2019年天津市和平区高考数学一模试卷(理科).doc

2019年天津市和平区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合M0，1，2，Nx|1x1，xZ，则（）AMNBNMCMN0，1DMNN2（5分）设变量x，y满足约束条件则z2x+y的最大值为（）A1B6C5D43（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A20B30C40D504（5分）在ABC中，若a2b2+c2bc，bc4，则ABC的面积为（）AB1CD25（5分）不等式成立的充分不必要条件是（）Ax1Bx1或0x1Cx1D1x0或x16（5分）已知log2alog2b，则下列不等式一定成立的是（）ABlog2（ab）0C2ab1D7（5分）设双曲线mx2+ny21的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为（）A2BCD8（5分）已知函数f（x）|lnx|，若关于x的方程f（x）+mg（x）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A0，ln2B（2ln2，0）C（2ln2，0D0，2+ln2）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.9（5分）已知aR，且复数是纯虚数，则a 10（5分）的展开式中x4的系数为 （用数字作答）11（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为 cm312（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且单位长度相同建立极坐标系，若直线（t为参数）被曲线4cos截得的弦长为，则a的值为 13（5分）如图，在直角梯形ABCD中，ABAD2若M、N分别是边AD、BC上的动点，满足，其中（0，1），若，则的值为 14（5分）已知a，b为正数，若直线2ax+by20被圆x2+y24截得的弦长为，则的最大值是 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（13分）设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B（）求a的值；（）求的值16（13分）点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元或者16元代金券一张，中奖率分别为和，每人限点一餐，且100%中奖现有A公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃（）求这四人中至多一人抽到16元代金券的概率；（）这四人中抽到10元、16元代金券的人数分别用X、Y表示，记XY，求随机变量的分布列和数学期望17（13分）如图，四棱锥PABCD的底面是菱形，PO底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，AB6，AP5，BAD60（）证明：ACPE；（）求直线PB与平面POE所成角的正弦值；（）在DC边上是否存在点F，使BF与PA所成角的余弦值为，若存在，确定点F位置；若不存在，说明理由18（13分）已知数列an的前n项和Sn3n2+8n，bn是等差数列，且anbn+bn+1（）求数列bn的通项公式；（）令cn，求数列cn的前n项和Tn19（14分）已知椭圆（ab0）经过点，左、右焦点分别F1、F2，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为（）求椭圆C的标准方程；（）设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交椭圆于M、N两个不同的点，求的值20（14分）设函数f（x）xekx（k0），（1）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）设g（x）x22bx+4，当k1时，若对任意x1R，存在x21，2，使f（x1）g（x2），求实数b取值范围2019年天津市和平区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合M0，1，2，Nx|1x1，xZ，则（）AMNBNMCMN0，1DMNN【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合【分析】列举出N中元素确定出N，找出M与N的交集即可【解答】解：M0，1，2，Nx|1x1，xZ1，0，1，MN0，1，故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）设变量x，y满足约束条件则z2x+y的最大值为（）A1B6C5D4【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式【分析】先根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线z2x+y过点A时，z最大值即可【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，设z2x+y，直线z2x+y过可行域内A（2，1）的时候z最大，最大值为5，故选：C【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解3（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A20B30C40D50【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【专题】1：常规题型；5K：算法和程序框图【分析】根据程序框图，列出每次执行循环体后的S，i，T的值，当满足条件TS时，退出循环体，输出T的值【解答】解：根据程序框图，第一次执行循环体后S7，i3，T3；第二次执行循环体后S13，i6，T9；第三次执行循环体后S19，i9，T18；第四次执行循环体后S25，i12，T30；满足条件TS，退出循环体，输出T30故选：B【点评】本题通过程序框图考查了算法的三种结构，解决题目的关键是正确列出每次执行循环体后得到的S，i，T的值4（5分）在ABC中，若a2b2+c2bc，bc4，则ABC的面积为（）AB1CD2【考点】HR：余弦定理菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；58：解三角形【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出A的度数，再由bc的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可【解答】解：ABC中，a2b2+c2bc，即b2+c2a2bc，cosA，A60，bc4，SABCbcsinA，故选：C【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题5（5分）不等式成立的充分不必要条件是（）Ax1Bx1或0x1Cx1D1x0或x1【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；7E：其他不等式的解法菁优网版权所有【专题】21：阅读型【分析】先求出不等式的解集，然后根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则进行逐一进行判定【解答】解：不等式，解得x1或x0x1x1或x0，符合题意，故正确；x1或0x1x1或x0是假命题，故不正确；x1x1或x0是假命题，故不正确；1x0或x1x1或x0是假命题，故不正确；故选：A【点评】判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