专题05-三角函数与解三角形-2019高考数学(理)热点题型.doc

专题05-三角函数与解三角形-2019高考数学(理)热点题型

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三角函数与解三角形
热点一　解三角形
高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合应用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.
【例1】(满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.
(1)求sin Bsin C；
(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长.
教材探源　本题第(1)问源于教材必修5P20B组1且相似度极高，本题第(2)问在第(1)问的基础上进行拓展，考查正弦定理、余弦定理的应用.

由正弦定理得sin2A＝sin Bsin Csin2A，4分　(得分点3)
因为sin A≠0，所以sin Bsin C＝.5分　(得分点4)
(2)由(1)得sin Bsin C＝，cos Bcos C＝.
因为A＋B＋C＝π，
所以cos A＝cos(π－B－C)＝－cos(B＋C)
＝sin Bsin C－cos Bcos C＝，7分　(得分点5)
又A∈(0，π)，所以A＝，sin A＝，cos A＝，8分　(得分点6)
由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc＝9，　①9分　(得分点7)
由正弦定理得b＝·sin B，c＝·sin C，
所以bc＝·sin Bsin C＝8，　②10分　(得分点8)
由①②得：b＋c＝，11分　(得分点9)
所以a＋b＋c＝3＋，即△ABC周长为3＋.12分　(得分点10)
得分要点
❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”.在第(1)问中，写出面积公式，用正弦定理求出结果.第(2)问中，诱导公式→恒等变换→余弦定理→正弦定理→得出结果.
❷得关键分：(1)面积公式，(2)诱导公式，(3)恒等变换，(4)正弦定理，(5)余弦定理都是不可少的过程，有则给分，无则没分.
❸得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点5)，(得分点6)，(得分点9)，(得分点10).
【类题通法】利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤
第一步：找条件：寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向.
第二步：定工具：根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化.
第三步：求结果：根据前两步分析，代入求值得出结果.
第四步：再反思：转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性.
【对点训练】 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.

(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.
故△ABD与△ACD面积的比值为＝1.
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，
所以△ABD的面积为.
热点二　三角函数的图象和性质
注意对基本三角函数y＝sin x，y＝cos x的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.
【例2】已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性.

【类题通法】三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解.
【对点训练】设函数f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3，已知f ＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值.
解　(1)因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx＝
＝sin.
由题设知f ＝0，
所以－＝kπ，k∈Z，
故ω＝6k＋2，k∈Z.
又0＜ω＜3，所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为x∈，所以x－∈，
当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.
热点三　三角函数与平面向量结合
三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.
【例3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量m＝，n＝(cos C，cos A)，且n·m＝bcos B.
(1)求角B的值；
(2)若cos＝sin A，且|m|＝，求△ABC的面积.

(2)C＝π－A－B＝－A，cos＝sin A⇒cos＝sin A⇒cos A＝
sin A⇒tan A＝.
∵0<A<π⇒A＝，∴C＝π－－＝.
在Rt△ABC中，∵a＝csin＝c，
又|m|＝，即a2＋c2＝20，
∴a＝2，c＝4，b＝＝2，
△ABC的面积S＝×2×2＝2.
【类题通法】向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.
【对点训练】已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x，1)，x∈R.
(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值.

(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，
∴cos＝－1，又＜2A＋＜，
∴2A＋＝π，即A＝.
∵a＝，∴由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.①
∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，
∴2sin B＝3sin C，由正弦定理得2b＝3c，②
由①②得b＝3，c＝2.

予少家汉东，汉东僻陋无学者，吾家又贫无藏书。州南有大姓李氏者，其于尧辅颇好学。予为儿童时，多游其家，见有弊筐贮故书在壁间，发而视之，得唐《昌黎先生文集》六卷，脱落颠倒无次序，因乞李氏以归。读之，见其言深厚而雄博，然予犹少，未能悉究其义．徒见其浩然无涯，若可爱。
是时天下学者杨、刘之作，号为时文，能者取科第，擅名声，以夸荣当世，未尝有道韩文者。予亦方举进士，以礼部诗赋为事。年十有七试于州，为有司所黜。因取所藏韩氏之文复阅之，则喟然叹曰：学者当至于是而止尔！因怪时人之不道，而顾己亦未暇学，徒时时独念于予心，以谓方从进士干禄以养亲，苟得禄矣，当尽力于斯文，以偿其素志。

天热迎头痛击