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《分数混合运算》知识点复习及随堂练习教师稿

北师大六年级上册第二单元 分数混合运算

教学目标

1、体会分数混合运算的运算顺序和整数是一样的，会计算分数混合运算
2、利用分数加、减、乘、除法解决日常生活中的实际问题
3、掌握分数应用题的相关知识及解题方法

一、分数混合运算的运算顺序
运算顺序和整数混合运算是一样的。
先×÷后＋－，有括号的先算括号里面的，同级的运算符从左至右运算。
一般：①除以一个数等于乘以这个数的倒数。所以一般第一步先化÷为×。
②有括号的，先算括号里面的，简算中注意打开括号用分配律。
③＋－注意通分。
④×注意分子和分母“逐个”约分。
二、计算
例1、

×÷×

例2、解方程

例3、列式计算
1减去与的和，所得的差除以，商是多少？

减的差乘一个数得，求这个数。 加上除以的商，得到的和再乘，积是几？

【知识点：解决问题】
对应数量÷对应分率=单位“1”
求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。
已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，还可以用方程解答。
例4、
1、小刚家九月份用水12吨，比八月份节约了 ,八月份用水多少吨？   
2、胜利路长1千米，延安路是胜利路长度的 倍。延安路比胜利路长多少千米？

针对练习4
1、六年级学生参加植树劳动，男生植了160棵，女生植的树比男生的多5棵。女生植树多少棵？

2、一个食堂原来每月用煤320千克，现在每月比原来节约 ，这个食堂现在每月用煤多少千克？

3、学校要买些桌椅。 已知一把椅子的价钱是48元，一张桌子的价钱比一把椅子多 ，一张桌子多少钱？

4、一项工程，甲独做10天完成，乙独做15天完成。现在甲做4天，乙做3天，分别完成这项工程的几分之几？

拓展知识点：
（一）分数应用题：
分数应用题主要讨论的是以下三者之间的关系：
（1）分率：表示一个数是另一个数的几分之几，这几分之几通常称为分率。
（2）标准量：解答分数应用题时，通常把题目中作为单位“1”的那个数，称为标准量。
（3）比较量：解答分数应用题时，通常把题目中同标准量比较的那个数，称为比较量。
（二）分数应用题的分类
1、求一个数的几分之几是多少。这类问题特点是已知一个看作单
位“1”的数，求它的几分之几是多少，解这类应用题用乘法。即反映的是整体与部分之间关系的应用题，基本的数量关系是：整体量×分率=分率的对应的部分量；或已知一个看作单位“1”的数，另一个数占它的几分之几，求另一个数，即反映的是甲乙两数之间关系的应用题，基本的数量关系是：标准量×分率=分率的对应的比较量。
（1）求一个数的几分之几是多少：标准量×（分率）=是多少（分率对应的比较量）。
（2）求比一个数多几分之几多多少：标准量×（分率）=多多少（分率对应的比较量）。
（3）求比一个数多几分之几是多少：标准量×（1 + ）（分率）=是多少（分率对应的比较量）。
（4）求比一个数少几分之几少多少：标准量×（分率）=少多少（分率对应的比较量）。
（5）求比一个数少几分之几是多少：标准量×（1 - ）（分率）=是多少（分率对应的比较量）。
2、求一个数是另一个数的几分之几。这类问题特点是已知两个数量，比较它们之间的倍数关系，解这类应用题用除法。基本的数量关系是：比较量÷标准量=分率。
（1）求一个数是另一个数的几分之几: 比较量÷标准量=分率（几分之几）。
（2）求一个数比另一个数多几分之几：相差量÷标准量=分率（多几分之几）。
（3）求一个数比另一个数少几分之几：相差量÷标准量=分率（少几分之几）。
3、已知一个数的几分之几是多少，求这个数。这类问题特点是已知一个数的几分之几是多少的数量，求单位“1”的量，解这类应用题用除法。基本的数量关系是：分率对应的比较量÷分率=标准量。
