北师大版八年级上册第二章实数知识点及题型总结.doc

第二章《实数》知识点梳理及题型解析
一、知识归纳
（一）平方根与开平方
1. 平方根的含义
如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根。
即，叫做的平方根。
2.平方根的性质与表示
　⑴表示：正数的平方根用表示，叫做正平方根，也称为算术平方根，叫做的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根：（根指数2省略）
0有一个平方根，为0，记作 ；负数没有平方根
⑶平方与开平方互为逆运算
　开平方：求一个数的平方根的运算。
　==　　　　　　（）
⑷的双重非负性
且　　（应用较广）
　例：　得知
　⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
　　区分：4的平方根为
的平方根为
3.计算的方法
*若，则
（二）立方根和开立方
1．立方根的定义
　　如果一个数的立方等于，呢么这个数叫做的立方根，记作.
2. 立方根的性质
　 任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０.
3. 开立方与立方
　　开立方：求一个数的立方根的运算。
　　 （a取任何数）
*０的平方根和立方根都是０本身。
（三）推广： 次方根
１. 如果一个数的次方（是大于１的整数）等于，这个数就叫做的
次方根。
当为奇数时，这个数叫做的奇次方根。
当为偶数时，这个数叫做的偶次方根。
２. 正数的偶次方根有两个：；０的偶次方根为０：；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。
（四）实 数
1. 实数：有理数和无理数统称为实数
实数的分类：
① 按属性分类： ② 按符号分类

2. 实数和数轴上的点的对应关系：
实数和数轴上的点一 一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．
数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
的画法：画边长为1的正方形的对角线

在数轴上表示无理数通常有两种情况：
①尺规可作的无理数，如
②尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……
思考：
（1）－a2一定是负数吗？－a一定是正数吗？
（2）大家都知道是一个无理数，那么－1在哪两个整数之间？
（3）的整数部分为a,小数部分为b，则a= , b= 。
（4）判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。
① 无限小数都是无理数. ( )
② 无理数都是无限小数. ( )
③ 带根号的数都是无理数. ( )
④ 有理数都是实数，实数不都是有理数. ( )
⑤ 实数都是无理数，无理数都是实数. ( )
⑥ 实数的绝对值都是非负实数. ( )
⑦ 有理数都可以表示成分数的形式。 ( )
3. 实数大小比较的方法
一、平方法： 比较和的大小 ____
二、根号法： 比较和的大小 ____
三、求差法： 比较和1的大小 ____1
4.实数的三个非负性及性质 
(1)在实数范围内，正数和零统称为非负数。
(2)非负数有三种形式 
①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； 
②任何一个实数a的平方是非负数，即2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0.
（3）非负数具有以下性质
①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
二、题型解析
题型一、有关概念的识别
【例1】 下面几个数： ，1.010010001…，，3π，，，
其中，无理数的个数有（ ）
A、1　　　 B、2　　　 C、3 　　　D、4
【变式1】下列说法中正确的是（ ）
A．的平方根是±3　 B. 1的立方根是±1　
C．=±1 　 D. 是5的平方根的相反数
题型二、计算类型题
【例2】设，则下列结论正确的是（ ）
A. 　B. 　 C. 　 D.
【例3】计算：

【例4】先化简，再求值：
，其中a=，b=．

【例5】若和互为相反数，求的值。

题型三、实数非负性的应用
【例6】已知实数a、b、c满足，2|a-1|++ =0，求a+b+c的值。

【例7】若，求x，y的值。

【例8】已知：=0，求实数a, b的值

【变式1】，求的平方根和算术平方根。

【变式2】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。

题型四、数形结合题
【例9】如图，实数、在数轴上的位置，化简 ：

类型五、实数应用题
【例10】有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少。

类型六、拓展提升
【例11】已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.

【例12】把下列无限循环小数化成分数：①②③

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