《计算机算法基础》第三版-课后习题答案.doc

上机实验书上121页5。25。3书上1516。16。36。6他说搞懂这几题和实验就没问题了 4.2在下列情况下求解递归关系式 T(n)= 当n=2k g(n)= O(1)和f(n)= O(n)； n=2k g(n)= O(1)和f(n)= O(1)。解: T(n)=T(2k)=2 T(2k-1)+f(2k)=2(2 T(2k-2)+f(2k-1) +f(2k) =22T(2k-2)+21 f(2k-1)+ f(2k) = =2kT(1)+2k-1f(2)+2k-2f(22)+20f(2k) =2kg(n)+ 2k-1f(2)+2k-2f(22)+20f(2k) 当g(n)= O(1)和f(n)= O(n)时，不妨设g(n)=a，f(n)=bn，a，b为正常数。则 T(n)=T(2k)= 2ka+ 2k-1*2b+2k-2*22b+20*2kb =2ka+kb2k =an+bnlog2n= O(nlog2n) 当g(n)= O(1)和f(n)= O(1)时，不妨设g(n)=c，f(n)=d，c，d为正常数。则 T(n)=T(2k)=c2k+ 2k-1d+2k-2d+20d=c2k+d(2k-1)=(c+d)n-d= O(n)4.3根据教材中所给出的二分检索策略，写一个二分检索的递归过程。Procedure BINSRCH(A, low, high, x, j)integer midif lowhigh then mid if x=A(mid) then jmid; endifif xA(mid) then BINSRCH(A, mid+1, high, x, j); endifif xA(mid) then BINSRCH(A, low, mid-1, x, j); endifelse j0; endifend BINSRCH4.5作一个“三分”检索算法。它首先检查n/3处的元素是否等于某个x的值，然后检查2n/3处的元素；这样，或者找到x，或者把集合缩小到原来的1/3。分析此算法在各种情况下的计算复杂度。 Procedure ThriSearch(A, x, n, j)integer low, high, p1, p2low1; highnwhile lowhigh do p1 ; p2 case :x=A(p1): jp1; return :x=A(p2): jp2; return :xA(p2): lowp2+1:else: lowp1+1; highp2-1 end caserepeatj0end ThriSearchT(n)= g(n)= O(1) f(n)= O(1)成功:O(1),O(log3(n),O(log3(n)最好，平均， 最坏失败: O(log3(n),O(log3(n),O(log3(n)最好，平均， 最坏4.6对于含有n个内部结点的二元树，证明E=I+2n，其中，E，I分别为外部和内部路径长度。证明：数学归纳法当n=1时，易知E=2，I=0，所以E=I+2n成立；假设nk(k0)时，E=I+2n成立；则当n=k+1时，不妨假定找到某个内结点x为叶结点（根据二元扩展树的定义，一定存在这样的结点x，且设该结点的层数为h），将结点x及其左右子结点（外结点）从原树中摘除，生成新二元扩展树。此时新二元扩展树内部结点为k个，则满足Ek=Ik+2k，考察原树的外部路径长度为Ek+1= Ek-（h-1）+2h，内部路径长度为Ik+1=Ik+（h-1），所以Ek+1= Ik+2k+h+1= Ik+1+2k+2= Ik+1+2(k+1)，综合知命题成立。4.10过程MERGESORT的最坏情况时间是O(nlogn)，它的最好情况时间是什么？能说归并分类的时间是(nlogn)吗？最好情况：是对有序文件进行排序。分析：在此情况下归并的次数不会发生变化-log(n)次归并中比较的次数会发生变化（两个长n/2序列归并）最坏情况两个序列交错大小，需要比较n-1次最好情况一个序列完全大于/小于另一个序列，比较n/2次差异都是线性的，不改变复杂性的阶因此最好情况也是nlogn, 平均复杂度nlogn。可以说归并分类的时间是(nlogn)5.2 求以下情况背包问题的最优解，n=7，m=15，=(10,5,15,7,6,18,3)和=(2,3,5,7,1,4,1)。 将以上数据情况的背包问题记为I。设FG(I)是物品按的非增次序输入时由GREEDY-KNAPSACK所生成的解，FO(I)是一个最优解。问FO(I)/ FG(I)是多少? 当物品按的非降次序输入时，重复的讨论。解： 按照/的非增序可得(/，/，/，/，/，/，/)= (6,5,9/2,3,3,5/3,1) W的次序为(1,2,4,5,1,3,7),解为(1,1,1,1,1,2/3,0) 所以最优解为：（1,2/3,1,0,1,1,1）FO(I)=166/3 按照Pi的非增次序输入时得到(,)= (18,15,10,7,6,5,3)，对应的(,)= (4,5,2,7,1,3,1)解为(1,1,1,4/7,0,0,0)所以FG(I)的解为（1,0,1,4/7,0,1,0）FG(I)=47，所以FO(I)/ FG(I)=166/141. 