有粘结预应力混凝土简支梁动力有限元程序设计.pdf

第 2 5卷第 1 期 2 0 0 8年 3月 华 中 科技大学学报 ( 城市科学版 ) J o f HUS T ( U r b a n S c i e n c e Ed i t i o n ) VoI 2 5 No1 M a r 200 8 有粘结预应 力混凝土简支梁 动力有 限元程序 设计 张耀庭h ， 刘征辉h ， 方 东z ( 1 华中科技 大学a 土木工程与力学学 院； b 控制结 构湖北省重点实验室 ，湖北武汉4 3 0 0 7 4 ； 2 武汉 建工科研设计有限公 司，湖北 武汉4 3 0 0 2 2 ) 摘 要 ： 本文对 有粘结 预应力混凝 土简支梁进行动力 有限元程 序设计 。用平面 四边 形等参单 元模 拟混凝 土单 元 ， 将钢筋分布到混凝土单元 中 ； 混凝 土和钢筋均采 用线 弹性本构关系 ； 力筋预应力对梁刚度 和频率 的影响 ， 参 考 有关 文献方法来修正 刚度矩阵 ； 特征值 问题 的解法 ， 考虑标 准特征值和广 义特征值 问题 的各种算 法 ， 并考 虑 集 中质量矩 阵和一致质 量矩阵对 计算结果 的影 响 ， 采用广 义雅克 比法和子空 间迭 代法解广义 特征 值问题 。最 后 ， 针对试验 ， 运用所编程序 进行分析计算 ， 将计算 结果与试验结果进 行对 比 ， 本文所编程序在 简支 梁动 力有 限 元分析 中的固有模态计算 问题 上具有相对较高的精度 关键词 ： 有粘结 ； 预应力 ； 混凝土梁 ； 有限元 ； 固有频 率 中图分类号 ： T U3 7 8 2 文献标识码 ： A 文章 编号 ： 1 6 7 2 7 0 3 7 ( 2 0 0 8 ) 0 1 0 0 0 8 0 4 用有 限元 方 法 模 拟 预 应 力 混凝 土 结 构 ， 是 预 应力结 构分 析的一 种重 要 手段 。 当前 ， 在预 应力 混 凝土梁的有限元分析中， 大多采用通用有 限元软 件， 但他们存在一定局限性 。首先 ， 在处理某些特 定 问题 时 ， 例 如钢 筋 的模 拟 、 预 应 力 损 失 、 刚 度矩 阵、 开裂以后的情况等， 都 只能作近似处理； 其次， 对预应力混凝土结构 固有频率的计算 ， 使用经典 的 动力 学理 论 得 到 的结 果 不 符 合 试 验结 果 ， 例 如 S a i i d i 1 - s 等发现， 钢筋混凝土梁第一阶固有频率 随着预应力的增加而增 大 ， 这与传统理论所预测 的趋 势 相反 ； 另 外 ， 通用 有 限元 程序 不开 放 的特点 是其 严重 缺 陷 。 为此 ， 本 文针 对 有粘 结预 应 力混凝 土 简支梁 的动 力性 能分 析 ， 编 制有 限元 程序 ， 并 与 试验 结果对 比分 析 。 1 关键技术 问题 1 1 本 构模 型 的选取 本文 利用 简支 梁无 阻 尼 自由振 动的 动力学 方 程来 求解 梁 的固有 频率 和 振 型 ： Ma ( ) + Ka( ) 一 0 。 ( 1 ) 在初始激励、 无阻尼 自由振动状态下， 梁 内各 点应力应变均很小 ， 可以认 为梁处 于弹性工作状 态 ， 故 文 中 混 凝 土 和 钢 筋 均 采 用 线 弹 性 本 构 模 型 。 1 2 质 量矩 阵的 选取及 计 算 动力有 限元分析 中， 质量矩阵的形式有集 中 质 量矩 阵和一 致质 量矩 阵两 种 。考 虑一 具有 分 布 质量的连续体系统， 其单元质量矩阵为 s ： 广 M = I ID N N d V， ( 2 ) J e 该质量矩阵采用了相 同的形状 函数矩阵 ， 因此称 为一 致 质量矩 阵 。 对 于集 中质 量矩 阵 ， 最 简 单 的处 理 方 法 是 按 照某种原则将分布质量换算成等价集 中质量 ， 然 后 按 处 理 集 中 质 量 的 方 法 建 立 质 量 矩 阵 。 Z i e n k i e wi c z c 指 出 ： 一 致 质 量 矩 阵 是 适 用 于 分 析 的唯 一可 接受 矩 阵 ， 总是 正定 的 ， 如 果能 用形 函数 矩 阵 组成动态时单元的真实变形 ， 则计算结 果 比较准确 ， 频率及振型 比较可靠 ， 接近真实频率 上 界 ； 使 用一 致 质 量 矩 阵可 以算 出结 构 更 精 确 的 振 型 ； 由于是 满矩 阵 ， 耗 费机 时较 多 。