圆的一般方程及标准方程的转换(含每步提示及答案——原创材料).docx

圆的标准方程与一般方程的转换
1. 已知方程x +y +Dx+Ey+F=0是圆的一般方程，则其标准方程为
答案：(x+D)+(y+E) =D2 E2 4F224
提示①：将原方程配方并整理
x + Dx+ ( D ) +y +Ex+ ( I ) -d ) -( I ) +F=02222
(x+D) + (y+E) -D2 E2 4F=0224
提示②:将常数项移至方程右边.
(x+D) + (y+E) =D2 E2 4F224
2. 将圆的方程(x-a) + ( x-b) =r化为一般方程的形式，结果为
答案：x +y —ax-2by+a +b — =0
提示①：将原方程去掉括号并整理
x +y -2ax—2by+a +b =r
提示②:将方程右边化为0
x +y -2ax—2by+a +b -r =0
3. 已知圆的一般方程为x +y +6x — 8y=0,则其标准方程为——。
A、( x-3) + ( y—4 ) =25 B、( x—3 ) +(y—4 ) =5
C、(x+3) + (y—4) =25 D、(x-3) +(y—4) =5
答案:C
提示①：将原方程配方x +6x+3 +y —y+4 4 =0
(x+3) + (y一4) T5=0
提示②：将常数项移至方程右边
(x+3) +(y—4) =25
4. 方程2 (x+5) +2y =3表示一个圆，则这个圆的一般方程为一一一。
A、2x +2y +20x+47=0 B、2x +2y +20x=一47
C、x +y +10x+8=0 D、2x +2y +20x= 一，22
答案：C
提示①：将原方程去括号并整理
2x +2y +20x+50=3
提示②：将方程右边化为0
2x +2y +20x+47=0
提示③:将x 、y系数化为1
x +y +10x+£L=O
2
5. 圆C的方程为：x +y +4x-4y+4=0,则圆C的圆心坐标为—。
A、(-4JB、(4,-4
C. (2,-2)D、(-2,2)
答案:D
提示①：将原方程配方并整理
x +4x+2 +y -4y+2 T -2 +4=0
(x+2 ) + (y一2 ) -4 =0
提示②：将常数项移至方程右边
(x+2 ) + ( y-2) =4
提示③：根据标准方程(x—a ) + ( x-b) =r的圆心坐标为化b ),题中圆的圆心坐标为(-2, 2),选D。
6. 已知圆的方程为x +y ~6x—16=0,那么该圆的半径为。
答案：5
提示①:将原方程配方并整理
x -6x+3 +y 46=0
(x—3) +y T5 =0
提示②：将常数项移至方程右边
(X—3 ) +y =25
提示③:根据圆的标准方程(x—a) +( x—b) =r的半径为r所以r =25 ,r=5.
7. 已知圆的标准方程为x + (y+4) =1,那么圆的一般方程形式为
答案：x +y +8y+15=0
提示①：将原方程括号散开并整理
x +y +8y+16=l
提示②：将方程右边化为0
x +y +8y+15=0
8. 圆心坐标为(1,-2),半径为3的圆的一般方程为一一一。
A、x +y +2x-4y+2=0 B、x +y Tx+4y+2=0
C、x +y +2x-4y—4=0
答案：D
D、x +y —x+4y — 4=0

提示①：根据题意圆的标准方程为
(x-1) +(y+2)=3
提示②：将方程去掉括号并整理
x +y —y+4y+5=9
提示③：将方程右边化为0
x +y -2x+4y-4=0
9. 若下列方程在直角坐标系中对应的曲线为一个圆，那么圆心在x轴上的是一―。
A、x +y +2x+1=0B、x +y +2x-1=0
C、x +y +2x+2y+1=0D、x +y +2y-1=0
答案:B
提示①：圆心在乂轴上，则圆心的纵坐标为0,所以圆的一般方程的
y的一次系数为0,排除C、D两项。
提示②：将A、B配方后化成标准方程的形式分别为
A:(x+1) +y =0, B: ( x+1) +y =2
提示③：A方程所表示的不是圆，选B。
10. 已知方程x +y +mx+ny=0是一个圆的方程，且圆心为(一1,—2 ),则m=——,n=——。
答案：2, 4
提示①：将方程配方并整理
x +m x+(彳)+y +ny+(2)—(2)—(2)=0
(x+m)+(y+n) =m2 n2224
提示②:根据标准方程(x—a ) +(x—b ) =r的圆心为(a, b), —m=-1,2
—n=-2所以 m=2,n=4.2
11. 已知圆C的方程为x +y +4mx — (2m — 2 ) y—n =0,其圆心在直线
x+y=3 上，则 m=___。
答案：一4
提示①：将方程配方并整理
x +4mx+ ( 2m ) + y - ( 2m —2 ) y+ (m —1) - (2m )—(m-1)
—n =0
(x+2m ) +[y— (m — 1)] = (2m) + (m —1 ) +n
提示②：根据标准方程(x-a) + (x-b) =r的圆心为(a,),可知题
中圆C的圆心坐标为(—2m,m-1 )
提示③：圆心过直线x+y=3，将圆心坐标代入直线方程
— 2m+m —1=3
解得m=-4.
