自动化专业毕业论文-单级倒立摆的PID控制.pdf

本科生毕业设计单级倒立摆的PID控制学 院、系：电气与信息工程学院专 业：自动化学生姓名：_班 级：学号：指导教师姓名：职称:最终评定成绩 _本科生毕业设计单级倒立摆的PID控制院（系）：电气与信息工程学院专 业：自动化学 号：学生姓名：指导教师：教授毕业设计课题任务书专业：自动化院（系）：电气与信息工程学院指导教师学生姓名课题名称单级倒立摆的PID控制内容及任务通过分析单级倒立摆的物理过程与力学系统，建立相应的数学模型，熟悉 PID控制器的控制原理，在此基础上设计PID控制算法，构成相应的控制器。学会使用MATLAB中的Simulink对数学模型的仿真，在该软件中进行仿真，得到能稳定控制倒立摆的PID控制器。主要内容为：单级倒立摆的数学建模单级倒立摆的PID控制策略仿真程序及分析I要求对单级倒立摆进行精确的数学建模分析单级倒立摆的PID控制策略，选择适当的控制算法学习使用仿真工具MATLAB对单级倒立摆进行MATLAB仿真分析得到对倒立摆稳定控制的PID控制器设计技术指标设计PID控制器，具有较强的抗干扰能力和鲁棒性，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：稳定时间小于5秒稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度进度安排起止日期工作内容3.5-4.1毕业实习，收集资料、熟悉毕业论文课题4.2-4.8制定论文研究思路4.9-4.15数学建模，进行可控性分析4.16-4.22熟悉PID控制器，熟悉MATLAB中的Simulink仿真工 具4.23-5.6进行倒立摆PID控制分析5.7-5.27进行控制仿真分析，在仿真的结果上得出控制方案5.28-6.17编写毕业论文，进行论文总结、准备答辩，毕业论文答 辩主 要 参 考 资 料李少远，王景成.智能控制 机械工业出版社，2005赖寿宏.微型计算机控制技术机械工业出版社，2000陈晓平，李长杰.MATLAB及其在电路与控制理论中的应用中国科学技术 大学出版社，2004刘豹.现代控制理论 机械工业出版社，2000黄坚.自动控制原理及其应用 高等教育出版社，2004倒立摆与自动控制原理实验刘金琨.先进PID控制MATLAB仿真 电子工业出版社，2004教研室 意见签名：年 月日院（系）主管 领导意见签名：年 月日Ill大学本科毕业设计开题报告学 院、系：电气与信息工程学院专 业：自动化学生姓名：_班 级：自本 学号指导教师姓名：职称 教授IV题目：单级倒立摆的PID控制1.结合课题任务情况，查阅文献资料，撰写15002000字左右的文献综述。倒立摆是典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统。早在20世纪50年代，麻省理工学院(MIT)的控制论专家就根据火箭发射助推器原理设计出一阶倒立摆实 验设备，此后其控制方法和思路在军工、航天、机器人领域和一般工业过程中都有着 广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、卫星发射 架的稳定控制、飞机安全着陆、化工过程控制以及日常生活中所见的任何重心在上、支点在下的控制问题等，均涉及到“倒立摆问题”。事实上，人们一直在试图寻找不 同的控制方法来实现对倒立摆的控制，以便检查或说明该方法对严重非线性和绝对不 稳定系统的控制能力。倒立撰的稳定控制，在控制方法上会涉及到控制中的许多关键问题，比如镇定问 题、跟踪问题、随动问题、非线性问题以及鲁棒性问题等。同时，倒立摆作为一个简 单的实验装置，成本低廉，结构简单，在实验室条件下易于实现。对于倒立摆系统的 稳定控制，可以充分验证新的控制方法的有效性及可靠性，为新型控制理论的研究提 供了一个不可多得的载体。对于倒立摆的稳定控制，其控制方法在军工、航天、机器 人领域和一般工业工程上也有很广泛的用途，比如机器人行走过程中的平衡控制、火 箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等均涉及到类似倒立摆这样的重心 在上，支点在下的倒置问题。在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行 性的试验问题，控制理论在当前的工程技术界，主要是如何面向工程实际、面向工程 应川的问题。一项工程的实施也存在一种可行性的试验问题，川一套较好的、较完备 的试验设备，将其理论及方法进行有效的检验，倒立摆可为此提供一个从控制理论通 往实践的桥梁。由于倒立摆系统与火箭飞行和双足步行机器人的行走有很大相似性，因此倒立摆的研究对于火箭飞行以及机器人的控制等现代高科技技术的研究具有重 要的实践意义。