集 中质 量矩 阵一 般 是对 角矩 阵 ， 可 以是正定 或 半 正定 的 ， 应 用 集中质量矩阵往往得到偏低的频率 ， 只有 当真实 结构 物 上 确 有 较 重 的 质 量 集 中 于 节 点 时 才 较 准 确， 使用集 中质量矩阵有使结构 固有频率的计算 值降低的趋 势， 但在协调单元 计算 中又 会出现偏 高的 刚度系数而使 固有频率计算值偏高 ， 这两种 相反的影响因素相抵消的结果 ， 有时 会得 到较精 确 的 固有频 率 ， 但是 ， 算 出的振 型往 往 不 如一 致质 收 稿 日期 ： 2 0 0 7 0 6 2 7 作者简介：张耀庭 ( 1 9 6 5 一 ) ， 男 ， 湖北红 安人 教授， 博士 ， 研究方向为结构抗震和预应力混凝土 ， z y t 1 9 6 5 ma i l h u s t e d u c n。 基金项目：华中科技大学博士后基金 。 维普资讯 http:/ 第 1 期 张耀庭等 ：有粘结预应力 混凝 土简支梁动力有 限元程序设 计 9 量矩 阵 可靠 。 与一 致 质 量 矩 阵 相 比， 集 中质量 矩 阵 的 形 成 以及 以后的计算都比较省时 。 因而 ， 在实际离散化 过 程 中 ， 常将 分 布 的 质 量 作 集 中化 处 理 ， 但 是 ， 分 布质 量 向各 结 点 分 配 不 当 ， 将 对 计 算 结果 产 生 很 大影 响 。集 中质 量 矩 阵对 单元 内加速 度按 零次 近 似 ， 而 一致 质量 矩 阵按 一次 近 似 ， 所 以一致 质量 矩 阵精度 较高 。但 在 动力 有 限元 分 析 中采用 集 中质 量 矩 阵要简 单 得多 ， 如 果认 为 两种 方法 都 可 以 ， 则 一 般采 用集 中质 量 矩 阵 ， 一 般 差别 不 大 ， 但 有时 相 差悬 殊 ， 所 以很 难得 出明确 结论 2 。 考 虑各 种 因素 ， 采 用一 致 质量矩 阵 ， 用 高斯 积 分计 算 ( 2 ) 式 ， 得 到 ( 3 ) 式 ： Mi 一 H 日 p N N ， 。 ( 3 ) 1 3 特 征值 的 算法 离 散线性 动 力系 统 的 固有频 率 和模 态分 析 与 矩阵 的 特征 问题 紧密 联系 。线性 系 统特 征值 问题 的解不仅包含 系统 自由振动的大量信息 ， 也是求 解 动 力响应 的 基础 。 对 于 型特 征值 问题 ， 本 文 编制 的有 限元 程序 采用 广 义雅 克 比法 和 子空 间迭代 法 来求解有粘结预应力混凝土简支梁 的固有模态， 算 法 实现步 骤 如下 。 ( 1 ) 广 义 雅 克 比 法 ， 采 用 界 限 值 广 义 雅 克 比 法 ， 计算 步骤 如 下 。 a 确 定 每 次 扫 描 的 界 限 值 m和最 终 收敛 精 度 T n 一 10 一胁 ， 一 1 0 一 ， ( 4) 式 中 ， 为扫 描 次数 。 b 进行第 次扫描 ， 计算所有上三角非对角 元 素 的耦合 因子 ， 是 否满 足下 列不 等 式 ： 篙 f f f 若 满 足 ( 5 ) 式 ， 则 跳 过此 非 对 角 元 素 ， 否 则计 算 a 和 y ， 变换 矩 阵的乘 积 PP P P， 以及 和 + 的元 素 。 C 第 此扫描结束后 ， 修正特征值 ： 厶 m 一 ， 1， 2， ， 。 ( 6 ) 再 检查 收敛 精 度 ： e 2 ( 7) 1 1 e f嵩 f e c ，z ， ， 一 1 ； J i + 1， i +2， 。 ) 。 ( 8 ) 如 果上 述 不 等 式 有 一 个 不 成立 ， 则 返 回到 b 步 骤 进行下 一 次 扫描 ， 否则 进行 下 一 步计算 。 d 求 全部 特 征解 ： PM 1 1 ，A K +1 M 1 。 ( 9 ) ( 2 ) 子 空 间 迭 代 法 。首 先 ， 根 据 实 际 工 程 经 验 【 7 确 定初 始 向量个 数 ： Pmi n ( 4 - 8 ， 2 m) ， ( 1 O ) 式 中 ， 为所需 求 的特 征值 的 阶数 。 