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专题2----相似三角形的判定及应用

专题2 相似三角形的判定及应用（一）
一个三角形与另一个三角形的两个角对应相等，则这两个三角形相似．这是判定三角形相似的重要方法之一．由此，即知
（1）任何两个等边三角形都相似．
（2）任何顶角相等的两个等腰三角形相似．
（3）三角形的中位线截原三角形得到的小三角形与原三角形相似．
（4）一个锐角相等的两个直角三角形相似．
例1 如图，设P是等边△ABC的边BC上任一点，连AP，作AP的中垂线交AB、AC于M、N．证明：BP·PC＝BM·CN．（1994年安徽省竞赛题）

例2 如图，△ABC和△A’B’C’的各边交成六边形DEFGHK，且EF∥KH，GH∥DE，FG∥KD，KH－EF＝FG—KD＝DE—OH>0．求证：△ABC，△A’B’C’均为等边三角形．

例3 如图，在锐角△ABC中，D、E、F分别是三条高AD、BE、CF的垂足，连DF、EF、FD，求证：△DEC∽△AEF∽△DBF．

例4 在等腰△ABC中，AB＝AC＝6，P为边BC上一点，且PA=4，求PB．PC的值．

例5 如图，在△ABC的边AB上取一点D，连CD，过D作DE∥BC交AC于E，过E作EF∥CD交AB于F，求证：AB≥4DF．

习题1
1．设△ABC的三边为，求证：
（1）若∠A＝2∠B，则；
（2）若∠A＝3∠B，则．

2．在△ABC中，∠A＝600，∠B＝800．求证：AC2－AB2＝AB·AC．

3．在△ABC中，∠C＝3∠A，．求．

4．等腰△ABC的顶角∠A＝1080，BC＝m，AB＝AC＝n，记，，．试排出的大小关系．

5．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB＋BD＝25，AC－CD＝4，求AD．

6．已知E五边形的周长等于，所有对角线的长度之和等于，求的值．

7．设O是△ABC内任一点，直线AO、BO、CO分别与三边相交于P、Q、R．令BC＝，CA＝，AB＝，若，求证：OP＋OQ＋OR<．

专题3 相似三角形的判定及应用（二）
一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且对应夹角相等，则这两个三角形相似．这是判定三角形相似的又一重要方法．
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是底边上一点，F是线段AD上一点，且∠BED＝2∠CED＝∠BAC．求证：BD＝2CD．（1992年全国联赛题，同§2．2中例2）

例2 如图，在△ABC外作△BPC、△CQA、△ARB，使∠PBC＝∠CAQ＝450，∠BCP＝∠QCA＝300，∠ABR＝∠BAR＝150．求证：△POR是等腰直角三角形．（1991年四川省竞赛题）

例3 如图，已知△ABC满足∠ACB＝2∠ABC．设D是BC边上一点，且CD＝2BD．
延长线段AD至E，使AD＝DE．证明：∠ECB＋1800＝2∠EBC．

例4 锐角△ABC的三条高AAl、BBl、CCl的中点分别为A2、B2、C2．试求∠B2AlC2＋∠C2B1A2＋∠A2C1B2．（第22届全俄奥林匹克题）

例5 在△ABC中，∠BAC＝600，∠ACB＝450．
（1）求：这个三角形的三边之比AB：BC： CA；
（2）设P为△A BC内一点，且，，，求∠APB、∠BPC、∠CPA．（1990年武汉、重庆、广州、洛阳、福州联赛题）

习题2
1．等腰三角形ABC中，∠A＝1000，AB＝AC，角B的平分线交AC于D．求证：BD＋AD＝BC．（第23届加拿大奥林匹克训练题）

2．在△ABC中，若∠A＝2∠B，边AC＝4，AB＝5， 求BC．

3．如图，△ABC和△A1B1C1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D．求证：AA1⊥CC1．（2000年重庆市竞赛题）

4．如图，大正方形ABCD及小正方形AEFG共顶点A，连BE、CF、DG，求BE：CF：DG．

5．在给定的不等边三角形A1A2A3中，用表示顶点关于由顶点引出的角平分线的对称点，其中，求证：直线B12B21，B13B31与B23B32相互平行．（1982年保加利亚奥林匹克题）

专题3 相似三角形的判定及应用（三）
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似．这也是判定三角形相似的两个重要方法．
例1 如图，P是△ABC内一点，过P分别作直线平行于△ABC的各边，所成的小三角形、和的面积分别是4、9和49．求△ABC的面积．（第2届美国邀请赛题）

例2 如图，过三角形内任何一点，引三条直线分别平行于它的边，它们把边分割成线段．求证：．（第24届全苏奥林匹克题）

例3 如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD为∠BAC的平分线，DE∥CA，AD、CE相交于点O，令△AOC、△DOE、△BDE的面积分别为S1、S2、S3，求证：，其中、分别为边AC和AB的长．（1991年安庆市竞赛题）

