专题08-直接证明与间接证明-Word版含解析.doc

专题08-直接证明与间接证明-Word版含解析

专题08 直接证明与间接证明

【知识点总结】
1．直接证明
直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法．
(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
综合法又称为：由因导果法(顺推证法)．
(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
分析法又称为：执果索因法(逆推证法)．
2．间接证明
反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
【思路分析】
(1)综合法证题的一般思路
用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论．
(2)分析法证题的一般思路
分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．
(3)反证法证题的一般思路
反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A，即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现．
题型一　综合法
【例1】　已知数列{an}满足a1＝且an＋1＝an－a(n∈N*)．
(1)证明：1<≤2(n∈N*)；
(2)设数列{a}的前n项和为Sn，证明：<≤(n∈N*)．
【证明】　(1)由题意得an＋1－an＝－a<0，即an＋1<an，
故an≤.
由an＝(1－an－1)an－1得
an＝(1－an－1)(1－an－2)…(1－a1)a1>0.
由0<an≤得＝＝∈(1，2]，
即1<≤2(n∈N*)．
(2)由题意得a＝an－an＋1，所以Sn＝a1－an＋1.①
由－＝和1<≤2得1<－≤2，
所以n<－≤2n，
因此≤an＋1<(n∈N*)．②
由①②得<≤(n∈N*)．
【变式1】　在△ABC中，设a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且直线bx＋ycos A＋cos B＝0与ax＋ycos B＋cos A＝0平行，求证：△ABC是直角三角形．
[证明] 法一：由两直线平行可知bcos B－acos A＝0，由正弦定理可知sin Bcos B－sin Acos A＝0，即sin 2B－sin 2A＝0，故2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.若A＝B，则a＝b，cos A＝cos B，两直线重合，不符合题意，故A＋B＝，即△ABC是直角三角形．
法二：由两直线平行可知bcos B－acos A＝0，
由余弦定理，得a·＝b·，
所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，
所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2.
若a＝b，则两直线重合，不符合题意，
故a2＋b2＝c2，即△ABC是直角三角形．
题型二　分析法
【例2】　已知m＞0，a，b∈R，求证：≤.
【证明】　因为m＞0，所以1＋m＞0，
所以要证≤，
即证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，
即证m(a2－2ab＋b2)≥0，
即证(a－b)2≥0，
又(a－b)2≥0显然成立，
所以≤.
【变式2】　△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.
求证：＋＝.
[证明] 要证＋＝，
即证＋＝3，也就是证＋＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需证c2＋a2＝ac＋b2.
又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
由余弦定理，得
b2＝c2＋a2－2accos 60°，即b2＝c2＋a2－ac，
故c2＋a2＝ac＋b2成立．
于是原等式成立．
题型三　反证法
【例3】设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
【证明】　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.
(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；
同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾．
故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
【变式3】　如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．

(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；
(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
[证明] (1)设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则D(0，0，0)，A(0，0，2)，M(1，0，2)，N(0，1，0)，可得＝(－1，1，－2)．
又＝(0，0，2)为平面DCEF的一个法向量，可得cos〈，〉＝＝－.
所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为|cos〈，〉|＝.
(2)假设直线ME与BN共面，连接EN，BE，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.
由已知，两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF.
又AB∥CD，CD⊂平面DCEF，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN.
又AB∥CD∥EF，
所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．
所以ME与BN不共面，它们是异面直线．

题型四　综合运用
【例4】已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．
[解析] 由条件得cn＝an－bn＝－n＝，
所以cn随n的增大而减小，所以cn＋1<cn.
[答案] cn＋1<cn
【变式4】sin α与sin β分别是sin θ与cos θ的等差中项与等比中项，则cos 4β－4cos 4α＝________．
[解析] 由题意得2sin α＝sin θ＋cos θ，
sin2β＝sin θcos θ，
所以cos 4β－4cos 4α
＝2cos22β－1－4(2cos22α－1)
＝2(1－2sin2β)2－8(1－2sin2α)2＋3
＝2(1－2sin θcos θ)2－8＋3
＝2(sin θ－cos θ)4－2(sin θ－cos θ)4＋3＝3.
[答案] 3

【课后练习】
1．设m＝1＋，n＝2，则m与n的大小关系是(　　)
A．m＞n　　　　　　　　 B．m≥n
C．m＜n D．m≤n
【答案】C　[解析] 法一：m2－n2＝(1＋)2－(2)2＝4＋2－8＝2－4＝－＜0，又m＞0，n＞0.
所以m＜n，故选C.
法二：假设m≥n，即1＋≥2.
则有(1＋)2≥(2)2，
即4＋2≥8，即2≥4，
即≥2，即3≥4，显然错误，所以m＜n，故选C.
2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　)
A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(其中k∈N*)
B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(其中k∈N*)
C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(其中k∈N*)
D．假设n＝k时正确，再推n＝k＋2时正确(其中k∈N*)
【答案】B　[解析] 因为n为正奇数，所以n＝2k－1(k∈N*)．
3．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是(　　)
A．lg(1＋a2)>0　　　　　　 B．a2＋b2≥2(a－b－1)
C．a2＋3ab>2b2 D．<
【答案】B　[解析] 在B中，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
所以a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．
4．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　　)
A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2
C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2
D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2
【答案】A　[解析] f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
5．在△ABC中，sin Asin C＜cos Acos C，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形　　 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【答案】C　[解析] 由sin Asin C＜cos Acos C得
cos Acos C－sin Asin C＞0，
即cos(A＋C)＞0，所以A＋C是锐角，
从而B＞，故△ABC必是钝角三角形．
6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A．恒为负值　　 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
【答案】A　[解析] 由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.
7．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为________．
[解析] “x≠a且x≠b”的否定是“x＝a或x＝b”，因此应假设为x＝a或x＝b.
[答案] x＝a或x＝b
8．如果a＋b＞a＋b，则a，b应满足的条件是__________．
[解析] a＋b＞a＋b，即(－)2(＋)＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.
[答案] a≥0，b≥0且a≠b