目前对倒立摆系统的研究己经引起国内外学者的广泛关注，是控制领 域研究的热门课题之一倒立摆系统稳定控制研究有重要的理论和实际意义，因此，倒立摆成为了控制理 论中历久不衰的研究课题。早在上世纪60年代，国外有学者对倒立摆系统进行了系统的研究，讨论了多级 倒立摆的稳定控制，提出了 bang-bang的稳定控制。在60年代后期，作为一个典型 的不稳定、严重非线性证例，控制理论界提出了倒立摆的概念，并用其检验控制方法 对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视，从而 v用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为具有挑战性的课题之一。从上世纪70年代初期开始，用状态反馈理论对不同类型倒立摆的控制问题成了 当时的一个研究热点，并且在很多方面取得了比较满意的效果。但是由于状态反馈控 制依赖于线性化的数学模型，因此对于一般的工业过程尤其是数学模型变化的或不清 晰的非线性控制对象无能为力。这种状况从上世纪80年代后期开始有了很大的变化。随着模糊控制理论的发展,以及将模糊控制理论应用于倒立摆系统的控制，对非线性问题的处理有了很大的改 进。将模糊理论应用于倒立摆的控制，其目的是为了检验模糊理论对快速、绝对不稳 定系统的适应能力。在这一阶段，利川模糊理论川于控制单级倒立摆取得了很大的成 功。针对模糊控制器随着输入量的增多，控制规则数随之成指数增加，进而使模糊控 制器的设计异常复杂，执行时间大大增长的问题，对倒立摆采用双闭环模糊控制方案 控制单级倒立摆，很好地解决了这个问题。模糊控制理论应用于倒立摆的最新研究成 果是北京师范大学数学系李洪兴教授领导的科研队伍利用变论域自适应模糊控制理 论实现了对四级倒立摆的稳定控制。神经网络控制倒立摆的研究，从上世纪90年代开始有了快速的发展。早在1963 年，Widrow和Smith就开始将神经网络用于倒立摆小车的控制。神经网络控制倒立 摆是以自学习为基础，用一种全新的概念进行信息处理，显示出了巨大的潜力。另外，还有其他的控制方法用于倒立摆的控制。利用云模型实现智能控制倒立摆,利用云模型的方法，不用建立系统的数学模型，根据人的感觉、经验和逻辑判断，将 人用语言值定性表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，解决了倒立摆控制的非线性问题和不确定性问题。倒立摆的研究现在主要在各种的复合控制和智能控制方面进行研究。VI2.选题依据、主要研究内容、研究思路及方案。选题依据如何对倒立摆系统进行控制，这20多年来，现代控制理论的发展为这个问题提 供了丰富的解决方法。鲁棒控制、自适应控制、模糊控制、智能控制等方法，就是解 决倒立摆控制的先进控制手段。但是，这些先进的控制系统设计往往建立在比较抽象 且繁琐的数学基础上，使得实际工程中掌握和运用这些方法就远不如PID控制那样简 单。纵观自动控制领域的现状，仍然是理论成果丰硕，但在实际现场中运行的控制系 统仍然有超过90%的是PID控制器。在实际控制领域，有许多研究者认为“PID控制 器往往并不比先进控制器差”。目前，已经看到了多种先进的控制算法如最优控制、自适应控制、智能控制、自 抗扰控制在倒立摆系统上成功应用的报道，但是很难看到采用常规PID控制成功地控 制倒立摆系统的报道。而且还听到“用常规PID不能成功地控制倒立摆”的说法。那 么，究竟是否可以确认“常规PID不能成功地控制倒立摆”的结论成立呢？主要研究内容单级倒立摆的数学建模单级倒立摆的PID控制策略仿真程序及分析研究思路及方案对倒立摆模型进行认识，查阅资料了解倒立摆的发展研究现状对倒立摆进行数学建模对PID控制及仿真工具MATLAB中的Simulink进行熟悉和掌握应用对倒立摆模型进行PID控制分析对倒立摆进行仿真分析选择对倒立摆PID控制的单回路方案和双回路方案进行具体的仿真分析。主要参考资料刘豹.现代控制理论 机械工业出版社，2000黄坚.自动控制原理及其应用高等教育出版社，2004倒立摆与自动控制原理实验VII刘金琨.先进PID控制MATLAB仿真 电子工业出版社，2004陈桂明.应用MATLAB建模与仿真 科学出版社，20013.工作进度及具体安排。第1,2,3,4周，毕业实习，收集资料、熟悉毕业论文课题；第5周，制定论文研究思路；第6周，数学建模，进行可控性分析；第7周，熟悉PID控制器，熟悉MATLAB中的Simulink仿真工具；第8,9周，进行倒立摆PID控制分析；第10,H,12周，进行控制仿真分析，在仿真的结果上得出控制方案；第13,14,15周，编写毕业论文，进行论文总结、准备答辩，毕业论文答辩。4.指导教师意见。指导教师：_年 月 日VIII摘要倒立摆是一种典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统，i直是控制理论 中的研究热点。