用蒙特卡洛方法估计积分方法与matlab编程实现.doc

(完整word版)用蒙特卡洛方法估计积分方法与matlab编程实现
用蒙特卡洛方法估计积分
方法及matlab编程实现
专业班级： 材料43
学生姓名： 王宏辉
学 号： 2140201060
指导教师：李耀武
完成时间： 2016年6月8日

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用蒙特卡洛方法估计积分
方法及matlab编程实现
实验内容：
1用蒙特卡洛方法估计积分 ，和的值，并将估计值与真值进行比较。
2用蒙特卡洛方法估计积分 和的值，并对误差进行估计。
要求：
（1）针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛方法；
（2）利用计算机产生所选分布的随机数以估计积分值；
（3）进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误差（针 对第1类题）或样本方差（针对第2类题）以评价估计结果的精度。
目的：
（1）能通过 MATLAB 或其他数学软件了解随机变量的概率密度、分布函数 及其期望、方差、协方差等；
（2） 熟练使用 MATLAB 对样本进行基本统计，从而获取数据的基本信息；
（3） 能用 MATLAB 熟练进行样本的一元回归分析。
实验原理：
蒙特卡洛方法估计积分值，总的思想是将积分改写为某个随机变量的数学期望，借助相应的随机数，利用样本均值估计数学期望，从而估计相应的积分值。
具体操作如下：
一般地，积分改写成的形式，（其中为一随机变量X的概率密度函数，且的支持域)，）;令Y=h(X)，则积分S=E（Y）；利用matlab软件，编程产生随机变量X的随机数，在由，得到随机变量Y的随机数，求出样本均值，以此估计积分值。
积分的求法与上述方法类似，在此不赘述。
概率密度函数的选取：
一重积分，由于要求的支持域，为使方法普遍适用，考虑到标准正态分布概率密度函数支持域为，故选用。
类似的，二重积分选用，支持域为。
估计评价：
进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误（针对第1类题，积得出）或样本方差（针对第2类题，积不出）以评价估计结果的精度。
程序设计：
依据问题分四类：第一类一重积分；第一类二重积分；第二类一重积分，第二类二重积分，相应程序设计成四类。
为了使程序具有一般性以及方便以后使用：一重积分，程序保存为一个.m文本，被积函数，积分区间均采用键盘输入；二重积分，程序主体保存为一个.m文本，被积函数键盘输入，示性函数用function 语句构造，求不同区域二重积分，只需改变function 函数内容。
编程完整解决用蒙特卡洛方法估计一重、二重积分值问题。
程序代码及运行结果：
第一类一重积分程序代码：
%%%构造示性函数
function I=I1(x,a,b)
if x>=a&&x<=b
I=1;
else
I=0;
end
%保存为I1.m
%%%%%%%%%%%%%%%%
%%第一类一重积分,程序主体：
%保存为f11.m
function outf11=f11()
g1=input('输入一元被积函数如x.*sin(x):','s')%输入被积函数
g1=inline(g1);
a=input('输入积分下界a:');%输入积分上下限
b=input('输入积分上界b:');
Real=input('积分真值:');%输入积分真值
fprintf('输入样本容量 10^V1--10^V2:\r')
V=zeros(1,2);
V(1)=input('V1:');%输入样本容量
V(2)=input('V2:');
for m=V(1):V(2)%样本容量10^m1--10^m2
n=10^m
for j=1:10
x=randn(1,n);
for i=1:n
t1(i)=I1(x(i),a,b);%示性及求和向量
end
y1=g1(x)*((pi*2)^0.5).*exp(x.^2/2);
Y1(j)=y1*t1'/n; %单次实验样本均值
end
t=ones(1,10);
EY=Y1*t'/10; %十次均值
D=abs(EY-Real); %绝对误差
RD=D/Real; %绝对误差
d=0;
for i=1:10
d=d+(Y1(i)-Real)^2;
end
d=d/(10-1);
EY1(m-V(1)+1)=EY; %样本容量为10^m时的样本均值
D1(m-V(1)+1)=D; %绝对误差
RD1(m-V(1)+1)=RD; %绝对误差
MSE1(m-V(1)+1)=d; %方差
end
Real,EY1,D1,RD1,MSE1
outf11=[EY1;D1;RD1;MSE1]; %存放样本数字特征
%保存为f11.m
运行结果：
%估计积分 ，积分真值为1
m=f11
输入一元被积函数如x.*sin(x):x.*sin(x)

g1 =

x.*sin(x)

