复数的基本概念和几何意义.pdf

复数复数一、考点、热点回顾一、考点、热点回顾1.复数的有关概念（1）复数定义：形如 abi（a，bR R）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足 i21.表示方法：复数通常用字母z 表示，即zabi（a，bR R），这一表示形式叫做复数的代数形式.a 叫做复数 z 的实部，b 叫做复数 z 的虚部.注意：复数 mni 的实部、虚部不一定是m、n，只有当 mR R，nR R 时，m、n 才是该复数的实部、虚部.（2）复数集定义：全体复数所成的集合叫做复数集.表示：通常用大写字母C C 表示.2.复数的分类实数（b0）纯虚数a0（1）复数 zabi（a，bR R）虚数（b0）非纯虚数a0（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系3.复数相等的充要条件设 a、b、c、d 都是实数，则 abicdi ac 且 bd，abi0 ab0.注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为zabi（a，bR R）的形式，即分离实部和虚部.（2）只有当 ac 且 bd 的时候才有 abicdi，ac 和 bd 有一个不成立时，就有abicdi.（3）由 abi0，a，bR R，可得 a0 且 b0.4.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.5.复数的两种几何意义（1）复数 zabi（a，bR R）复平面内的点 Z（a，b）.一一对应（2）复数 zabi（a，bR R）平面向量OZ.6.复数的模复数 zabi（a，bR R）对应的向量为OZ，则OZ的模叫做复数 z 的模，记作|z|，且|z|a2b2.注意：复数 abi（a，bR R）的模|abi|a2b2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小.一一对应二、典型例题二、典型例题考点一、复数的概念例 1、下列命题：若 aR R，则（a1）i 是纯虚数；若 a，bR R，且 ab，则 aibi；若（x24）（x23x2）i 是纯虚数，则实数 x2；实数集是复数集的真子集.其中正确的是（）A.B.C.D.【解析】对于复数 abi（a，bR R），当 a0 且 b0 时，为纯虚数.对于，若 a1，则（a1）i 不是纯虚数，即错误.两个虚数不能比较大小，则错误.对于，若 x2，则 x240，x23x20，此时（x24）（x23x2）i0，不是纯虚数，则错误.显然，正确.故选 D.【答案】D变式训练 1、1.对于复数 abi（a，bR R），下列说法正确的是（）A.若 a0，则 abi 为纯虚数B.若 a（b1）i32i，则 a3，b2C.若 b0，则 abi 为实数D.i 的平方等于 1解析：选 C.对于 A，当 a0 时，abi 也可能为实数；对于 B，若 a（b1）i32i，则 a3，b1；对于 D，i 的平方为1.故选 C.2.若 43aa2ia24ai，则实数 a 的值为（）A.1B.1 或4C.4D.0 或4243aa，解析：选 C.易知2解得 a4.a 4a，考点二、复数的分类m（m2）例 2、已知 mR R，复数 z（m22m3）i，当 m 为何值时，m1（1）z 为实数？（2）z 为虚数？（3）z 为纯虚数？m（m2）【解】（1）要使 z 为实数，m 需满足 m22m30，且有意义，即 m10，解得 m3.m1m（m2）（2）要使 z 为虚数，m 需满足 m22m30，且有意义，即 m10，解得 m1 且 m3.m1m（m2）（3）要使 z 为纯虚数，m 需满足0，且 m22m30，解得 m0 或2.m1变式训练变式训练 2 2、当实数 m 为何值时，复数 lg（m22m7）（m25m6）i 是（1）纯虚数；（2）实数.2lg（m 2m7）0，解：（1）复数 lg（m22m7）（m25m6）i 是纯虚数，则2m 5m60，解得 m4.2m 2m70，（2）复数 lg（m22m7）（m25m6）i 是实数，则2解得 m2 或 m3.m 5m60，考点三、复数相等考点三、复数相等例 3、（1）若（xy）yi（x1）i，求实数 x，y 的值；（2）已知 a2（m2i）a2mi0（mR R）成立，求实数 a 的值；a（3）若关于 x 的方程 3x2 x1（10 x2x2）i 有实根，求实数 a 的值.21x，2xy0，【解】（1）由复数相等的充要条件，得解得1yx1，y.22a 2，a 2，a am20，（2）因为 a，mR R，所以由 a2am2（2am）i0，可得解得或2am0，m2 2m2 2，所以 a 2.（3）设方程的实根为 xm，a则原方程可变为 3m2 m1（10m2m2）i，2a3m22m10，71所以解得 a11 或.510m2m20，变式训练 3、已知 A1，2，a23a1（a25a6）i，B1，3，AB3，求实数 a 的值.解：由题意知，a23a1（a25a6）i3（aR R），2a 3a13，a4或a1，所以2即a 5a60，a6或a1，所以 a1.考点四、复数与复平面内的点例 4、已知复数 z（a21）（2a1）i，其中 aR R.当复数 z 在复平面内对应的点 Z 满足下列条件时，求 a的值（或取值范围）.（1）在实轴上；（2）在第三象限.【解】（1）若对应的点在实轴上，则有12a10，解得 a.2（2）若 z 对应的点在第三象限，则有2a 10，111，.解得1a.故 a 的取值范围是222a10.变式训练 4、求实数 a 取什么值时，复平面内表示复数za2a2（a23a2）i 的点（1）位于第二象限；（2）位于直线 yx 上.解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数za2a2（a23a2）i 的点就是点 Z（a2a2，a23a2）.（1）由点 Z 位于第二象限，得2a a20，解得2a0，故满足条件的实数 a 的取值范围为（2，1）.（2）由点 Z 位于直线 yx 上，得a2a2a23a2，解得 a1.故满足条件的实数 a 的值为 1.考点五、复数与复平面内的向量例 5、（1）已知 M（1，3），N（4，1），P（0，2），Q（4，0），O 为复平面的原点，试写出OM，ON，OP，OQ所表示的复数；（2）已知复数 1，12i，3i，67i，在复平面内画出这些复数对应的向量；（3）在复平面内的长方形ABCD 的四个顶点中，点A，B，C 对应的复数分别是 23i，32i，23i，求点 D 对应的复数.【解】（1）OM表示的复数为 13i；ON表示的复数为 4i；OP表示的复数为 2i；OQ表示的复数为4.