本文采用牛顿-欧拉方法建立单级倒立摆的数学模型，对精确模型在工 作点附近进行线性化与降阶处理，利用固高公司的单级倒立摆参数，计算出其传递函 数。简单介绍了 PID控制器的工作原理和MATLAB中Simulink仿真工具的特点。在 数学模型的基础上进行了 PID控制的理论分析。利用MATLAB中的Simulink仿真工 具对单级倒立摆的单回路及双回路PID控制进行仿真分析，在仿真中整定出合理的 PID控制参数，单回路PID控制方案能满足对摆杆角度的控制，而对小车位置没进行 控制，得出系统最终不能达到稳定的结论；而以摆角为内环，小车位移为外环的双回 路的PID控制能稳定地控制摆杆的角度和小车的位移，单级倒立摆系统能达到稳定的 控制。关键词：倒立摆，建模，PID控制，仿真，MATLABIXABSTRACTInverted pendulum is a kind of typical model of fast,multivariable,nonlinearity,absolutely unstable system,which has been a research fbcus in the control theory all the time.This text uses the mathematical model which Newton-the Eulermethod established single inverted pendulum,carries on the linearization and fall step processing to the precise model nearby the work-point,uses the parameters of googoFs single inverted pendulum,calculates its transferred functions.The article has simply introduced the work-principle of the PID controller and the Simulinks characteristic of simulation tool of MATLAB.And carried on theoretical analysis of the PID control based on the mathematical model,used the Simulink carried on the simulation analysis of the single inverted pendulums single loop and double loop PID controller,collated reasonable PID controlled parameters in simulation,the PID controlled plans of the single loop can satisfied to the control of the angle of pendulum rod,but not to the control of the position of car,obtained the conclusion that the system finally not to be able to achieve the stability;but take the angle of the pendulum as the inner-loop,take the displacement of the small car as the outer-loop of double loops PID controllor can stably control the angle of the pendulum and the displacement of the car,the single inverted pendulum system being able to achieve the stable controlment.Keywords:Inverted Pendulum,Modeling,PID control,Simulation9MATLABx目录第1章绪论.11.1 倒立摆系统介绍.11.1.1 倒立摆的分类.11.1.2 单级倒立摆系统组成.31.2 倒立摆研究的意义.51.3 倒立摆研究现状.61.4 选题依据及意义.7第2章 单级倒立摆系统的建模.92.1 单级倒立摆的数学模型.92.2 单级倒立摆的物理模型.132.2.1单级倒立摆系统物理参数.132.2.2单级倒立摆实际系统模型.14第3章PID控制器简介.153.1 