输入积分下界a:0
输入积分上界b:pi/2
积分真值:1
输入样本容量 10^V1--10^V2:
V1:1
V2:5

n =

10

n =

100

n =

1000

n =

10000

n =

100000

Real =

1

EY1 =

1.2635 1.0088 1.0066 1.0109 1.0018

D1 =

0.2635 0.0088 0.0066 0.0109 0.0018

RD1 =

0.2635 0.0088 0.0066 0.0109 0.0018

MSE1 =

0.6439 0.0205 0.0028 0.0006 0.0001

m=
1.2635 1.0088 1.0066 1.0109 1.0018

0.2635 0.0088 0.0066 0.0109 0.0018

0.2635 0.0088 0.0066 0.0109 0.0018

0.6439 0.0205 0.0028 0.0006 0.0001

%估计积分 真值为0.8862
M=f11
输入一元被积函数如x.*sin(x):exp(-x.^2)

g1 =

exp(-x.^2)

输入积分下界a:0
输入积分上界b:+inf
积分真值:pi^0.5/2%0.8862
输入样本容量 10^V1--10^V2:
V1:1
V2:4

n =

10

n =

100

n =

1000

n =

10000

Real =

0.8862

EY1 =

0.9333 0.9077 0.8873 0.8871

D1 =

0.0470 0.0215 0.0010 0.0009

RD1 =

0.0531 0.0243 0.0012 0.0010

MSE1 =

0.1927 0.0112 0.0016 0.0000

M =

0.9333 0.9077 0.8873 0.8871
0.0470 0.0215 0.0010 0.0009
0.0531 0.0243 0.0012 0.0010
0.1927 0.0112 0.0016 0.0000
第一类二重积分程序代码：
%%%构造示性函数，求不同区域上积分只需更改示性函数
function I=I2(x,y)
if x^2+y^2<=1
I=1;
else
I=0;
end
%保存为I2.m
%第一类二重积分程序主体
%保存为f12.m
function outf12=f12()
g2=input('输入二元被积函数如exp(x.^2+y.^2):','s')%输入被积函数
g2=inline(g2,'x','y');
Real=input('积分真值:');%输入积分真值
fprintf('输入样本容量 10^V1*10^V1--10^V2*10^V2:\r')
V=zeros(1,2);
V(1)=input('V1:');%输入样本容量
V(2)=input('V2:');
for m=V(1):V(2)%样本容量10^m1--10^m2
n=10^m
for j=1:10
x=randn(1,n);
y=randn(1,n);
for i=1:n
t2(i)=I2(x(i),y(i));%示性及求和向量
end
y2=g2(x,y)*(2*pi).*exp((x.^2+y.^2)/2);
Y2(j)=y2*t2'/n; %单次实验样本均值
end
t=ones(1,10);
EY=Y2*t'/10; %十次均值
D=abs(EY-Real); %绝对误差
RD=D/Real; %绝对误差
d=0;
for i=1:10
d=d+(Y2(i)-Real)^2;
end
d=d/(10-1);
EY2(m-V(1)+1)=EY; %样本容量为10^m时的样本均值
D2(m-V(1)+1)=D; %绝对误差
RD2(m-V(1)+1)=RD; %绝对误差
MSE2(m-V(1)+1)=d; %方差
end
Real,EY2,D2,RD2,MSE2
outf12=[EY2;D2;RD2;MSE2]; %存放样本数字特征
%保存为f12.m
运行结果：
%估计积分 ，真值为pi*(exp(1)-1)%5.3981
m=f12
输入二元被积函数如exp(x.^2+y.^2):exp(x.^2+y.^2)

g2 =

exp(x.^2+y.^2)

积分真值:pi*(exp(1)-1)%5.3981
输入样本容量 10^V1*10^V1--10^V2*10^V2:
V1:1
V2:4

n =

10

n =

100

n =

1000

n =

10000

Real =

5.3981

EY2 =

4.7702 5.1250 5.4317 5.4041

D2 =

0.6279 0.2732 0.0335 0.0060

RD2 =

0.1163 0.0506 0.0062 0.0011
MSE2 =

3.8965 0.5564 0.0247 0.0017

m =
4.7702 5.1250 5.4317 5.4041
0.6279 0.2732 0.0335 0.0060
0.1163 0.0506 0.0062 0.0011
3.8965 0.5564 0.0247 0.0017