12. 若圆x +y +2kx—2y+2=0与两坐标轴无公共点，那么k的取值范
围是。
A、一龙 <k<72B、一很 <k<B
C、k<—72或 k》72D、k<^2 或 k> 妃答案：D
提示①：将圆的方程配方并写成标准方程形式x +2kx+k +y -2y+1 -k — +2=0(x+k) + (y-1) =k -1
提示②：根据标准方程(x-a)+ (x-b) =r的圆心为a,b)，可知题中圆心坐标为(一k， 1)
提示③:圆与坐标周无公共点，圆心、的横坐标和纵坐标的绝对值都小于半径。
(—k) <k -1且 1 4 —
k<一忠或k>、，顶，选D.
13. 圆c的方程为x +y —x+6y+4=0，圆c与圆C关于坐标原点对称,则圆C 一般方程为一一一・
2
A、x +y +4x — 6y+4=0B、x +y -4x—6y+4=0
C、x +y +4x+6y+4=0D、x +y -4x+6y+4=0
答案：
提示①：将圆C的方程配方并化为标准方程形式1
x -4x +4+y +6y+9-4-9+4=0
(x — 2) + (y+3 ) =3
提示②：圆C的圆心坐标为(2, -3),圆C与圆C关于原点对称，圆C
1212
的圆心坐标为(-2,3,半径与圆C相同为3。圆C的标准方程为12
(x+2 ) + (y-3) =3
提示③:将标准方程化为一般方程为x +y +4x-6y+4=0,选A.
14. 若方程x +y +4kx-2y+5=0表示一个圆，那么k的取值范围是—。
A、k<— 1 或 k>1B、-1<k<1
C、k《一1 或 k>1D、-1<k<1
答案：A
提示①：将方程配方并化成标准方程的形式
x +4kx+ ( 2k) +y —y+1 — 2k)— +5=0
(x+2k) + ( y—1 ) =4k —
提示②：圆标准方程右边表示半径平方,需大于0, 4k -4>0
解得k<— 1或k>1,选A。
15. 圆心坐标为(3, 4 )且过原点的圆的一般方程为一一一一。
答案：x +y -6x—8y=0
提示①：圆心的坐标(3, 4),原点的坐标(0, 0),其距离为很TF
=5,圆的半径为5
提示②:圆的标准方程为(x—3 ) + ( y-4) =5
提示③：去掉括号并化为一般方程为x +y -6x-8y=0
16. 已知圆的方程为(3x+1) + ( 3y — 1) =11,那么圆的一般方程为答案：x +y +ix-|y—1=0
提示①:将方程去掉括号9x +6x+1+9y -6y+1=11
提示②：将方程右边常数移到左边并整理9x +9y +6x — 6y-9=0
提示③：将二次项系数化为1, x +y +2x—3y—1=0
17. 如果下面各方程能对应的曲线是圆,那么原点在圆内的是__.
A、x +y —x—4y=0B、x +y —x-5=0
C、x +y -4y+5=0D、x +y —x—4y+5=0答案：B
提示①：选项A的方程不含常数项，将原点坐标（0, 0）代入后方程成立，则原点在A所示的曲线上，A不满足.
