一，是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段，我们已经学过用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函数化为标准形式等等，是数学中很常用的方法.
例9 若
解 由题意

即

所以

所以

(10)韦达定理
韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，广泛应用于初等代数、三角函数及解析几何中，应用此法解题时，先根据已知条件或结论，再通过恒等变形或换元等方法，构造出形如、形式的式子，最后用韦达定理.
例10 已知、都是质数，且使得关于的二次方程至少有一个正整数根，求所有的质数对
解 设方程的两根分别为、
由根与系数关系得

因为、都是质数，且方程的一根为正整数，可知方程的另一根也是正整数.
所以

所以
①当时，即因为、均是质数，所以故此时无解.
②当时，即所以因为、都是质数，且所以

解得符合条件的质数对为
③当时，即所以满足条件的质数对.
④当时，即所以于是
综上所述，满足条件的质数对为

(11) 整除性分析法
用整除性解决问题，要求学生对数的整除性有比较到位的把握.
例11 在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设为整数，当直线的交点为整数时，的值可以取
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
解 当时，直线平行，所以两直线没有交点;
当时，直线交点为整数;
当、时，直线的交点为方程组的解，解得

因为、均为整数,
所以只能取
解得

综上，答案为C.

(12) 利用求根公式
在解不定方程时，若因数分解法、约数分析均不能奏效，我们不妨将其中一个未知数看成参数，然后利用一元二次方程的求根公式去讨论.
例12 已知为整数，若关于的二次方程有有理根，求值.
解 因为，所以的根为

由原方程的根是有理根，所以必是完全平方式.
可设则即

因为、均是整数,所以
,
,
解得因为所以的值是-2.

(13) 判别式法
一元二次方程根的判别式是中学阶段重要的基础知识，也是一种广泛应用的数学解题方法.该法根据一元二次方程的判别式的值来判定方程是否有实数根，再结合根与系数的关系判定根的正负.熟练掌握该法，不仅可以巩固基础知识，还可以提高解题能力和基础知识的综合运用能力.
例13 求方程的整数解.
解 已知方程可化为

因为、均为整数，所以
且为完全平方数.
于是，令
其中为正整数
所以

因为、均为整数
所以
且为完全平方数，
即有，为完全平方数.
于是，再令
其中为正整数
所以

因为奇偶性相同，且
所以

由上
相应的解得
把代入已知方程中得所以
所以

(14) 因式分解法
因式分解也是中学阶段重要的基础知识之一.它应用广泛,在多项式简化、计算、方程求根等问题中都有涉及.因式分解比较复杂，再解题时，根据所给题目的特点，灵活运用，将方程分解成若干个方程组来求解.这种方法的目的是增加方程的个数，这样就有可能消去某些未知数，或确定未知数的质因数，进而求出其解.利用因式分解法求不定方程整数解的基本思路:将转化为后,若可分解为则解的一般形式为再取舍得其整数解.
例14 方程、都是正整数，求该方程的正整数解.
解 已知方程可化为

所以

即

因为、都是正整数
所以

这样

所以
或12或20或36或84
相应地
或4或5或6或7
所以方程的正整数解为:

丢番图（Diophantus）：古代希腊人，代数学的鼻祖，早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称整系数的不定方程为丢番图方程。

百鸡百钱：我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出的数学问题：“鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？”
解：设母鸡x只，公鸡y只，小鸡（100-x-y）只，
所以3x+5y+(100-x-y)/3=100
且x，y为整数。
化简：
X+7y/4=25
公鸡五文一只，所以公鸡数量要至少小于20.
有四种情况符合要求：
Y
0
4
8
12
16
20
X
25
18
11
4
-3
-10
100-x-y
75
78
81
84
87
90
1.公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只
2.公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只
3.公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只
4.公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只

辗转相除法，又名欧几里德算法，是求两个正整数的最大公因子的算法。
设两数为a、b(a>b)，求a和b最大公约数(a，b)的步骤如下：用a除以b，得a÷b=q......r1(0≤r1)。若r1=0，则(a，b)=b；若r1≠0，则再用b除以r1，得b÷r1=q......r2 (0≤r2）.若r2=0，则(a，b)=r1；若r2≠0，则继续用r1除以r2，……如此下去，直到能整除为止。其最后一个余数为0的被除数的除数即为(a, b)。
例如：a=25,b=15，a/b=1余10,b/10=1余5,10/5=2余0,最后一个余数为0的被除数的除数就是5, 5就是所求最大公约数。
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