常规PID控制器简介.153.1.1 常规PID控制器概述.153.1.2 常规PID控制器的整定方法.18第 4 章 MATLAB 的 Simulink 简介.214.1 仿真工具 MATLAB中的SIMULINK概述.214.2 Simulink的仿真程序.224.3 Simulink在仿真中的特点.23第5章 单级倒立摆的PID控制及仿真.255.1 单级倒立摆的可控性分析.255.2 单级倒立摆的PID控制理论分析.275.2.1 单级倒立摆的PID控制分析.275.2.2 单级倒立摆的PID控制方法讨论.305.3 单级倒立摆的PID控制仿真分析.315.3.1 单回路PID控制仿真.31XI5.3.2 双回路PID控制仿真.35结论.38致谢.39参考文献.40XII第1章绪论倒立摆是典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统。早在20世纪50年代,麻省理工学院(MIT)的控制论专家就根据火箭发射助推器原理设计出一阶倒立摆实验 设备，此后其控制方法和思路在军工、航天、机器人领域和一般工业过程中都有着广 泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、卫星发射架 的稳定控制、飞机安全着陆、化工过程控制以及日常生活中所见的任何重心在上、支 点在下的控制问题等，均涉及到“倒立摆问题”。事实上，人们一直在试图寻找不同的 控制方法来实现对倒立摆的控制，以便检查或说明该方法对严重非线性和绝对不稳定 系统的控制能力。1.1倒立摆系统简介1.1.1倒立摆的分类倒立摆已经由原来的直线一级倒立摆扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆，环 形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置,由于在相同的运动模块上可以装载不同的倒立摆装置，倒立摆的种类由此而丰富很多OA.按倒立摆的结构来分，有以下类型的倒立摆：直线倒立摆系列直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小 车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆,直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑 动的小车，并且在主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。如图L 1 所示。1.A 直域柔性两级倒摆图1.1直线倒立摆系列环形倒立摆系列环形倒立摆是在圆周运动模块上装有摆体组件，圆周运动模块有一个自由度，可 以围绕齿轮中心做圆周运动，在运动手臂末端装有摆体组件，根据摆体组件的级数和 串连或并联的方式，可以组成很多形式的倒立摆。如图L 2所示。断运动模块环形并强两频摆图1.2环形倒立摆系列平面倒立摆系列平面倒立摆是在可以做平面运动的运动模块上装有摆杆组件,平面运动模块主要 有两类：一类是XY运动平台，另一类是两自由度SCARA机械臂；摆体组件也有一级、二级、三级和四级很多种。如图1.3所示。2平面T5摆图1.3平面倒立摆系列复合倒立摆系列复合倒立摆为一类新型倒立摆，由运动本体和摆杆组件组成，其运动本体可以很 方便的调整成三种模式，一是前面所述的环形倒立摆，还可以把本体翻转90度，连杆 竖直向下和竖直向上组成托摆和顶摆两种形式的倒立摆。B.按倒立摆的级数来分：有一级倒立摆、两级倒立摆、三级倒立摆和四级倒立摆，一级倒立摆常用于控制 理论的基础实验，多级倒立摆常用于控制算法的研究，倒立摆的级数越高，其控制难 度更大，目前，可以实现的倒立摆控制最高为四级倒立摆。1.1.2单级倒立摆系统组成固高公司直线单级倒立摆系统包含倒立摆本体、电控箱及由运动控制卡和普通PC 机组成的控制平台等三大部分。系统组成框图如图L4所示。3图1.4系统组成框图各硬件结构如下：倒立摆本体小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。电机编码器和角 编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。如图1.5所示。图1.5倒立摆本体电气控制箱电控箱主要有：交流伺服驱动器、I/O接口板、开关电源、开关、指示灯等电气 元件。计算机计算机可以是我们使用的普通的计算机，其应该具有PCI插槽，光驱等。4其它部件倒立摆使用的电机是由日本松下公司提供的小型小惯量电机（MSMA系列，200W o 电机配有专门的驱动器。倒立摆系统使用的是光电编码器。其工作原理是：利用一块特制的光栅板作为位 移检测元件，光栅板上方格之间的距离为0.5mm左右。