系，属于基础题6（5分）已知log2alog2b，则下列不等式一定成立的是（）ABlog2（ab）0C2ab1D【考点】7J：指、对数不等式的解法菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用【分析】由题意可得ab0，依次比较即可【解答】解：log2alog2b，ab0，所以0，2ab201，故A、C不正确；当ab1时，log2（ab）0，当0ab1时，log2（ab）0，故B不正确；，选项D正确；故选：D【点评】本题考查函数的单调性，函数值的比较，属于中档题7（5分）设双曲线mx2+ny21的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为（）A2BCD【考点】KI：圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用抛物线的方程先求出抛物线的焦点即双曲线的焦点，利用双曲线的方程与系数的关系求出a2，b2，利用双曲线的三个系数的关系列出m，n的一个关系，再利用双曲线的离心率的公式列出关于m，n的另一个等式，解方程组求出m，n的值，求出双曲线的渐近线方程，然后求解焦点到渐近线的距离【解答】解：抛物线x28y的焦点为（0，2）mx2+ny21的一个焦点为（0，2）焦点在y轴上a2，b2，c2根据双曲线三个参数的关系得到 4a2+b2又离心率为2即 4解得n1，m此双曲线的方程为b，渐近线方程：x+0抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离：故选：B【点评】解决双曲线、椭圆的三参数有关的问题，有定注意三参数的关系：c2a2+b2而椭圆中三参数的关系为a2c2+b28（5分）已知函数f（x）|lnx|，若关于x的方程f（x）+mg（x）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A0，ln2B（2ln2，0）C（2ln2，0D0，2+ln2）【考点】5B：分段函数的应用菁优网版权所有【专题】31：数形结合；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用【分析】设h（x）f（x）+m，则h（x）是f（x）的图象沿着x1上下平移得到，作出函数h（x）与g（x）的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可【解答】解：设h（x）f（x）+m，作出函数f（x）和g（x）的图象如图则h（x）是f（x）的图象沿着x1上下平移得到，由图象知B点的纵坐标为h（1）f（1）+mln1+mm，A点的纵坐标为g（2）2，当x2时，h（2）ln2+m，g（1）0，要使方程f（x）+mg（x）恰有三个不相等的实数解，则等价为h（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，则满足，即得，即2ln2m0，即实数m的取值范围是（2ln2，0，故选：C【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数图象平移关系以及数形结合是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.9（5分）已知aR，且复数是纯虚数，则a2【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解【解答】解：是纯虚数，即a2故答案为：2【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题10（5分）的展开式中x4的系数为80（用数字作答）【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得展开式中x4的系数【解答】解：的展开式的通项公式为Tr+1（1）r25rx103r，令103r4，求得r2，故展开式中x4的系数为2380，故答案为：80【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题11（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3【考点】L!：由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【解答】解：几何体的直观图如图是一个棱柱挖去一个圆柱的几何体，几何体的体积为：36故答案为：36【点评】本题考查空间几何体的三视图求解几何体的体积，考查转化思想以及计算能力12（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且单位长度相同建立极坐标系，若直线（t为参数）被曲线4cos截得的弦长为，则a的值为1或5【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有【专题】11：计算题；5S：坐标系和参数方程【分析】将直线和圆化成直角坐标方程后利用勾股定理列方程可解得【解答】解：由消去t得x+y1a0，由4cos得24cos，得（x+2）2+y24，因此（）2+（）24，解得a5或a1故答案为：1，或5【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题13（5分）如图，在直角梯形ABCD中，ABAD2若M、N分别是边AD、BC上的动点，满足，其中（0，1），若，则的值为【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用【分析】由平面向量的线性运算得：+（1），由平面向量数量积的性质及其运算得：+（1）（）2，所以2+（1）2，又2，|23，可得：325+20，又01，所以，得解【解答】解：由图可知：+（1），又，所以+（1）（）2，所以2+（1）2，又2，|23，可得：325+20，又01，所以，故答案为：【点评】本题考查了平面向量的线性运算、平面向量数量积的性质及其运算及向量投影的定义，属中档题14（5分）已知a，b为正数，若直线2ax+by20被圆x2+y24截得的弦长为，则的最大值是【考点】JE：直线和圆的方程的应用菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5B：直线与圆【分析】根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系可得圆心到直线2ax+by20的距离d1，由点到直线的距离公式可得1，即4a2+b24，又由，结合基本不等式的性质分析可得答案【解答】解：根据题意，圆x2+y24的圆心为（0，0），半径r2，若直线2ax+by20被圆x2+y24截得的弦长为，则圆心到直线2ax+by20的距离d1，又由圆心到直线2ax+by20的距离d，则有1，即4a2+b24，则；则的最大值是；故答案为：【点评】此题考查直线与圆相交的性质，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（13分）设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B（）求a的值；（）求的值【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4O：定义法；58：解三角形【分析】（）利用正弦定理和余弦定理建立方程关系进行求解空间（）利用两角和差的余弦公式进行求解【解答】（） 解：由A2B，知sinAsin2B2sinBcosB，（1分）由正、余弦定理得（3分）因为b3，c1，所以a212，则（5分）（） 