提示②:将B、C、D的方程分别配方并写成圆标准方程的形式
B : （ x-2） +y =9 , C : x + （ y—2 ） =-1, D : （ x—2 ） + （ y—2 ） =3提示③：C右边小于0,方程表示的不是圆，C排除.将原点坐标（0,0）分别代入B、D方程。B左边=4 < 9,原点在圆内；D左边=8>3,原点在圆外。选B。
18. 下列圆中,必过原点的是一一一。
A、x +y =1B、x +y +x+y=1
C、x +y +x+y=0D、（ x+1 ） + （ y+1 ） =1
答案:C
提示①：将原点的坐标（0, 0）分别代入入、B、C、D个方程中，只有。成立，选C.
19. 圆心坐标为（一1,2）且与x轴相切的圆是___。
A、x +y +2x-4y+1=0B、x +y +2x-4y+4=0
C、x +y -2x+4y+1=0D、x +y —x+4y+4=0
答案:A
提示①：圆与x轴相切，则圆的半径为圆心纵坐标的绝对值，圆心坐标为（一 1, 2 ） ,r=2
提示②:圆的标准方程为（x+1） + （ y一2） =2提示③：将方程去掉括号并化为一般方程的形式x +y +2x-4y+1=0,
选A o
20. 圆心坐标为(3,4),且与y轴相切的圆是一一一。
A、x +y +6x+8y+16=0
B、x +y +6x+8y+9=0
C、 x +y -6x-8y+16=0
答案:c
D、x +y ~6x一8y+9=0
提示①：圆与y轴相切，则圆的半径为圆心横坐标的绝对值，圆心坐标为(3, 4), r=3o
提示②：圆的标准方程为(x—3 ) + (y-4) =3
提不③:将方程去掉括号并化为一般方程的形式x +y -6x-8y+16=0,选C.
21. 与圆(x+a ) + ( y+b ) =r是同心圆的是―一。
A、x +y +2ax一2by=0
B、x +y Tax—2by=0
C、x +y -2aL2by=0
D、x +y +2ax+2by=0

答案：D
提示①：将(x+a ) + ( y+b ) =r散开并化为一般方程
x +y +2ax+2by+a +b r =0
提示②：只有D项的一次系数和一般方程相同，选D.
22O与圆x +y -6x-4y=0半径相同的圆是—一。
A、x +y -8x-2y=0
B、x +y Tx—12=0
C、x +y -4x-4y=0
D、x +y =169

答案：B
提示①：将原方程配方并化为标准方程(x-3) + (y-2) =13,半径r=$
提示②:将A、B、C、D分别配方并化为标准方程
A :(x-4)+ ( y-1) =17，B : (x-1)+y =13,
C : ( x-2) +(y-2) =8 , D ：x +y =169
只有8所示的圆的半径为＜13,选B。
23. 圆 x +y +2mx-2ny-1=0 的圆心为(1,1),则 m=_ — ,n=_—。
答案：一1, 1
提示①：将方程配方并化为标准方程(x+m) + ( y—n ) =m +n +1提示②：圆的坐标为(一m , n),—m=1 , n=1.
所以 m= —1, n=1
24. 圆x +y +ax+b=0的圆心必在—轴上.
答案：x
提示①：将方程配方化为标准方程的形式(x+a ) +y =—b+( a )22
圆心坐标为(一a , 0 ),必在x轴上.
2
提示②：圆的一般方程不含y的一次项，则圆心的纵坐标为0,圆心在x轴上.
25. 圆x +y +ay+b=0的圆心必在—轴上。
答案:y
提示①:将方程配方化为标准方程的形式x + (y+ a ) =—b+ ( a )
22
圆心坐标为(0, 一a ),必在y轴上。
2
提示②：圆的一般方程不含x的一次项，则圆心、的横坐标为0,圆心在y轴上。
26. 圆x +y +b=0的圆心必为
答案：原点
提示①:题中圆的标准方程为x +y =-b,根据标准方程（x—a） + （ x-b）
=r的圆心为a，b）,圆心为原点（0，0）
27。圆 x +y +ay+by=0 必过。
答案:原点
提示①：题中圆的一般方程不含常数项，将（0, 0）代入方程，方程成立,圆必过原点。