（1）已知一个数的几分之几是多少，求这个数: 是多少（分率对应的比较量）÷（分率）=标准量。
（2）已知一个数比另一个数多几分之几多多少，求这个数：多多少（分率对应的比较量）÷（分率）=标准量。
（3）已知一个数比另一个数多几分之几是多少，求这个数：是多少（分率对应的比较量）÷（1 + ）（分率）=标准量。
（4）已知一个数比另一个数少几分之几少多少，求这个数：少多少（分率对应的比较量）÷（分率）=标准量。
（5）已知一个数比另一个数少几分之几是多少，求这个数：是多少（分率对应的比较量）÷（1 –）（分率）=标准量。
（三）分数应用题的基本训练
1、正确审题能力训练
正确审题是正确解题的前提。这里所说的审题能力，首先是根据题中的分率句，能准确分清比较量和标准量（看分率是谁的几分之几，谁就是标准量），且判断标准量已知（用乘法）或未知（用除法），为确定解题方法奠定基础；其次会把“比”字句转化成“是”字句；第三是能将省略式的分率句换说成比较详细的句子的能力。
2、画线段图的训练
线段图有直观、形象等特点。按题中的数量比例，恰当选用实线或虚线把已知条件和问题表示出来，数形结合，有利于确定解题思路。
3、量、率对应关系训练
量、率对应关系的训练是解较复杂分数应用题的重要环节。通过训练，能根据应用题的已知条件发挥联想，找出各种量、率间接对应关系，为正确解题铺平道路。
如：一批货物，第一次运走总数的，第二次运走总数的，还剩下143吨。量、率对应关系有：
货物的总重量 “1” 第一次运走的重量
第二次运走的重量 两次工运走的重量 +
第一次比第二次少运的重量 —
第一次运走后剩下的重量 1—
143吨 1— —
4、 转化分率训练
在解较复杂的分数应用题时，常需要将间接分率转化为直接运用于解题的分率。
（1）已修总长的，则未修是总长的1 — = ；
（2）甲班人数是乙班的，则乙班人数是甲班的；
（3）今年比去年增产，则今年产量是去年的1 + = 1；
（4）第一次运走总数的，第二次运走剩下的，则第二次运走的是总数的 [(1 — ) × ] = 等。
5、 由分率句到数量关系式训练
“分率句 数量关系式”的训练，是确保正确列式解题的训练。如：由“男生比女生少”可列数量关系式：
女生人数 ×（1 — ）= 男生人数； 女生人数×= 男生比女生少的人数；
男生人数 ÷（1 — ）= 女生人数； 男生比女生少的人数÷=女生人数。
二、分析解答
1、求一个数的几分之几是多少。
（1） 求一个数的几分之几是多少： 标准量×（分率）=是多少（分率对应的比较量）。
例1：学校买来100千克白菜，吃了，吃了多少千克？（反映整体与部分之间的关系。）
白菜的总重量× = 吃了的重量 100 × = 80 （千克）
答：吃了80千克。
例2：一个排球定价60元，篮球的价格是排球的。篮球的价格是多少元？（反映甲乙两数之间的关系。）
排球的价格×= 篮球的价格 60 ×= 50 （元）
答：篮球的价格是50元。
例3：小红体重42千克，小云体重40千克，小新体重相当于小红和小云体重总和的。小新体重是多少千克？（两个数量的和做为标准量。）
（小红体重 + 小云体重）× = 小新体重
（42 +40）× = 41 （千克）
答：小新体重41千克。
例4： 有一摞纸，共120张。第一次用了它的，第二次用了它的，两次一共用了多少张纸？
（所求数量对应的分率是两个分率的和。）
纸的总张数×（+ ）=两次共用的张数
120×（+ ）=92（张）
答：两次共用92张。
例5：国家一级保护动物野生丹顶鹤，2001年全世界约有2000只，我国占其中的，其它国家约有多少只？
（所求数量对应的分率没有直接告诉。）
野生丹顶鹤的总只数×（1 — ）= 其它国家的只数
2000×（1 — ）= 1500（只）
