2019年天津市和平区高考数学一模试卷(理科).doc

2019年天津市和平区高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x|﹣1≤x≤1，x∈Z}，则（　　）
A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N＝{0，1} D．M∪N＝N
2．（5分）设变量x，y满足约束条件则z＝2x+y的最大值为（　　）
A．1 B．6 C．5 D．4
3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（　　）

A．20 B．30 C．40 D．50
4．（5分）在△ABC中，若a2＝b2+c2﹣bc，bc＝4，则△ABC的面积为（　　）
A． B．1 C． D．2
5．（5分）不等式成立的充分不必要条件是（　　）
A．x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．x＞﹣1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
6．（5分）已知log2a＞log2b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B．log2（a﹣b）＞0
C．2a﹣b＜1 D．
7．（5分）设双曲线mx2+ny2＝1的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为（　　）
A．2 B． C． D．
8．（5分）已知函数f（x）＝|lnx|，若关于x的方程f（x）+m＝g（x）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（　　）
A．[0，ln2] B．（﹣2﹣ln2，0） C．（﹣2﹣ln2，0] D．[0，2+ln2）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.
9．（5分）已知a∈R，且复数是纯虚数，则a＝　 　．
10．（5分）的展开式中x4的系数为　 　．（用数字作答）
11．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为　 　cm3．
12．（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且单位长度相同建立极坐标系，若直线（t为参数）被曲线ρ＝﹣4cosθ截得的弦长为，则a的值为　 　．
13．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，，AB＝AD＝2．若M、N分别是边AD、BC上的动点，满足，，其中λ∈（0，1），若，则λ的值为　 　．

14．（5分）已知a，b为正数，若直线2ax+by﹣2＝0被圆x2+y2＝4截得的弦长为，则的最大值是　 　．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求的值．
16．（13分）点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势．某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元或者16元代金券一张，中奖率分别为和，每人限点一餐，且100%中奖．现有A公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃．
（Ⅰ）求这四人中至多一人抽到16元代金券的概率；
（Ⅱ）这四人中抽到10元、16元代金券的人数分别用X、Y表示，记ξ＝XY，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，PO⊥底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，AB＝6，AP＝5，∠BAD＝60°．
（Ⅰ）证明：AC⊥PE；
（Ⅱ）求直线PB与平面POE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在DC边上是否存在点F，使BF与PA所成角的余弦值为，若存在，确定点F位置；若不存在，说明理由．

18．（13分）已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2+8n，{bn}是等差数列，且an＝bn+bn+1．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．
19．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）经过点，左、右焦点分别F1、F2，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交椭圆于M、N两个不同的点，求的值．
20．（14分）设函数f（x）＝xekx（k≠0），
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）设g（x）＝x2﹣2bx+4，当k＝1时，若对任意x1∈R，存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．

2019年天津市和平区高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x|﹣1≤x≤1，x∈Z}，则（　　）
A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N＝{0，1} D．M∪N＝N
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】列举出N中元素确定出N，找出M与N的交集即可．
【解答】解：∵M＝{0，1，2}，N＝{x|﹣1≤x≤1，x∈Z}＝{﹣1，0，1}，
∴M∩N＝{0，1}，
故选：C．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）设变量x，y满足约束条件则z＝2x+y的最大值为（　　）
A．1 B．6 C．5 D．4
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．
【分析】先根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线z＝2x+y过点A时，z最大值即可．
【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，
设z＝2x+y，
∵直线z＝2x+y过可行域内A（2，1）的时候z最大，最大值为5，
故选：C．