编码器内部有一个发光元件和 两个聚焦透镜，发射光经过透镜聚焦后从底部的小孔向下射出，照在编码器下面的光 栅板上，再反射何编码器器内。当在光栅板上转动编码器时，由于光栅板上明暗相间 的条纹反射光有强弱变化，编码器内部将强弱变化的反射光变成电脉冲，对电脉冲进 行计数即可测出移动的距离。1.2 倒立摆研究的意义如前文所述，倒立摆系统是一个具有非线性、时变、多变量祸合性质的绝对不稳 定系统。对于倒立摆系统的稳定控制，不仅具有重要的理论意义，而且还具有很重要 的工程实践意义。首先对于倒立摆的稳定控制，在控制方法上会涉及到控制中的许多关键问题，比 如镇定问题、跟踪问题、随动问题、非线性问题以及鲁棒性问题等。同时，倒立摆作 为一个简单的实验装置，成本低廉，结构简单，在实验室条件下易于实现。对于倒立 摆系统的稳定控制，可以充分验证新的控制方法的有效性及可靠性，为新型控制理论 的研究提供了一个不可多得的载体。其次，对于倒立摆的稳定控制，其控制方法在军工、航天、机器人领域和一般工 业工程上也有很广泛的用途，比如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直 度控制和卫星飞行中的姿态控制等均涉及到类似倒立摆这样的重心在上，支点在下的 倒置问题。正是由于对倒立摆系统稳定控制研究有重要的理论和实际意义，因此，倒立摆成 为了控制理论中历久不衰的研究课题。倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。在多种控制理论 与方法的研究和应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的试验问题，控制 理论在当前的工程技术界，主要是如何面向工程实际、面向工程应用的问题。一项工 程的实施也存在一种可行性的试验问题，川一套较好的、较完备的试验设备，将其理 论及方法进行有效的检验，倒立摆可为此提供一个从控制理论通往实践的桥梁。由于 倒立摆系统与火箭飞行和双足步行机器人的行走有很大相似性，因此倒立摆的研究对 于火箭飞行以及机器人的控制等现代高科技技术的研究具有重要的实践意义。目前对 5倒立摆系统的研究己经引起国内外学者的广泛关注，是控制领域研究的热门课题之一。1.3 倒立摆研究现状由于对倒立摆系统的稳定控制有着重要的理论意义和实际意义，国内外的学者对 此给予了广泛的关注和研究。早在上世纪60年代，国外有学者对倒立摆系统进行了系统的研究，讨论了多级倒 立摆的稳定控制，提出了 bang-bang的稳定控制。在60年代后期，作为一个典型的不 稳定、严重非线性证例，控制理论界提出了倒立摆的概念，并用其检验控制方法对不 稳定、非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视，从而用不 同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为具有挑战性的课题之一。从上世纪70年代初期开始，用状态反馈理论对不同类型倒立摆的控制问题成了当 时的一个研究热点，并且在很多方面取得了比较满意的效果。但是由于状态反馈控制 依赖于线性化的数学模型，因此对于一般的工业过程尤其是数学模型变化的或不清晰 的非线性控制对象无能为力。这种状况从上世纪80年代后期开始有了很大的变化。随着模糊控制理论的发展,以及将模糊控制理论应用于倒立摆系统的控制，对非线性问题的处理有了很大的改进。将模糊理论应川于倒立摆的控制，其目的是为了检验模糊理论对快速、绝对不稳定系 统的适应能力。在这一阶段，利用模糊理论用于控制单级倒立摆取得了很大的成功。针对模糊控制器随着输入量的增多，控制规则数随之成指数增加，进而使模糊控制器 的设计异常复杂，执行时间大大增长的问题，对倒立摆采用双闭环模糊控制方案控制 单级倒立摆，很好地解决了这个问题。模糊控制理论应用于倒立摆的最新研究成果是 北京师范大学数学系李洪兴教授领导的科研队伍利用变论域自适应模糊控制理论实现 了对四级倒立摆的稳定控制诬。神经网络控制倒立摆的研究，从上世纪90年代开始有了快速的发展。早在1963 年，Widrow和Smith就开始将神经网络用于倒立摆小车的控缶I。神经网络控制倒立摆 是以自学习为基础，用一种全新的概念进行信息处理，显示出了巨大的潜力。另外，还有其他的控制方法用于倒立摆的控制。利用云模型实现智能控制倒立摆,利用云模型的方法，不用建立系统的数学模型，根据人的感觉、经验和逻辑判断，将 人用语言值定性表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，解决了倒立摆控制的非线性问题和不确定性问题。