答：其它国家约有1500只。
例6：小亮储蓄箱中有18元，小华储蓄的钱是小亮的，小新储蓄的钱是小华的。小新储蓄多少钱？
（有两个单位“1”的量且都已知。）
小亮储蓄的钱× ×= 小新储蓄的钱
18 × ×= 10（元）
答：小新储蓄10元。
（2） 求比一个数多几分之几多多少：标准量×（分率）=多多少（分率对应的比较量）。
例1：人的心脏跳动的次数随着年龄而变化。青少年每分钟约跳75次，婴儿每分钟心跳的次数比青少年多。婴儿每分钟心跳比青少年多多少次？（所求数量和已知分率直接对应。）
青少年每分钟心跳次数×= 婴儿每分钟心跳比青少年多跳的次数
75 ×= 60（次）
答：婴儿每分钟心跳比青少年多跳60次。
（3） 求比一个数多几分之几是多少：标准量×（1 + ）（分率）
=是多少（分率对应的比较量）。
例1：人的心脏跳动的次数随着年龄而变化。青少年每分钟约跳75次，婴儿每分钟心跳的次数比青少年多。婴儿每分钟心跳多少次？（需将分率转化成所求数量对应的分率。）
青少年每分钟心跳次数 ×（1 + ）=婴儿每分钟心跳的次数
75 × （1 + ）=135（次）
答：婴儿每分钟心跳135次。
例2：学校有20个足球，篮球比足球多 ，篮球有多少个？（需将分率转化成所求数量对应的分率。）
足球的个数×（1+ ）=篮球的个数
20×（1+ ）=25（个）
答：篮球有25个。
（4） 求比一个数少几分之几少多少：标准量×（分率）=少少 （分率对应的比较量）。
例1：学校有20个足球，篮球比足球少 ，篮球比足球少多少个？ （所求数量和已知分率直接对应。）
足球的个数× = 篮球比足球少的个数
20× = 4（个）
答：篮球比足球少4个。
（5）求比一个数少几分之几是多少：标准量×（1 - ）（分率）=是多少（分率对应的比较量）。
例1：学校有20个足球，篮球比足球少 ，篮球有多少个？（需将分率转化成所求数量对应的分率。）
足球的个数×（1 — ）=篮球的个数
20×（1 — ）=16（个）
答：篮球有16个。
例2：一种服装原价105元，现在降价，现在售价多少元？（需将分率转化成所求数量对应的分率。）
服装的原价×（1 —）= 现在售价
105×（1 — ）=75（元）
答：现在售价是75元。
2、求一个数是另一个数的几分之几。
（1）求一个数是另一个数的几分之几: 比较量÷标准量=分率（几分之几）。
例1：学校的果园里有梨树15棵，苹果树20棵。梨树的棵数是苹果树的几分之几？（找准标准量。）
梨树的棵数÷苹果树的棵数 =梨树的棵数是苹果树的几分之几
15÷20 =
答：梨树的棵数是苹果树的。
例2：学校的果园里有梨树15棵，苹果树20棵。苹果树的棵数是梨树的几倍？（找准标准量。）
苹果树的棵数÷梨树的棵数 =梨树的棵数是苹果树的几倍
20÷15= 1
答：苹果树的棵数是梨树的1倍。
（2）求一个数比另一个数多几分之几：相差量÷标准量=分率（多几分之几）。
例1：学校的果园里有梨树15棵，苹果树20棵。苹果树的棵数比梨树多几分之几？（相差量是比较量。）
苹果树比梨树多的棵数 ÷梨树树的棵数=多几分之几
（20—15）÷15 =
答：苹果树的棵数比梨树多。
（3）求一个数比另一个数少几分之几：相差量÷标准量=分率（少几分之几）。
例1：学校的果园里有梨树15棵，苹果树20棵。梨树的棵数比苹果树少几分之几？（相差量是比较量。）
梨树比苹果树少的棵数÷苹果树的棵数 =少几分之几
（20—15）÷20=
答：梨树的棵数比苹果树少。
3、已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
（1） 已知一个数的几分之几是多少，求这个数: 是多少（分率对应的比较量）÷（分率）=标准量。
例1：一个儿童体内所含水分有28千克，占体重的。这个儿童的体重有多少千克（反映整体与部分之间的关系）
体内水分的重量÷ =体重