【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（　　）

A．20 B．30 C．40 D．50
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型；5K：算法和程序框图．
【分析】根据程序框图，列出每次执行循环体后的S，i，T的值，当满足条件T＞S时，退出循环体，输出T的值．
【解答】解：根据程序框图，第一次执行循环体后S＝7，i＝3，T＝3；
第二次执行循环体后S＝13，i＝6，T＝9；
第三次执行循环体后S＝19，i＝9，T＝18；
第四次执行循环体后S＝25，i＝12，T＝30；满足条件T＞S，退出循环体，输出T＝30．
故选：B．
【点评】本题通过程序框图考查了算法的三种结构，解决题目的关键是正确列出每次执行循环体后得到的S，i，T的值．
4．（5分）在△ABC中，若a2＝b2+c2﹣bc，bc＝4，则△ABC的面积为（　　）
A． B．1 C． D．2
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；58：解三角形．
【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出A的度数，再由bc的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．
【解答】解：∵△ABC中，a2＝b2+c2﹣bc，即b2+c2﹣a2＝bc，
∴cosA＝＝，
∴A＝60°，
∵bc＝4，
∴S△ABC＝bcsinA＝，
故选：C．
【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．
5．（5分）不等式成立的充分不必要条件是（　　）
A．x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．x＞﹣1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】21：阅读型．
【分析】先求出不等式的解集，然后根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则进行逐一进行判定．
【解答】解：不等式，解得x＞1或x＜0
x＞1⇒x＞1或x＜0，符合题意，故正确；
x＜﹣1或0＜x＜1⇒x＞1或x＜0是假命题，故不正确；
x＞﹣1⇒x＞1或x＜0是假命题，故不正确；
﹣1＜x＜0或x＞1⇒x＞1或x＜0是假命题，故不正确；
故选：A．
【点评】判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系，属于基础题．
6．（5分）已知log2a＞log2b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B．log2（a﹣b）＞0
C．2a﹣b＜1 D．
【考点】7J：指、对数不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】由题意可得a＞b＞0，依次比较即可．
【解答】解：∵log2a＞log2b，∴a＞b＞0，
所以0＜，2a﹣b＞20＝1，故A、C不正确；
当a﹣b＞1时，log2（a﹣b）＞0，
当0＜a﹣b≤1时，log2（a﹣b）≤0，故B不正确；
∵，∴选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查函数的单调性，函数值的比较，属于中档题．
7．（5分）设双曲线mx2+ny2＝1的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用抛物线的方程先求出抛物线的焦点即双曲线的焦点，利用双曲线的方程与系数的关系求出a2，b2，利用双曲线的三个系数的关系列出m，n的一个关系，再利用双曲线的离心率的公式列出关于m，n的另一个等式，解方程组求出m，n的值，求出双曲线的渐近线方程，然后求解焦点到渐近线的距离．
【解答】解：∵抛物线x2＝8y的焦点为（0，2）
∴mx2+ny2＝1的一个焦点为（0，2）
∴焦点在y轴上
∴a2＝，b2＝﹣，c＝2
根据双曲线三个参数的关系得到 4＝a2+b2＝﹣
又离心率为2即 ＝4
解得n＝1，m＝﹣
∴此双曲线的方程为．b＝，渐近线方程：x+＝0
抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离：＝．
故选：B．
【点评】解决双曲线、椭圆的三参数有关的问题，有定注意三参数的关系：c2＝a2+b2而椭圆中三参数的关系为a2＝c2+b2．
8．（5分）已知函数f（x）＝|lnx|，若关于x的方程f（x）+m＝g（x）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（　　）
A．[0，ln2] B．（﹣2﹣ln2，0） C．（﹣2﹣ln2，0] D．[0，2+ln2）
【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】设h（x）＝f（x）+m，则h（x）是f（x）的图象沿着x＝1上下平移得到，作出函数h（x）与g（x）的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可．
【解答】解：设h（x）＝f（x）+m，
作出函数f（x）和g（x）的图象如图
则h（x）是f（x）的图象沿着x＝1上下平移得到，
由图象知B点的纵坐标为h（1）＝f（1）+m＝ln1+m＝m，
A点的纵坐标为g（2）＝﹣2，
当x＝2时，h（2）＝ln2+m，g（1）＝0，
要使方程f（x）+m＝g（x）恰有三个不相等的实数解，
则等价为h（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，
则满足，
即得，
即﹣2﹣ln2＜m≤0，
即实数m的取值范围是（﹣2﹣ln2，0]，
故选：C．

【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数图象平移关系以及数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.
9．（5分）已知a∈R，且复数是纯虚数，则a＝　﹣2　．
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．
【解答】解：∵＝是纯虚数，
∴，即a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
10．（5分）的展开式中x4的系数为　80　．（用数字作答）
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得展开式中x4的系数．
【解答】解：∵的展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r•25﹣r•x10﹣3r，令10﹣3r＝4，求得r＝2，
故展开式中x4的系数为•23＝80，
故答案为：80．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
11．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为　　cm3．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．
【解答】解：几何体的直观图如图是一个棱柱挖去一个圆柱的几何体，几何体的体积为：＝36﹣．
故答案为：36﹣．