第二类一重积分程序代码：
%%%构造示性函数
function I=I1(x,a,b)
if x>=a&&x<=b
I=1;
else
I=0;
end
%保存为I1.m
%第二类一重积分程序主体
%程序保存为f21.m
function outf21=f21()
g1=input('输入一元被积函数如exp(x.^2):','s')%输入被积函数
g1=inline(g1);
a=input('输入积分下界a:');%输入积分上下限
b=input('输入积分上界b:');
fprintf('输入样本容量 10^V1--10^V2:\r')
V=zeros(1,2);
V(1)=input('V1:');%输入样本容量
V(2)=input('V2:');
for m=V(1):V(2)%样本容量10^m1--10^m2
n=10^m
for j=1:10
x=randn(1,n);
for i=1:n
t1(i)=I1(x(i),a,b);%示性及求和向量
end
y1=g1(x)*((pi*2)^0.5).*exp(x.^2/2);
Y1(j)=y1*t1'/n; %单次实验样本均值
end
t=ones(1,10);
EY=Y1*t'/10; %十次均值
d=0;
for i=1:10
d=d+(Y1(i)-EY)^2;
end
d=d/(10-1);
EY1(m-V(1)+1)=EY; %样本容量为10^m时的样本均值
MSE1(m-V(1)+1)=d; %方差
end
EY1,MSE1
outf21=[EY1;MSE1]; %存放样本数字特征
%%%%程序保存为f21.m
运行结果：
%估计积分
m=f21
输入一元被积函数如exp(x.^2):exp(x.^2)

g1 =

exp(x.^2)

输入积分下界a:0
输入积分上界b:1
输入样本容量 10^V1--10^V2:
V1:1
V2:4

n =

10

n =

100

n =

1000

n =

10000

EY1 =

2.0782 1.6583 1.5029 1.4590

MSE1 =

0.4315 0.0889 0.0057 0.0008
m =

2.0782 1.6583 1.5029 1.4590
0.4315 0.0889 0.0057 0.0008
%用matlab 指令求积分
f=inline('exp(x.^2)')

f =
Inline function:
f(x) = exp(x.^2)

>> S=quadl(f,0,1)

S =
1.4627第二类二重积分程序代码：
%%%构造示性函数，求不同区域上积分只需更改示性函数
function I=I2(x,y)
if x^2+y^2<=1
I=1;
else
I=0;
end
%保存为I2.m

%第二类二重积分函数主体
%，程序保存为f22.m
function outf22=f22()
g2=input('输入二元被积函数如1./(1+x.^4+y.^4).^0.5:','s')%输入被积函数
g2=inline(g2,'x','y');
fprintf('输入样本容量 10^V1*10^V1--10^V2*10^V2:\r')
V=zeros(1,2);
V(1)=input('V1:');%输入样本容量
V(2)=input('V2:');
for m=V(1):V(2)%样本容量10^m1--10^m2
n=10^m
for j=1:10
x=randn(1,n);
y=randn(1,n);
for i=1:n
t2(i)=I2(x(i),y(i));%示性及求和向量
end
y2=g2(x,y)*(2*pi).*exp((x.^2+y.^2)/2);
Y2(j)=y2*t2'/n; %单次实验样本均值
end
t=ones(1,10);
EY=Y2*t'/10; %十次均值
d=0;
for i=1:10
d=d+(Y2(i)-EY)^2;
end
d=d/(10-1);
EY2(m-V(1)+1)=EY; %样本容量为10^m时的样本均值
MSE2(m-V(1)+1)=d; %方差
end
EY2,MSE2
outf22=[EY2;MSE2]; %存放样本数字特征
%第二类二重积分，程序保存为f22.m
运行结果：
%估计积分
m=f22
输入二元被积函数如1./(1+x.^4+y.^4).^0.5:1./(1+x.^4+y.^4).^0.5

g2 =

1./(1+x.^4+y.^4).^0.5

输入样本容量 10^V1*10^V1--10^V2*10^V2:
V1:1
V2:4

n =

10

n =

100

n =

1000

n =

10000

EY2 =

3.0759 2.9699 2.8566 2.8269

MSE2 =

1.3267 0.0900 0.0060 0.0014

m =

3.0759 2.9699 2.8566 2.8269
1.3267 0.0900 0.0060 0.0014

实验结果整理：
第一类一重积分：
估计积分
积分真值：1 积分估计值：1.0018
样本容量：10 100 1000 10000 100000
样本均值：1.2635 1.0088 1.0066 1.0109 1.0018
绝对误差：0.2635 0.0088 0.0066 0.0109 0.0018
相对误差：0.2635 0.0088 0.0066 0.0109 0.0018
均方误差：0.6439 0.0205 0.0028 0.0006 0.0001