28 ÷ = 35（千克）
答：这个儿童体重35千克。
例2：一条裤子的价格是75元，是一件上衣的。一件上衣多少元？（反映甲乙两数之间的关系）
裤子的单价÷=上衣的单价
75÷=112（元）
答：一件上衣112元。
例3：水果店运一批水果。第一次运了50千克，第二次运了70千克，两次正好运了这批水果的。这批水果有多少千克？（两个已知数量的和对应分率。）
（第一次运的重量+第二次运的重量）÷= 这批水果的重量
（50+70）÷=480（千克） 答： 这批水果480千克。
例4：一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的，第二小时行了全程的，两小时行了114千米。两地之间的公路长多少千米？（已知数量对应的分率是两个分率的和。）
两小时行的路程÷（+ ）=两地之间的公路长度
114÷（+ ）=216（千米）
答：两地之间的公路长216千米。
例5：一桶水，用去它的，正好是15千克。这桶水重多少千克？（已知数量和分率直接对应。）
用去的重量÷=这桶水的总重量
15÷=20（千克）
答：这桶水重20千克。
例6：小红家买来一袋大米，吃了，还剩15千克。买来大米多少千克？（已知数量和分率不直接对应。）
剩下的重量÷（1— ）= 买来大米的重量
15÷（1— ）= 40（千克）
答： 买来大米40千克。
例7：光明小学航模小组是生物小组的，生物小组的人数是美术小组的。航模小组有8人，美术小组有多少人？（有两个单位“1”的量且都未知。）
航模小组的人数÷÷= 生物小组的人数
8÷÷= 30（人）
答：生物小组有30人。
例8：商店运来一些水果，运来苹果20筐，梨的筐数是苹果的 ，同时又是橘子的。运来橘子多少筐？（有两个单位“1”的量，一个已知，一个未知。）
苹果筐数×÷= 橘子的筐数
20×÷= 25（筐）
答：橘子有25 筐。
（2）已知一个数比另一个数多几分之几多多少，求这个数：多多少（分率对应的比较量）÷（分率）=标准量。
例1：某工程队修筑一条公路。第一周修了这段公路的，第二周修筑了这段公路的，第二周比第一周多修了2千米。这段公路全长多少千米？（需要找相差数量对应的分率。）
第二周比第一周多修的千米数÷（ — ）=公路的全长
2÷（ — ）=56（千米）
答：这段公路全长56千米。
（3）已知一个数比另一个数多几分之几是多少，求这个数：是多少（分率对应的比较量）÷（1 +）（分率）=标准量。
例1：学校有20个足球，足球比篮球多 ，篮球有多少个？（需将分率转化成所求数量对应的分率。）
足球的个数÷（1+ ）=篮球的个数 20÷（1+ ）=16（个）
答：篮球有16个。
（4）已知一个数比另一个数少几分之几少多少，求这个数：少多少（分率对应的比较量）÷（分率）=标准量。
例1：某工程队修筑一条公路。第一天修了38米，第二天了42米。第一天比第二天少修的是这条公路全长的。这条公路全长多少米？（需要找相差分率对应的数量。）
第一天比第二天少修的米数÷=公路的全长
（42 — 38）÷=112（米）
答：这段公路全长112米。
（5）已知一个数比另一个数少几分之几是多少，求这个数：是多少（分率对应的比较量）÷（1 –）（分率）=标准量。
例1：学校有20个足球，足球比篮球少 ，篮球有多少个？（需将分率转化成所求数量对应的分率。）
足球的个数÷（1—）=篮球的个数 20÷（1—）=25（个）
答：篮球有25个。

4、较复杂的分数应用题。
例1：学校食堂九月份用煤气640立方分米，十月份计划用煤气是九月份的，而十月份实际用煤气比原计划节约。十月份比原计划节约用煤气多少立方分米？（明确题中的三个数量，把那两个数量看做单位“1”，所求数量对应的分率。）
九月份用煤气的体积××=十月份比原计划节约用煤气的体积
640××=144（立方分米）
答：十月份比原计划节约用煤气144立方分米。