其 次 ， 选 择 向量 ， 主 要 有 两 点原 则 ： 首 先 取决 于 R R法 的精 度 ， R i t z基 向量 所 张 子 空 间 与 前 阶特 征 向量 所 张 子空 间 E 的接 近 程 度 ， 越 接近 则精 度 越 高 ； 其 次 ， 反 迭代 法 不会 产生 初 始 向 量所不含的特征向量成分 ， 只是使低阶特征向量 所 占的 比例 上升 ， 因此 为 了减 少 迭代 次数 ， 就要 求 初 始 向量 所 张 的子空 间尽 可 能接 近 E 且 初始 向 量 必 须 含 有所 有 需 要 的 特 征 向量 成 分 ， 即它 所 张 的子空间不要与任一阶需求的特征 向量正交。 实 际工 程 分析 程序 中， 选择 初 始 向量矩 阵 一 M ， 令 中的第一列为 M 中的 全部对角元 ， 然后将 M 和 中的对角元 作 比 值 k 从 大 到小排 列 ， 取其 前 ( q 一1 ) 个 。 1 4力筋 预应 力 的模 拟 对结构预应力问题的传统处理方式有等效初 应变 方法 、 等效初 应 力方 法 、 等效 温 度方 法 和等效 荷 载 法 等 。最 新研 究 表 明 1 q ， 在一 定 范 围内 ， 预 应力混 凝 土梁 的固有 频率 随 着预 应 力 的增加 而增 大 ， 因为在 预 应 力 作 用 下 ， 梁 的 刚 度有 一定 增 加 ， 从 而 导致其 固有频 率 的增 加 。本 文对 力 筋预 应力 模 拟方 法 的选 择基 于 以下 三点 。 ( 1 )等效 初应 变 法和 等 效初 应 力 法 是将 施 加 的有 效 预应 力 转 化 为 预 应 力 筋 的 初 应 变 和 初 应 力 ， 来考 虑 力筋 预应 力 的影 响 。 此法 没 有考 虑 由于 预应 力 而导 致梁 的刚度 变化 。等效 温 度法 是通 过 给力 筋 降温 来 产生应 变 ， 模 拟力 筋 预应 力 ， 此法 较 适合用于预应力结构 的静力分析。 ( 2 )等效荷 载 法是 将 预应 力 作 为 结 构 的外 荷 载 ， 将 预应 力 对结 构 的作 用力 用 等效 荷 载代 替 ， 通 过计算取适当值 。利用该方法将在结构无阻尼 自 由振动方 程右端产生荷载向量 ， 必须使用精细时 程积分法【 8 和傅立叶变换求解结构 的固有模态 ， 不利 于 程 序流 程 的简 化和 程 序设 计 实现 。 ( 3 )利用 传统 本 构模 型 和 预应 力 模 拟 方 法进 行 动力 有 限元 分析 得 到的 固有 模态 不 符 合试验结 果 ， 但 目前 并没 有 公 认 合 理 的 理 论 来 考 虑 预应 力 对 固有 模态 的 影响 。 基 于 以上 考 虑 ， 本 文采 用 通 过 预应 力修 改 刚 度矩阵的方法考虑预应力的影响E 3 ： 维普资讯 http:/ 1 0 华 中科技大学学报 ( 城市科学 版) ( E ， ) ： 1 +2 1 0 N ( n E ， ) E L。( 1 1 ) 2 程序设计 按 如 下流 程 ( 图 1 ) 进行 有 粘 结预 应力 混 凝 土 简 支梁 的动力 有 限元 程序 设计 。 图 1流 程 图 本程 序 共 包 括 一 个 主程 序 ( ma i n ) 和 十八 个 子程 序 ， 各子 程 序名 称及 其作 用 如下 。 a 数 据输 入文 件 D ATI N： 用 来输 入程序计 算 所需 要 的各 种参 数 和基 本 数 据 ， 在 主程 序 中通 过 读取数据文件来获取需要信息 。 b 自动划分 网格子程 序 ME S H6 ： 此模块可 以得 到单元 编 号 、 单元 节 点编 号 、 每 个节 点编号 的 z和 Y坐标等参数 ， 并存入相应数组 。 c 单 元 刚度 矩 阵子 程序 R C KE2 ： 利用 高斯 积 分 得 到单元 的刚度 矩 阵 。 d 总 刚 度 矩 阵 子 程 序 R C KK2 ： 调 用 单 元 刚 度矩 阵子程 序模 块 ， 并组 集 总 刚度矩 阵 。 e 单元 质 量 子 程 序 RC ME 2 ： 利 用 高 斯 积 分 得 到单元 一 致质 量矩 阵 。 