估计积分
积分真值：0.8862 积分估计值：0.8871
样本容量：10 100 1000 10000
样本均值：0.9333 0.9077 0.8873 0.8871
绝对误差：0.0470 0.0215 0.0010 0.0009
相对误差：0.0531 0.0243 0.0012 0.0010
均方误差：0.1927 0.0112 0.0016 0.0000

第一类二重积分：
估计积分
积分真值：5.3981 积分估计值： 5.4041
样本容量：10 100 1000 10000
样本均值：4.7702 5.1250 5.4317 5.4041
绝对误差： 0.6279 0.2732 0.0335 0.0060
相对误差：0.1163 0.0506 0.0062 0.0011
均方误差：3.8965 0.5564 0.0247 0.0017

第二类一重积分：
估计积分
积分估计值：1.4590
样本容量：10 100 1000 10000
样本均值：2.0782 1.6583 1.5029 1.4590
样本方差：0.4315 0.0889 0.0057 0.0008
用matlab 指令求得积分结果1.4627
第二类二重积分：
估计积分
积分估计值：2.8269
样本容量：10 100 1000 10000
样本均值：3.0759 2.9699 2.8566 2.8269
样本方差：1.3267 0.0900 0.0060 0.0014

实验结果分析：
从第一类积分看，以估计积分 为例：
积分真值：1 积分估计值：1.0018
样本容量：10 100 1000 10000 100000
样本均值：1.2635 1.0088 1.0066 1.0109 1.0018
绝对误差：0.2635 0.0088 0.0066 0.0109 0.0018
相对误差：0.2635 0.0088 0.0066 0.0109 0.0018
均方误差：0.6439 0.0205 0.0028 0.0006 0.0001
随着样本容量的增大，样本均值有接近积分真值的趋势，绝对误差、相对误差、均方误差呈减小趋势；随着样本容量的增大，样本均值有接近积分真值的趋势，说明估计具有无偏性；绝对误差、相对误差、均方误差呈减小趋势，说明增大样本容量能提高估计精度；验证了蒙特卡洛方法估计积分值的可行性，为后续估计第二类积分提供了参考。
从第二类积分看，以估计积分 为例：
积分估计值：1.4590
样本容量：10 100 1000 10000
样本均值：2.0782 1.6583 1.5029 1.4590
样本方差：0.4315 0.0889 0.0057 0.0008
用matlab 指令求得积分结果1.4627
由于积分真值未知，无法直接比较估计值与积分值值；但随样本容量增大，样本方差减小，间接反映了估计精度的提高。蒙特卡洛方法估计值1.4590相比用matlab 指令求得的积分结果1.4627，绝对偏差0.0038，相对偏差0.0025。蒙特卡洛方法估计值与用matlab 指令求得的积分结果相互验证。
总结与讨论：
蒙特卡洛方法是基于随机数的一种统计方法。
蒙特卡洛方法估计积分值，总的思想是将积分改写为某个随机变量的数学期望，借助相应的随机数，利用样本均值估计数学期望，从而估计相应的积分值。
为使方法具有一般性，概率密度函数一重积分选择了，二重积分选用。
程序设计方面，本着使程序具有一般性以及方便以后使用的原则，依据问题分四类：第一类一重积分；第一类二重积分；第二类一重积分，第二类二重积分，相应程序设计成四类，并存储为.m文件，用蒙特卡洛方法估计积分值，一重积分只需调用相应程序即可；二重积分只需依据积分域修改相应示性函数即可调用相应函数求解。
极大方便了同类问题求解。
实验运行结果表明本方案可操作性良好。
遗留问题：本次实验未设计选用不同概率密度函数，估计精度的比较，留有不同条件下选用何种概率密度函数估计效果最佳？如何缩短程序运行时间？如何对程序进行封装？如何更好评价第二类积分估计值无偏性以及精度？等问题。
姓名：王宏辉
班级：材料43
学号：2140201060