【点评】本题考查空间几何体的三视图求解几何体的体积，考查转化思想以及计算能力．
12．（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且单位长度相同建立极坐标系，若直线（t为参数）被曲线ρ＝﹣4cosθ截得的弦长为，则a的值为　﹣1或﹣5　．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5S：坐标系和参数方程．
【分析】将直线和圆化成直角坐标方程后利用勾股定理列方程可解得．
【解答】解：由消去t得x+y﹣1﹣a＝0，由ρ＝﹣4cosθ得ρ2＝﹣4ρcosθ，得（x+2）2+y2＝4，
因此（）2+（）2＝4，解得a＝﹣5或a＝﹣1．
故答案为：﹣1，或﹣5．
【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
13．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，，AB＝AD＝2．若M、N分别是边AD、BC上的动点，满足，，其中λ∈（0，1），若，则λ的值为　　．

【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．
【分析】由平面向量的线性运算得：＝+＝+（1﹣λ），＝＝，
由平面向量数量积的性质及其运算得：[+（1﹣λ）]•（）＝﹣2，所以2+λ（1﹣λ）＝﹣2，又＝2，＝||2＝3，可得：3λ2﹣5λ+2＝0，又0＜λ＜1，所以，得解．
【解答】解：由图可知：＝+＝+（1﹣λ），
＝＝，
又，
所以[+（1﹣λ）]•（）＝﹣2，
所以2+λ（1﹣λ）＝﹣2，
又＝2，＝||2＝3，
可得：3λ2﹣5λ+2＝0，
又0＜λ＜1，
所以，
故答案为：．

【点评】本题考查了平面向量的线性运算、平面向量数量积的性质及其运算及向量投影的定义，属中档题．
14．（5分）已知a，b为正数，若直线2ax+by﹣2＝0被圆x2+y2＝4截得的弦长为，则的最大值是　　．
【考点】JE：直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5B：直线与圆．
【分析】根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系可得圆心到直线2ax+by﹣2＝0的距离d＝1，由点到直线的距离公式可得＝1，即4a2+b2＝4，又由＝×，结合基本不等式的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径r＝2，
若直线2ax+by﹣2＝0被圆x2+y2＝4截得的弦长为，则圆心到直线2ax+by﹣2＝0的距离d＝1，
又由圆心到直线2ax+by﹣2＝0的距离d＝＝，则有＝1，即4a2+b2＝4，
则＝×≤×＝×＝；
则的最大值是；
故答案为：．
【点评】此题考查直线与圆相交的性质，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求的值．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4O：定义法；58：解三角形．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理和余弦定理建立方程关系进行求解空间
（Ⅱ）利用两角和差的余弦公式进行求解
【解答】（Ⅰ） 解：由A＝2B，知sinA＝sin2B＝2sinBcosB，…………（1分）
由正、余弦定理得．………………（3分）
因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，则．………………（5分）
（Ⅱ） 解：由余弦定理得．……（6分）
由于0＜A＜π，所以………（8分）
故…………（11分）
………（13分）
【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及两角和差的余弦公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．
16．（13分）点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势．某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元或者16元代金券一张，中奖率分别为和，每人限点一餐，且100%中奖．现有A公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃．
（Ⅰ）求这四人中至多一人抽到16元代金券的概率；
（Ⅱ）这四人中抽到10元、16元代金券的人数分别用X、Y表示，记ξ＝XY，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）设“这4人中恰有i人抽到16元代金券”为事件Ai，由此利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出这4人中恰有1人抽到500元代金券的概率．
（Ⅱ）由已知ξ可取0，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列与数学期望．
【解答】（本题13分）
（Ⅰ） 解：设“四人中恰有i人获赠16元代金券”为事件Ai，其中i＝0，1，2，3，4．
则 由P（Ai）＝………………………（2分）
得．（5分）
（Ⅱ） 解：随机变量ξ的所有可能取值为0，3，4．………………………（6 分），（8分）
，…（10分）
，………（11分）
∴随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
3
4
P

…………………………（12分）
ξ的数学期望．………（13分）
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，PO⊥底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，AB＝6，AP＝5，∠BAD＝60°．
（Ⅰ）证明：AC⊥PE；
（Ⅱ）求直线PB与平面POE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在DC边上是否存在点F，使BF与PA所成角的余弦值为，若存在，确定点F位置；若不存在，说明理由．