f 总 质 量 矩 阵子 程 序 R C MM2 ： 调 用 单元 质 量子 程序 模块 ， 并 组集 总 质量 矩 阵 。 g 引入支撑条件子程序 S UP S： 利用缩减法 引入 支撑 条件 ， 消除 刚度 矩 阵的奇 异 ， 划去相 应支 撑 的行和列 。 h 一 维压 缩 存储 子 程序 E I G1 ： 采用 一维压 缩 存 储 手段存 储 总 刚度矩 阵 和总 质 量矩阵 。 i 广 义 雅 克 比法 子 程 序 GJ AC： 计 算 梁 单 元 划 分后 所有 固有 频率 及 相应 振 型 。 J 子空 间迭代 法 子 程序 S UB S P AC E： 选 取 初 始迭 代 向 量和 所需 求 的前 阶 的 阶数 ， 通过 迭代 计 算 得 到前 阶 固有 频率 ， 该 过 程需 要 调用 广义 雅克 比法 子程 序 。 k 数 据 输 出 文 件 S KE OUT， S KK OUT， S M EOUT，S M MOUT，GJ ACOUT，DATOUT 和 S P AC E oUT 等 ： 分 别记 录单 元 刚度矩 阵 、 总 刚 度 矩 阵 、 单 元 质 量 矩 阵 、 总 质量 矩 阵 、 广 义 雅 克 比 法 、 单元划分信息 以及子空间迭代法等程序模块 的计 算 结果 。 主 程 序 调 用 ME S H6 ， RC KK2 ， R C MM2 ， S UP S， GJ AC 和 S UB S P AC E子 程 序 ， 其 余 子 程 序被 以上 的子程 序调 用 。 3 算 例 三 根 试 验 梁 采 用 1 2 0 mm 2 4 0 mm 的矩 形 截 面 ( 图 2 ) ； 有 粘 结预 应力 筋 采用 低 松 弛 7 西 5钢 铰 线 ， 其 截 面 积 为 1 3 9 mm ， 配 筋 率 0 4 8 3 ； 上 部 架 立 筋 采 用 2 8 ， 下 部 受 拉 筋 2 1 2 ， 配 筋 率 0 7 8 5 ； 箍筋 6 1 5 0 ， 混 凝 土采用 C 4 0 。 有 粘结 预应力混凝土梁灌浆材料为 M4 0素水泥浆 ， 水灰 比 0 4 5 。 试件实际长度 一3 9 0 0 mm， 计算长度 一3 7 0 0 mm， 两端 采用 铰 支座 支承 。 I 1 0 0 1 0 0 图 2试验梁截面尺寸 ram 利用 本文 编制 的有 限元 程 序计 算 梁 的固有 模 态 ， 并将 计 算结 果 和试验 结 果绘 制成 图 3及 图 4 。 i l 2o l I 羹 110 l 爨 上 一。 子 空 间 迭 代 法 I 。 9 O L 一 8 0 9 0 1 0 0 I 1 0 1 2 0 预 应 力 k N 萎 3 f 3。 f = = = 二 = 二 = = 2 8 = 二 二 = 二 二 = 。 ， 苎 篁， 维普资讯 http:/ 第 1 期 张耀庭等 ：有粘结预应力 混凝土简 支梁动力有 限元程序设计 4 结 论 ( 1 )对 比计 算 结 果 和 试 验 结 果 可 得 如 下 结 论 。 a 试验结 果 和有 限元 程 序计 算结 果 在数 值 和 变化 趋势 上基本 吻 合 。 与试验 结 果相 比 ， 三 根试 验 梁采 用广 义雅克 比法计算 得 到 的一 阶频 率 的误 差 分 别 为 1 7 4 3 ， 2 2 6 7 ， 2 6 3 9 ； 采 用 子 空 间 迭 代 法 计 算 的 一 阶 频 率 的 误 差 分 别 为 6 3 ， 6 0 ， 7 9 o 。 采 用 广义 雅克 比法计 算得 到 的二 阶 频 率 的误差 分别 为 3 4 4 ， 3 8 1 ， 3 7 8 ； 采 用 子 空 间迭 代法 计算 得 到 的二 阶频率 的误差 分别 为 1 1 6 0 ， 1 7 3 ， 1 5 5 。 而 且 随着 预应 力 的升 高 ， 有 粘结 预应力 混凝 土 简支 梁 的频 率 随着 提高 。 b 有限元程序计算的固有频率值比试验值略 高 ， 一 阶频率 和二 阶频 率均 是 如此 。 C 采用子空间迭代法计算固有频率 的精度高 于 广义雅 克 比法 。 ( 2 )本 文所 编制 的有 限 元 程序 计 算 的固有 频 率 高于实 测 值 ， 原 因如 下 。 