总之，对于倒立摆控制方法可以总 结如下:(DPID控制：通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型，然后使 6用状态空间理论推导出非线性模型，在平衡点处进行线性化得到倒立摆系统的状态方 程和输出方程，就可以设计出PID控制器来实现其控制。状态反馈控制：其主要是通过极点配置将系统的极点分布到S左半平面而使系 统达到稳定，其中也可以使用状态观测器，或状态反馈和Kalman滤波相结合的方法,实现对倒立摆的控制。云模型控制：利用云模型构成语言值，再用语言值构成规则，形成一种定性的 推理机制。这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验感 受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言 控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题。神经网络控制：神经网络能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，能够学习与 适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或者定性的信息都等势分布贮存于网络 内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性，也可以将R学习算法和BP神经网络 有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。自适应控制：采用设计出自适应控制器的方法对倒立摆进行控制。模糊控制：首先确定基本语言值，接着确定语言值的隶属函数，在隶属函数建 立后，就可以建立模糊控制规则，它主要是依据人的传统控制经验和直觉推理来建立 的，主要采用了“if-then”规则以及连接词and,or和also等。完成了上述步骤后，就 基本上建立了倒立摆系统的模糊控制器，给定输入后，经过模糊控制规则的作用后，就产生了输出，当然必须对输出进行解模糊化，才能得到我们所需要的能够直接作用 于被控对象的信号。1.4 选题依据及意义如何对倒立摆系统进行控制，这20多年来，现代控制理论的发展为这个问题提供 了丰富的解决方法。鲁棒控制、自适应控制、模糊控制、智能控制等方法，就是解决 倒立摆控制的先进控制手段。但是，这些先进的控制系统设计往往建立在比较抽象且 繁琐的数学基础上，使得实际工程中掌握和运用这些方法就远不如PID控制那样简单。纵观自动控制领域的现状，仍然是理论成果丰硕，但在实际现场中运行的控制系统仍 然有超过90%的是PID控制器。在实际控制领域，有许多研究者认为“PID控制器往 往并不比先进控制器差”。目前，已经看到了多种先进的控制算法如最优控制、自适反控制、智能控制、自 抗扰控制在倒立摆系统上成功应用的报道，但是很难看到采用常规PID控制成功地控 制倒立摆系统的报道。而且还听到“用常规PID不能成功地控制倒立摆”的说法。那 7么，究竟是否可以确认“常规PID不能成功地控制倒立摆”的结论成立呢？本文将研 究常规PID控制倒立摆的方法。8第2章单级倒立摆系统的建模2.1单级倒立摆的数学模型系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上 加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测 的输出，应用数学手段建立起系统的输入一输出关系。这里面包括输入信号的设计选 取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象 的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入一状态 关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但 是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体 系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用 其中的牛顿一欧拉方法建立直线型单级倒立摆系统的数学模型。在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将单级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组 成的系统，如图2.1所示。我们不妨做以下假设:M 小车质量9m 摆杆质量b 小车摩擦系数1 摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量F 加在小车上的力x 小车位置 摆杆与垂直向上方向的夹角9 摆杆与垂直向下方向的夹角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下)系统中小车和摆杆的受力分析如图2.2所示。