按照的非降次序输入时得到(,)=(1,1,2,3,4,5,7)相应的(,)=(6,3,10,5,18,15,7) 解为(1,1,1,1,1,4/5,0)则FW(I)的解为（1,1,4/5,0,1,1,1）FW(I)=54，所以FO(I)/ FW(I)=83/81.5.3（0/1背包问题）如果将5.3节讨论的背包问题修改成 极大化 约束条件 xi=0或1 1in这种背包问题称为0/1背包问题。它要求物品或者整件装入背包或者整件不装入。求解此问题的一种贪心策略是：按/的非增次序考虑这些物品，只要正被考虑的物品能装进的就将其装入背包。证明这种策略不一定能得到最优解。证明：当按照/的非增次序考虑物品存放背包时，如果所装入的物品恰能装满背包时，易证为最优解，否则未必是最优解。可举例如下：设n=3，M=6，（, , ）=(3,4,8)，（, , ）=(1,2,5)，按照/的非增序得到（/, /, /）=(3,2,1.6)，则其解为（1,1,0），而事实上最优解是(1,0,1)，问题得证。5.11 证明如果一棵树的所有内部节点的度都为k，则外部节点数n满足n mod (k-1)=1. 证明对于满足 n mod (k-1)=1的正整数n，存在一棵具有n个外部节点的k元树T(在一棵k元树中，每个节点的度至多为k)。进而证明T中所有内部节点的度为k.证明： 设某棵树内部节点的个数是m，外部结点的个数是n，边的条数是e，则有 e=m+n-1和 e=mkmk=m+n-1 (k-1)m=n-1 n mod (k-1)=1 利用数学归纳法。当n=1时，存在外部结点数目为1的k元树T，并且T中内部结点的度为k；假设当 nm，且满足n mod (k-1)=1时，存在一棵具有n个外部结点的k元树T，且所有内部结点的度为k；我们将外部结点数为n(n为满足nm，且n mod (k-1)=1的最大值)的符合上述性质的树T中某个外部结点用内部结点a替代，且结点a生出k个外部结点，易知新生成的树T中外部结点的数目为n+(k-1)，显然n为满足n mod (k-1)=1，且比m大的最小整数，而树T每个内结点的度为k，即存在符合性质的树。综合上述结果可知,命题成立。6.2修改过程ALL_PATHS，使其输出每对结点（i,j）间的最短路径，这个新算法的时间和空间复杂度是多少？ Procedure ShortestPath(COST, n, A, Max)integer i , j, kreal COST(n, n), A(n, n), Path(n, n), Maxfor i1 to n do for j1 to n do A(i ,j)COST(i ,j) if ij and A(i, j)Max then Path(i, j )j else Path(i, j)0 endif repeatrepeatfor k1 to n do for i1 to n do for j1 to n do if A(i,j)A(i,k)+A(k,j)then A(i,j)A(i,k)+A(k,j) Path(i,j)Path(i,k)endif repeat repeatrepeatfor i1 to n do for j1 to n do print(“the path of i to j is ” i ) kpath(i, j) while k0 do print( ,k) kpath(k, j) repeat repeatrepeat end ShortestPath时间复杂度O(n3)，空间复杂度O(n2) 6.4证明算法OBST的计算时间是O(n2)。 在已知根R(i, j)，0i j4的情况下写一个构造最优二分检索树T的算法。证明这样的树能在O(n)时间内构造出来。解： 将C中元素的加法看做基本运算，则算法OBST的时间复杂性为： O(n2) Procedure BuildTree(m, n, R, Root)integer R(n,n), kTreeNode Root, LR, RRkR(m,n)if k0 then data(Root)k, BuileTree(m, k-1, R, LR), BuileTree(k, n, R, RR) left(Root)LR, right(Root)RRelse data(Root)m, left(Root)null, right(Root)null, endif end BuildTree时间复杂性分析：T(n)=c+T(k)+T(n-k-1)，此递推式保证算法的时间复杂性为O(n)，也可从递归的角度出发，递归的次数正是结点的个数，而每次递归时间复杂性为常数，所以算法的时间复杂度也为O(n)。6.8给出一个使得DKNAP(算法6.7)出现最坏情况的例子，它使得|Si|=2i, 0in。还要求对n的任意取值都适用。解：取(P1,P2,Pi,)=(W1,W2,Wi,)=(20,21,2i-1,)P和W取值相同，使支配原则成立，也就是说不会因为支配原则而删除元素；只要说明不会出现相同元素被删除一个的情形，即可知是最坏的情况。可用归纳法证明此结论。