中考数学总复习(北师大版)基础讲练-第5讲一元二次方程.doc

第5讲　一元二次方程

考纲要求
备考指津
1.理解一元二次方程的概念．
2．熟练掌握一元二次方程的解法．
3．会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．
4．会列一元二次方程解决实际问题.
　　一元二次方程的解法与一元二次方程的实际应用是中考考查的重点内容，一元二次方程的解法常以选择题、填空题的形式出现，一元二次方程的实际应用多出现在以社会热点为题材的解答题中．

考点一　一元二次方程的概念
1．定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．
2．一般形式
一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
考点二　一元二次方程的解法
1．配方法
如果x2＋px＋q＝0且p2－4q≥0，则2＝－q＋2.
x1＝－＋，x2＝－－.
二次项系数不为1的，先在方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.
2．公式法
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且b2－4ac≥0，则x＝.
3．因式分解法
一般步骤：
(1)将方程的右边各项移到左边，使右边为0；
(2)将方程左边分解为两个一次因式乘积的形式；
(3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
考点三　一元二次方程根的情况
1．b2－4ac＞0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根．
2．b2－4ac＝0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根．
3．b2－4ac＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
考点四　一元二次方程的实际应用
列一元二次方程解应用题的一般步骤：[来源:]
(1)弄清题意，确定适当的未知数；
(2)寻找等量关系；
(3)列出方程，注意方程两边的代数式的单位要相同；
(4)解方程，检验并写出答案．

1．写出一个有一根为1的一元二次方程：__________.
2．方程(x－1)2＝4的解是__________．
3. 已知x＝－1是一元二次方程x2＋mx－5＝0的一个解，则方程的另一个解是(　　)．
A．1 B．－5 C．5 D．－4
4．下列一元二次方程没有实数解的是(　　)．
A．x2－2x－1＝0 B．(x－1)(x－3)＝0 C．x2－2＝0 D．x2＋x＋1＝0
5．解方程：x－＝5x(－x)．
6．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．

一、一元二次方程的概念
【例1】 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　)．
A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B．＋－2＝0 C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝x2－1
解析：一元二次方程必须是有一个未知数，并且是未知数的最高次数是2的整式方程，另外当x2的系数有字母时，要注意系数不能为零．
答案：A

判断一元二次方程的方法：
一元二次方程必须同时满足三个条件：(1)是整式方程；(2)化简后只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.这三个条件是判断一个方程是否是一元二次方程的主要依据，缺一不可．
二、一元二次方程的解法
【例2】 解方程x(x＋6)＝16.
解法一：x2＋6x＝16，∴x2＋6x－16＝0.
∴(x＋8)(x－2)＝0.[来源:]
∴x＋8＝0或x－2＝0，∴x1＝－8，x2＝2.
解法二：x2＋6x＝16，∴x2＋6x－16＝0.
∵a＝1，b＝6，c＝－16，∴b2－4ac＝36＋64＝100.
∴x＝，∴x1＝－8，x2＝2.
解法三：x2＋6x＝16，∴x2＋6x＋2＝16＋2，
∴(x＋3)2＝25，∴x＋3＝±5.
∴x1＝－8，x2＝2.

解一元二次方程时，应注意以下两点：
(1)解一元二次方程要根据题目特点，选择适当的方法，若方程具有(x+m)2=n(n≥0)的形式可直接开方求解；若一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法求解．而公式法是一种最常用的方法，用时一定要把一元二次方程化为一般形式，确定a，b，c的值，在b2-4ac≥0的条件下代入公式求解．
(2)解一元二次方程主要有三种解法，任何一个有解的一元二次方程都可以用配方法和公式法求解，其中配方法较为复杂，除指定外，一般不选用它.选择适当的方法解一元二次方程可使运算简便.在三种解法中，选择顺序为：分解因式法→公式法→配方法.
三、一元二次方程根的判别式
【例3】 已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2＝0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是(　　)．
A．－2 B．－1 C．0 D．1
解析：方程x2－(2k－1)x＋k2＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝[－(2k－1)]2－4k2＝－4k＋1＞0，k＜，它的最大整数值是0.
答案：C

判断一元二次方程有无实根，就是判断b2-4ac的值，看其是否小于0，b2-4ac主要应用于不解方程判定根的情况或根据一元二次方程根的情况确定字母系数的取值范围．
四、一元二次方程的实际应用
【例4】 某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．
(1)填表(不需化简)：
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价(元)
80

40
销售量(件)
200

(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9 000元，那么第二个月的单价应是多少元？
解：(1)80－x；200＋10x；800－200－(200＋10x)．
(2)根据题意，得80×200＋(80－x)(200＋10x)＋40[800－200－(200＋10x)]－50×800＝9 000.
整理，得x2－20x＋100＝0.
解这个方程，得x1＝x2＝10.
当x＝10时，80－x＝70＞50.
答：第二个月的单价应是70元．