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量 方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。图2.2小车与摆杆的受力分析分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程:Mx=F-bx-N(2.1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:N=m-(x+/sin 0)dt(2.2)即:N=mx+mid cos 0-ml02 sin。(2.3)把这个等式代入式(2.1)中，就得到系统的第一个运动方程:(M+m)x+bx+ml0cosO-mlO2 sind=F(2.4)为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以10得到下面方程:P-mg=cos6)dt(2.5)P-mg=-mlOsmO-mid2 cos。(2.6)力矩平衡方程如下：尸/sin。一N/cos9=/d(2.7)注意：此方程中力矩的方向，由于e=+0,cos。=-cos。,sin，=-sin0.故等式前 而有负号。合并这两个方程，约P和N,得到第二个运动方程：I+ml20+mglsmd=-mixcos6(2.8)设。=万+0侬是摆杆与垂直向上方向之间的夹角)，假设。与1(单位是弧度)相比很小，。1,则可以进行近似处理：cos6=Tsine=-0,(名)2=0。用来代表被 dt控对象的输入力F,线性化后两个运动方程如下：对式(2.9)进行拉普拉斯变换，得到(/+机/2 卜)(s)Y 一机g/(s)=机/X(S)Y(2 0)(M+m)X(5)5,2+bX(s)s-加/(s)/=J()注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度。，求解方程组的第一 个方程，可以得到：X(s)ml s或_ mis2X(5)(/+mZ2)52-mgl如果令=工，则有_ mlV(s)(/+ml2)s2-mgl(/+ml2/-mgl。=mix(M+m)x+bx-ml(j)=u(2.9)(2.11)(2.12)(2.13)11把上式代入方程组的第二个方程，得到:(M+m丹Sml s2+b(/+加)_与(s)s 机/(s)/=(/(s)ml s(2.14)整理后得到传递函数:=_。-/J(/+-2)3 qml 2sq(M+m)mgl 2qbmgl q(2.15)其中 q=(M+m)(I+mZ2)-(mZ)2设系统状态空间方程为：X=AX+Buy=CX+Du方程组对工,3解代数方程，得到解如下：x=X_(I+m12)b、.一 m2gl2 4、(/+MZ2)X X H-(p H 7TI(M+I(M+m)+Mml I(M+m)+Mml6=6；-mbl.mgl(M.ml0:-+-g-7I(M+m)+Mml2 I(M+m)+Mml2 I(M+m)+Mml2整理后得到系统状态空间方程:xx60 10-(/+ml2)bI(M+m)+Mml20 00-mlbI(M+m)+Mml20 m2gl2 I(M+m)+Mml2 0 mglM+m)I(M+m)+Mml2olr.x0.x1，o 6oI+ml2(M+m)+Mml2 0ml I(M+m)+Mml2u-o o o 1 o o 1 o-y(2.18)0+u0由（2.9 的第一个方程为:12(/+m/2)-mgl(/)=mix(2.19)对于质量均匀分布的摆杆有:I=ml23(2.20)于是可以得到:(ml2-mgl(/)=mix(2.21)化简得到:(2.22)设X=卜，只么”=工则有:(2.23)2.2单级倒立摆的物理模型2.2.1单级倒立摆系统物理参数固高公司实际系统的模型参数如下:M小车质量1.096Kgm摆杆质量0.109Kgb小车摩擦系数0.IN/m/sec1摆杆转动轴心到质心的长度0.25mI摆杆惯量0.0034kg*m*m132.2.2单级倒立摆实际系统模型把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。摆杆角度和小车位移的传递函数：_ 0.02725s2X(5)-0.0102125?