【考点】LM：异面直线及其所成的角；LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（I）建立坐标系，求出的坐标，计算＝0得出结论；
（II）求出平面POE的法向量，计算与的夹角得出结论；
（III）设＝λ，计算与的夹角，解方程求出λ的值得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，
又OP⊥底面ABCD，∴OA，OB，OP两两垂直，
如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，
依题意可得O（0，0，0），A（3，0，0），，，D（﹣3，0，0），，P（0，0，4）．
（Ⅰ） 证明：∵，，
∴．
∴，因此AC⊥PE．
（Ⅱ） 解：设平面POE的法向量为，则，
∵，，∴．
令y＝1，得，又．
设PB与平面POE所成角为θ，则．
（Ⅲ） 解：∵假设存在F∈DC，使，
计算得，则．
又，由异面直线PA与BF所成角的余弦值为，得＝，解得．
满足条件λ∈[0，1]，因此，存在点F在DC的中点处．

【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，空间角的计算，属于中档题．
18．（13分）已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2+8n，{bn}是等差数列，且an＝bn+bn+1．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）Sn＝3n2+8n，
∴n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝6n+5，
n＝1时，a1＝S1＝11，∴an＝6n+5；
∵an＝bn+bn+1，
∴an﹣1＝bn﹣1+bn，
∴an﹣an﹣1＝bn+1﹣bn﹣1．
∴2d＝6，
∴d＝3，
∵a1＝b1+b2，
∴11＝2b1+3，
∴b1＝4，
∴bn＝4+3（n﹣1）＝3n+1；
（Ⅱ）cn＝＝＝＝＝＝＝＝6（n+1）•2n，
∴Tn＝6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，
∴2Tn＝6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，
①﹣②可得
﹣Tn＝6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]
＝12+6×﹣6（n+1）•2n+1
＝（﹣6n）•2n+1＝﹣3n•2n+2，
∴Tn＝3n•2n+2．
【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．
19．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）经过点，左、右焦点分别F1、F2，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交椭圆于M、N两个不同的点，求的值．
【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ） 由题知求出a，b即可得到椭圆方程．
（Ⅱ） 设直线OQ：x＝my，则直线与椭圆联立，求出OQ，MN，然后求解比值即可．
【解答】（本题14分）
（Ⅰ） 解：由题知……………………………（2 分）
解得……………………………（3 分）
则椭圆C的标准方程为．……………………………（4 分）
（Ⅱ） 解：由（Ⅰ）知，，…………………………（5 分）
设直线OQ：x＝my，则直线………………………（6 分）
联立得，
所以………………………（8 分）
由得 ．………（9 分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），则．…（10 分）
所以………（11 分）
＝＝．……………………（13 分）
所以……………………（14分）
【点评】本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
20．（14分）设函数f（x）＝xekx（k≠0），
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）设g（x）＝x2﹣2bx+4，当k＝1时，若对任意x1∈R，存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．
【考点】3V：二次函数的性质与图象；6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．
【分析】（1）f′（x）＝（1+kx）ekx，由f（0）＝0，且f′（0）＝1，能求出曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．
（2）令f′（x）＝（1+kx）ekx＞0，所以1+kx＞0，由此利用k的符号进行分类讨论，能求出f（x）的单调性．
（3）当k＝1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，所以对任意x1∈R，有f（x1）≥f（﹣1）＝﹣，已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），所以﹣≥g（x2），x2∈[1，2]，由此能求出实数b取值范围．
【解答】解：（1）f′（x）＝（1+kx）ekx，
因为f（0）＝0，且f′（0）＝1，
所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y＝x．（4分）
（2）令f′（x）＝（1+kx）ekx＞0，所以1+kx＞0，
当k＞0时，x＞﹣，
此时f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增；
当k＜0时，x＜﹣，
此时f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减．（8分）
（3）当k＝1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，
所以对任意x1∈R，有f（x1）≥f（﹣1）＝﹣，
又已知存在x2∈[1，2]，
使f（x1）≥g（x2），所以﹣≥g（x2），x2∈[1，2]，
即存在x∈[1，2]，使g（x）＝x2﹣2bx+4≤﹣，
即2b≥x+，
即因为当x∈[1，2]，x+∈[4+，5+]，
所以2b≥4+，即实数b取值范围是b≥2+．（14分）
【点评】本题考查切线方程的求法，考查函数单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答．
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