1．(2012河北)用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是(　　)．
A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3 C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝5
2．(2012江西南昌)已知关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是(　　)．
A．1 B．－1 C． D．－
3．(2011山东烟台)方程x2－2x－1＝0的两个实数根分别为x1，x2，则(x1－1)(x2－1)＝__________.
4．(2011江苏宿迁)如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6 m．若矩形的面积为4 m2，则AB的长度是__________m(可利用的围墙长度超过6 m)．

5．(2011山东日照)为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
(1)求每年市政府投资的增长率；
(2)若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．

1．方程x2＋x－1＝0的一个根是(　　)．
A．1－ B． C．－1＋ D．
2．将一元二次方程x2－6x－5＝0化成(x＋a)2＝b的形式，则b的值是(　　)．
A．－4 B．4 C．－14 D．14
3．解一元二次方程x2－x－12＝0，结果正确的是(　　)．
A．x1＝－4，x2＝3 B．x1＝4，x2＝－3 C．x1＝－4，x2＝－3 D．x1＝4，x2＝3
4．已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2＝0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是(　　)．
A．－2 B．－1 C．0 D．1
5．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5的过程中，配方正确的是(　　)．
A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9
6．方程(x－3)(x＋1)＝x－3的解是(　　)．
A．x＝0 B．x＝3 C．x＝3或x＝－1 D．x＝3或x＝0
7．某城市2011年底已有绿化面积300公顷，计划经过两年绿化，使绿化面积逐年增加，到2013年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是(　　)．
A．300(1＋x)＝363 B．300(1＋x)2＝363 C．300(1＋2x)＝363 D．363(1－x)2＝300
8．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是(　　)．
A．50(1＋x)2＝182 B．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝182
C．50(1＋2x)＝182 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝182
9．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)．
A．k＞－1 B．k＞－1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0
10．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是(　　)．[来源:数理化网]
A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c
11．两圆的半径R，r分别是方程x2－3x＋2＝0的两根，且圆心距d＝3，则两圆的位置关系为__________．
12．如果2是一元二次方程x2＋bx＋2＝0的一个根，那么常数b的值为__________．
13．解下列方程：
(1)2x2＋1＝3x；
(2)y2－3y－4＝0；
(3)2x2－3x－1＝0.
14．中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越式发展和长治久安，作出了重要战略决策部署．为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2012年当年用于城市基础设施维护与建设资金达到8.45亿元．
(1)求从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率；
(2)若2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同，预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元？
参考答案
基础自主导学
自主测试
1．x2－1＝0(答案不唯一)　2.x1＝－1，x2＝3
3．D　4.D
5．解：x－－5x(－x)＝0，
∴(x－)(1＋5x)＝0，
∴x－＝0或1＋5x＝0，
∴x1＝，x2＝－.
6．解：设该矩形草坪BC边的长为x米，根据题意，得x·＝120.
解得x1＝12，x2＝20.
∵20＞16，
∴x＝20不合题意，舍去．
答：该矩形草坪BC边的长为12米．
知能优化训练
中考回顾
1．A　2.B　3.－2　4.1
5．解：(1)设每年市政府投资的增长率为x，
根据题意，得2＋2(1＋x)＋2(1＋x)2＝9.5，
整理，得x2＋3x－1.75＝0，
解之，得x＝，
∴x1＝0.5，x2＝－0.35(舍去)．
答：每年市政府投资的增长率为50%.
(2)到2012年底共建廉租房面积＝9.5÷＝38(万平方米)．
模拟预测
1．D　2.D　3.B　4.C　5.D　6.D　7.B　8.B　9.B　10.A　11.外切　12.－3　
13．解：(1)2x2－3x＝－1，x2－x＝－，
x2－x＋2＝－＋2，2＝，
∴x－＝±.[来源:]
∴x1＝1，x2＝.
(2)y2－3y－4＝0，(y－4)(y＋1)＝0，
∴y1＝4，y2＝－1.
(3)2x2－3x－1＝0，a＝2，b＝－3，c＝－1，
b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－1)＝17，
∴x1＝，x2＝.
14．解：(1)设从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x，
由题意得5(1＋x)2＝8.45.
解得x1＝0.3＝30%，x2＝－2.3(不合题意，舍去)．[来源:]
答：从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为30%.
(2)这三年共投资5＋5(1＋x)＋8.45＝5＋5×(1＋0.3)＋8.45＝19.95(亿元)．
答：预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共19.95亿元．