-0.26705摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：_2.35655s_/+o 0883167s2-27.9169s-2.30942小车位移和小车所受力的传递函数：X(s)_0.0102125s2 0.2725_U(s)0.01156351+0.00102125s2-0.3228483s-0.02670498(2.24)(2.25)(2.26)以外界作用力作为输入的系统状态方程:0 0.6293170 27.8285y=10 0 00 0 10X00U(2.27)14第3章PID控制器简介3.1常规PID控制器简介3.1.1 常规PID控制器概述PID控制器问世至今已有近70年历史，它以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型时，控制理论的其它技术难以采用时，系统控制器的结构和 参数必须依靠经验和现场调试来确定，这时应用PID控制技术最为方便。即当我们不 完全了解一个系统和被控对象，或不能通过有效的测量手段来获得系统参数时，最适 合用PID控制技术。PID控制，实际中也有P、PI和PD控制。P（比例）控制器比例控制器，又称P控制器，其传递函数为：GAS”3.1 显然，调整P控制器的比例系数Kp,将改变系统的开环增益，从而对系统的性能 产生影响。若Kpl,将增加系统的开环增益，使系统的对数帧频特性曲线上移，引起穿越频 率的增大，而相频特性曲线不变。其结果是使得系统的相位裕量减小，稳定性变差，但快速性将得到改善。另外，如果系统在某种输入信号作用下是有稳定误差的，则由 于开环增益的加大，使得稳定误差减小，系统和稳态精度提高。如果Kpl,则对系统性能有着相反的影响。比例控制能实时成比例地反映系统的偏差信号，一旦有偏差，控制器立即产生控 制作用，以使偏差减少。调整P控制器的比例系数，进而改变系统的开环增益，可在某种程度上，对系统 的相对稳定性、快速性和稳态精度等性能作出一种折中的选择，但在一些情况下，光 靠调整P控制器的比例系数，是无法赐教满足系统的各项性能指标要求的。因此，还 需要一些其他形式的控制器。PD（比例一微分）控制器比例一微分控制器，简称PD控制器。其传递函数为：15Gc(s)=K，(l+M=K.(l+小)(3.2)PD控制器既具有相位超前的特性，其帧频特性又有正斜率段，因而它是一种超前 校正装置。它具有前述超前校正装置的特点。微分控制能反映偏差信号的变化趋势，并能在偏差信号值变得太大之前，引入修 正信号，从而加快系统的控制作用。微分作用的强弱取决于微分时间常数七，七越大,微分作用越强。1总的来说，PD控制器使系统增加了一个一丁的开环零点，会使系统的稳定性及平 稳性得到改善；当参数选择适当时，将使系统的调节时间变短；对稳定精度没有影响;但会使系统抗高频干扰的能力下降。PI（比例一积分）控制器比例一积分控制器，简称PI控制器，在实际工程中得到了广泛的应用。它的传递 函数为：G,=勺 1+，=Kp 1+；3.3 Txs TxsPI控制器的相频特性为负，即具有相位滞后特性，故它也是一种滞后校正装置。但是，由于Gc s 中积分环节的引入，相当于增加了一个位于原点的开环极点，使得它 与上述滞后校正装置有所不同。首先，积分环节的引入使得系统的型别增加，其无静 差度将增加，从而使稳态精度大为改善；另外，积分环节将引起-90。的相移，这对系 统的稳定性是不利的，但G,s 中的比例微分环节的引入，相当于增加了一个负实数开 环极点，又有可能使系统的稳定性和快速性朝好的方向变化，如果适当选择参数Kp和 刀，就可使系统的稳定性和动态性能满足要求。由于积分环节的引入，使得当系统偏差为零时，PI控制器能维持一恒定的输出作 为系统的控制作用，这就使得系统有可能运行于无静差的状态。积分作用的强弱取决 于积分时间常数7,7；越大，积分作用越弱。PID控制器就是根据系统的误差，利用比例、积分、微分计算出控制量进行控制 的。PID控制由比例单元（P、积分单元（I 和微分单元（D 组成。如图3.1所示。比例控制 P 比例控制是一种最简单的控制方式。其控制器的输出与输入误差信号成比例关系。当仅有比例控制时系统输出存在稳态误差（Steady-state error o积分控制（I 在积分控制中，控制器的输出与输入误差信号的积分成正比关系。对一个自动控16图3.1 PID控制框图制系统，如果在进入稳态后存在稳态误差，则称这个控制系统是有稳态误差的或简称 有差系统。为了消除稳态误差，在控制器中必须引入“积分项”。积分项对误差取决于 时间的积分，随着时间的增加，积分项会增大。这样，即便误差很小，积分项也会随 着时间的增加而加大，它推动控制器的输出增大使稳态误差进一步减小，直到等于零。因此，比例+积分(PI)控制器，可以使系统在进入稳态后无稳态误差。微分控制(D)在微分控制中，控制器的输出与输入误差信号的微分(即误差的变化率)成正比 关系。自动控制系统在克服误差的调节过程中可能会出现振荡甚至失稳。其原因是由 于存在有较大惯性组件(环节)或有滞后(delay)组件，具有抑制误差的作用，其变化 总是落后于误差的变化。解