a 程 序 采用 的是 一 致 质 量 矩 阵 ， 根 据 动 力 有 限 元理 论 ， 一 致质 量 矩 阵 所 算 出的 固 有频 率 值 只 是 代表结 构 的真实 固有 频率 的上 界 。 b 计算 模 型 采 用无 阻 尼 自由振 动 模 型 ， 在 忽 略 阻 尼 的情 况下 ， 通 过 编 程 计 算所 得 到 的 固有 频 率 值应该 比试验 测 得 的固有 频 率 值高 。 C 子 空 间 迭 代 法 实 质 是 通 过 不 断 改 进 R i t z 基 向量 ， 使 之最 终 收敛 到所 需 的振 动 主模 态 ， 可 以 视作 R i t z法 的反复运 用 而 R i t z法所得 到 的数 值 ， 实 际上 是 固有频 率 的上界 ， 所 以子 空 问迭 代法 计算 得 到 的固有 频率 实 际上 也是 给 出 了结 构 固有 频率 的上 界 。 d 程 序 采 用 了忽 略转 动 惯 量 的一 致 质 量 矩 阵 ， 导 致 了二 阶频率 误差 有所 增大 。 e 线 弹性 混凝 土本 构模 型没 有 考 虑混 凝 土材 料 的复 杂性 ， 使 计算 结果 有 一定 的误 差 。 1 E 2 3 3 4 3 E 5 3 E 6 7 E 8 3 参 考 文 献 Sai i di M Do ugl as B Fe ng SPr e s t r es s For c e Ef f e c t o n Vi b r a t i o n F r e q u e n c y o f C o n c r e t e B r i d g e s J J o u r n a l o f s t r u c t u r a l En g i n e e r i n g 1 9 9 4 1 2 0( 7 ) ： 2 2 33 2 2 41 Ki m J e o n g Ta e Yu n Ch u n g B a n g， Ry u Ye o n S u n， et a 1 I de nt i f i c at i on of Pr e s t r e s s 1 os s i n PSC Be a ms Us i n g Mo d a l I n f o r ma t i o n J S t r u c t u r a l Engi ne e r i ng a nd M e c han i c s 2 00 4，17(3 - 4)：46 7 4 82 张 耀庭 ，汪霞利 ，李瑞鸽预 应力梁 的固有频 率研 究 J 华 中科 技大学 学报 ( 自然 科学 版) ， 2 0 0 7 ，3 5 ( 2)： 1 2 1 5 江见鲸 陆新征 ， 叶列 平混凝 土结 构有 限 元分 析 M 北京 ： 清华大学出版社 ， 2 0 0 5 王 勖成 ，邵 敏有 限单 元法基本 原理和数 值方法 ( 第二 版) M 北京 ：清华大学出版社 ，1 9 9 5 Ch e n W F P l a s t i c i t y i n R e i n f o r c e d C o n c r e t e M Ne w Yor k：M e Gr a w Hi l l ，1 9 82 陈玲莉工程 结构 动力分 析数 值方 法 M3 西安 ： 西 安交通大学 出版社 ，2 0 0 6 张 强 ，陈奎 孚 ， 焦群英结构 固有频 率 的精 细时 程 积分法求解 E J 中国农业大学 学报 、 2 0 0 1 ，6 ( 2 ) ： 2 9 3】 Dy na m i c Fi ni t e El e me n t Pr o g r a m i ng o f Si m p l y S up po r t e d Bo n de d Pr e s t r e s s e d Co nc r e t e Be a ms ZH AN G Yao t i ng 。 