例4 如图，在△ABC中，S△COE＝S△DOF，且．
求证：（1）；（2）S△AEF ：S△EOF＝．（1990年四川竞赛题）

例5 如图，在△UVW与△XYZ的边分别交于A、B、C、D、E、F，若，求证．

习题3
1．在△ABC中，D为BC的中点，过D作一直线交AC于E，交AB的延长线于F．求证：AE：EC＝AF：BF．（1978年北京市竞赛题）

2．在△ABC中，BC＝2AC，D、E分别是边BC、AB上的点，且∠B＝∠EDA＝∠DAC．如果△ABC、△EBD、△ADC的周长依次为、、．求证：5m．

3．在△ABC的与边BC平行的中位线MN上任取一点P，射线BP、CP分别交AC、AB于F、E，试证：．

4．在正△ABC的边BC、CA上各有一点E、F，BE＝CF＝，EC＝FA＝，当BF平分AE时，试比较的大小．

5．△ABC的面积为1，DE∥AB交AC于D，交BC于E，连BD．设△DCE、△ABD、△BDE中面积最大者的值为．求的最小值．

6．四边形PQRS是锐角△ABC的内接矩形，S在AB上，R在AC上，Q在P与C之间．设S△ABC＝S矩形ABCD，其中为不小于3的自然数．求证：为无理数．

专题4 直角三角形的相似及应用
直角三角形有一个特殊的角——直角，因而对于一般的相似三角形的判定方法中，现在已经确定了一个角对应相等，只需再寻求其余一个条件，即可判定两个直角三角形相似．
例1 如图，已知P为Rt△ABC的斜边BC上一点，Q为PC的中点，过P作BC的垂线， 交AB于R，H为AR的中点，过H向C所在一侧作射线HN上AB．证明：射线HN上存在一点G，使AG＝CQ，BG＝BQ．（2002年全国联赛题）

例2 如图，AD是锐角△ABC边BC上的高，E是AD上的一点且满足，过D作DF⊥BE于F．求证：∠AFC＝900．（1999年上海中学数学实验班选拔赛题）

例3 如图，在△ABC中，∠A＝900，AD⊥BC于D，∠B的平分线分别与AD、AC交于E、F．求证：（1）AE＝AF；
（2）若AC，则．（1993年四川省竞赛题）

例4 如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，P是AD的中点，连结BP并延长交AC于E．已知AC：AB＝．求AE：EC．（1999年山东省竞赛题）

例5 如图，在四边形ABCD中，AD＝DC＝1，∠DAB＝∠ECB＝900．BC、AD的延长线交于P．求AB·S△PAB的最小值．（1994年四川省竞赛题）

例6 如图，AD、BE、CF是锐角△ABC的三条高，M、N分别是BE、CF的中点，求证：△DMN∽△ABC．

习题4
1．设AA1、BB1、CC1为锐角△ABC的三条高，H为垂心，已知，求证：△ABC为等腰三角形．（1991年苏联教委推荐试题）

2．△ABC中，∠C＝900，D为AB上一点，作DE⊥BC于E，使BE＝AC，且，又DE＋BC＝1．求证：∠ABC＝300．（1986年北京市竞赛题）

3．已知△ABC中，∠C＝900，BE是∠B的平分线，CD⊥AB于D交BE于O，又过O作FG∥AB且分别交AC、BC于F、G．求证：AF＝CE．（1979年宁夏回族自治区竞赛题）

4．在△ABC中，∠ACB＝900，AC＝BC，D是BC延长线上的一点，BE⊥AD于E，BE与AC交于点F．求证：CD＝CF及DE>DC．（1994年四川省竞赛题）

5．将长为12，宽为5的矩形纸片沿对角线对折后放在桌面上，求复盖桌面的面积．

6．在△ABC中，BC＝，AC＝，AB＝，∠C＝900，CD和BE是△ABC的两条中线，且CD⊥BE．求．（1997年安徽省部分地区竞赛题）

7．△ABC中，AB＝2，AC＝，∠A＝∠BCD＝450（D在AB的延长线上）．求BC及△BDC的面积．（1997年山东省竞赛题）

8．在△ABC中，AB＝AC，BC上的高AD＝5，M为AD上一点，MD＝1，且∠BMC＝3∠BAC．试求△ABC的周长．（1995年四川省竞赛题）

9．在等边△ABC的边BC上取点D，使，作CH⊥AD，H为垂足，连结BH．求证：∠DBH＝∠DAB．（1993年黄冈地区竞赛题）

10．在凸五边形ABCDE中，顶点B、E的角是直角，又∠BAC＝∠FAD．对角线BD和CE交于点O．求证：直线AO与BE垂直．

11．给定△ABC，其中AB＝AC，点M、E分别在AB、AC上，直线EF、MN分别垂直BC于F、N．求证：不论MN、EF怎样平行移动，只要它们之间距离不变，则五边形AMNFE的周长为一定值．（1979年北京市竞赛题）