解：由余弦定理得（6分）由于0A，所以（8分）故（11分）（13分）【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及两角和差的余弦公式是解决本题的关键考查学生的计算能力16（13分）点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元或者16元代金券一张，中奖率分别为和，每人限点一餐，且100%中奖现有A公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃（）求这四人中至多一人抽到16元代金券的概率；（）这四人中抽到10元、16元代金券的人数分别用X、Y表示，记XY，求随机变量的分布列和数学期望【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计【分析】（）设“这4人中恰有i人抽到16元代金券”为事件Ai，由此利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出这4人中恰有1人抽到500元代金券的概率（）由已知可取0，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列与数学期望【解答】（本题13分）（） 解：设“四人中恰有i人获赠16元代金券”为事件Ai，其中i0，1，2，3，4则 由P（Ai）（2分）得（5分）（） 解：随机变量的所有可能取值为0，3，4（6 分），（8分） ，（10分），（11分）随机变量的分布列为：034P（12分）的数学期望（13分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用17（13分）如图，四棱锥PABCD的底面是菱形，PO底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，AB6，AP5，BAD60（）证明：ACPE；（）求直线PB与平面POE所成角的正弦值；（）在DC边上是否存在点F，使BF与PA所成角的余弦值为，若存在，确定点F位置；若不存在，说明理由【考点】LM：异面直线及其所成的角；LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离【分析】（I）建立坐标系，求出的坐标，计算0得出结论；（II）求出平面POE的法向量，计算与的夹角得出结论；（III）设，计算与的夹角，解方程求出的值得出结论【解答】解：四边形ABCD是菱形，BAD60，ABD是等边三角形，又OP底面ABCD，OA，OB，OP两两垂直，如图建立空间直角坐标系Oxyz，依题意可得O（0，0，0），A（3，0，0），D（3，0，0），P（0，0，4）（） 证明：，因此ACPE（） 解：设平面POE的法向量为，则，令y1，得，又设PB与平面POE所成角为，则（） 解：假设存在FDC，使，计算得，则又，由异面直线PA与BF所成角的余弦值为，得，解得满足条件0，1，因此，存在点F在DC的中点处【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，空间角的计算，属于中档题18（13分）已知数列an的前n项和Sn3n2+8n，bn是等差数列，且anbn+bn+1（）求数列bn的通项公式；（）令cn，求数列cn的前n项和Tn【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式菁优网版权所有【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】（）求出数列an的通项公式，再求数列bn的通项公式；（）求出数列cn的通项，利用错位相减法求数列cn的前n项和Tn【解答】解：（）Sn3n2+8n，n2时，anSnSn16n+5，n1时，a1S111，an6n+5；anbn+bn+1，an1bn1+bn，anan1bn+1bn12d6，d3，a1b1+b2，112b1+3，b14，bn4+3（n1）3n+1；（）cn6（n+1）2n，Tn622+322+（n+1）2n，2Tn6222+323+n2n+（n+1）2n+1，可得Tn622+22+23+2n（n+1）2n+112+66（n+1）2n+1（6n）2n+13n2n+2，Tn3n2n+2【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题19（14分）已知椭圆（ab0）经过点，左、右焦点分别F1、F2，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为（）求椭圆C的标准方程；（）设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交椭圆于M、N两个不同的点，求的值【考点】KL：直线与椭圆的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（） 由题知求出a，b即可得到椭圆方程（） 设直线OQ：xmy，则直线与椭圆联立，求出OQ，MN，然后求解比值即可【解答】（本题14分）（） 解：由题知（2 分）解得（3 分）则椭圆C的标准方程为（4 分）（） 解：由（）知，（5 分）设直线OQ：xmy，则直线（6 分）联立得，所以（8 分）由得 （9 分）设M（x1，y1），N（x2，y2），则（10 分）所以（11 分）（13 分）所以（14分）【点评】本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力20（14分）设函数f（x）xekx（k0），（1）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）设g（x）x22bx+4，当k1时，若对任意x1R，存在x21，2，使f（x1）g（x2），求实数b取值范围【考点】3V：二次函数的性质与图象；6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】15：综合题；53：导数的综合应用【分析】（1）f（x）（1+kx）ekx，由f（0）0，且f（0）1，能求出曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程（2）令f（x）（1+kx）ekx0，所以1+kx0，由此利用k的符号进行分类讨论，能求出f（x）的单调性（3）当k1时，f（x）在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，所以对任意x1R，有f（x1）f（1），已知存在x21，2，使f（x1）g（x2），所以g（x2），x21，2，由此能求出实数b取值范围【解答】解：（1）f（x）（1+kx）ekx，因为f（0）0，且f（0）1，所以曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程为：yx（4分）（2）令f（x）（1+kx）ekx0，所以1+kx0，当k0时，x，此时f（x）在（，）上单调递减，在（，+）上单调递增；当k0时，x，此时f（x）在（，）上单调递增，在（，+）上单调递减（8分）（3）当k1时，f（x）在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，所以对任意x1R，有f（x1）f（1），又已知存在x21，2，使f（x1）g（x2），所以g（x2），x21，2，即存在x1，2，使g（x）x22bx+4，即2bx+，即因为当x1，2，x+4+，5+，所以2b4+，即实数b取值范围是b2+（14分）【点评】本题考查切线方程的求法，考查函数单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法解题时要认真审题，仔细解答声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/4/17 7:37:38；用户：qgjyuser10370；邮箱：qgjyuser10370.21957750；学号：21985377第22页（共22页）