U Zhe n g hu i ， FANG Do n g ( 1 a Sc ho o 1 o f Ci vi 1 Eng i n e e r i ng a nd M e c ha n i c s； b Hu be i Ke y I a b or a t o r y o f Con t r o1 St r u c t u r e，HU ST ，W u ha n 43 0 07 4，Chi n a； 2 W u ha n Re s e a r c h I ns t i t ut e o f Con s t r u c t i on Engi ne e r i n g， W u h an 4 30 0 22， Ch i na) Ab s t r a c t ：The d yn a m i c f i n i t e e l e m e n t pr o gr a m o f bo nd e d pr e s t r e s s e d c onc r e t e b e a ms wa s de s i gn e d Th e c o nc r e t e e l eme n t was s i m u l a t e d b y qu a dr i l a t er a 1 i s op e r i me t r i c e l e me nt An d t he s t e e l s we r e di s t r i bu t e d t o c on c r e t e The 1 i n e a r e l a s t i c c o ns t i t ut i v e r e l at i on s hi p wa s u s e d Th e c o nt r i bu l o n o f pr e s t r e s s e d f o r c e of s t e e 1 wa s c o ns i de r e d a s ame n dme nt t o s t i f f n e s s m a t r i x a c c or d i ng t o t he c or r e l a t i o n d o c u me n t a t i o n Th e g e n e r a l i z e d J a c o b i me t h o d a n d s u b s p a c e i n t e r a c t i o n me t h o d we r e u s e d t o s o l v e t h e e i ge n v a l u e pr o bl e m The a l go r i t hm of g en e r a l i z e d ei ge n v a l u e pr o bl e m an d s t a n da r d ei ge n v a l u e pr o bl e m we r e c o ns i de r e d An d t h e c o nt r i b ut i on of 1 u m p e d ma s s ma t r i c e s a n d u ni f or m ma s s ma t r i c e s we r e c o ns i d e r e d At 1 a s t， ba s e d o n t h e e xp e r i men t o f t hr e e bo n de d pr e s t r e s s e d c o nc r e t e s i m p l e s u pp or t e d b e a ms，t he n a t u r a l f r e qu e nc y of t h e b e a m wa s c a l c u l a t e d b y t h e p r ogr a m Co mpa r i ng wi t h t he e x p e r i me n t a l r e s u l t s，t he p r e c i s i o n of t h e p r o g r am i s v e r i f i e d Ke y wo r ds：b on de d；p r e s t r e s s；c onc r e t e be a m ；f i ni t e e l e me nt ；n a t ur a 1 f r e q ue nc y 维普资讯 http:/