（2）复数 1 对应的向量为OA，其中 A（1，0）；复数12i 对应的向量为OB，其中 B（1，2）；复数3i 对应的向量为OC，其中 C（0，3）；复数 67i 对应的向量为OD，其中 D（6，7）.如图所示.（3）记 O 为复平面的原点，由题意得OA（2，3），OB（3，2），OC（2，3）.设OD（x，y），则AD（x2，y3），BC（5，5）.x25，x3，由题知，ADBC，所以即故点 D 对应的复数为32i.y35，y2，变式训练5、在复平面内，把复数33i 对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是3_.解析：3 3i 对应向量为（3，3），与x 轴正半轴夹角为 30，顺时针旋转60后所得向量终点在 y 轴负半轴上，且模为 2 3.故所得向量对应的复数是2 3i.答案：2 3i考点六、复数的模例 6、（1）设（1i）x1yi，其中 x，y 是实数，则|xyi|（）A.1B.2C.3D.2（2）已知复数 z 满足 z|z|28i，求复数 z.【解】（1）选 B.因为 xxi1yi，所以 xy1，所以|xyi|1i|1212 2.（2）法一：设 zabi（a，bR R），则|z|a2b2，代入原方程得 abi a2b228i，a a2b22，a15，根据复数相等的充要条件，得解得b8.b8，所以 z158i.法二：由原方程得 z2|z|8i（*）.因为|z|R R，所以 2|z|为 z 的实部，故|z|（2|z|）282，即|z|244|z|z|264，得|z|17.将|z|17 代入（*）式得 z158i.变式训练 6、已知复数 z3ai（aR R），且|z|4，求实数 a 的取值范围.解：法一：因为 z3ai（aR R），所以|z|32a2，由已知得 32a242，所以 a27，所以 a（7，7）.法二：由|z|4 知 z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4 为半径的圆内（不包括边界），由 z3ai 知z 对应的点在直线 x3 上，所以线段 AB（除去端点）为动点 Z（3，a）的集合，由图可知 7a 7.三、课后练习三、课后练习1.若(x+y)i=x-1(x,yR),则 2x+y的值为()A.B.2解析解析:由复数相等的充要条件知,x+y，故 x+y=0.故 2x+y=20=1.答案答案:DC.0D.12.已知集合 M=1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i,N=-1,3,且 MN=3,则实数 m 的值为()A.4B.-1C.-1 或 4D.-1 或 6解析解析:由于 MN=3,故 3M,必有 m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,所以得 m=-1.答案答案:B3.给出下列复数:-2i,3+,8i2,isin,4+i;其中表示实数的有(填上序号)_.解析解析:为实数;8i2=-8 为实数;isin=0i=0 为实数,其余为虚数.答案答案:4.下列复数模大于 3,且对应的点位于第三象限的为()A.z=-2-iB.z=2-3iC.z=3+2iD.z=-3-2i解析解析:A 中|z|=3.答案答案:D:D5.已知复数 z 满足|z|2-2|z|-3=0,则复数 z 对应点的轨迹为()A.一个圆B.线段C.两点D.两个圆解析:|z|2-2|z|-3=0,(|z|-3)(|z|+1)=0,|z|=3,表示一个圆,故选 A.答案答案:A:A6.已知在ABC 中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为_.解析解析:因为对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2),=(-2,-3).又=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.答案答案:-1-5i7.在复平面内,若复数 z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i 的对应点,(1)在虚轴上,求复数 z;(2)在实轴负半轴上,求复数 z.答案答案:(1)若复数 z 的对应点在虚轴上,则 m2-m-2=0,所以 m=-1 或 m=2.此时 z=6i 或 z=0.(2)若复数 z 的对应点在实轴负半轴上,则 m2-3m+2=0，m2-m-20).|z|=1,a2=1.而 a0,2a=222i.z=22222i22答案答案:z=11.已知复数 z 满足 z+|z|=2+8i,则复数 z=_.解析解析:设 z=a+bi(a,bR),则|z|=a2 b2,代入方程得,a+bi+a2 b2=2+8i,解得 a=-15z=-15+8i.答案答案:-15+8i12.已知 M=1,(m2-2m)+(m2+m-2)i,P=-1,1,4i,若 MP=P,求实数 m 的值.解析解析:MP=P,M P,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1 或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得 m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,解得 m=2.综上可知 m=1 或 m=2.答案答案:m=1 或 m=213.已知复数 z=2+cos+(1+sin)i(R),试确定复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线.解析解析:设复数 z=2+cos+(1+sin)i 对应的点为 Z(x,y),则 x=2+cos,y=1+sin即 cos=x-2,sin=y-1所以(x-2)2+(y-1)2=1.所以复数 z 在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1 为半径的圆.答案答案:复数 z 在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1 为半径的圆.14 已知复数 zm(m1)(m22m3)i(mR R)(1)若 z 是实数，求 m 的值；(2)若 z 是纯虚数，求 m 的值；(3)若在复平面 C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围答案答案:(1)z 为实数，m22m30，解得 m3 或 m1.mm10，(2)z 为纯虚数，2解得 m0.m 2m30.(3)z 所对应的点在第四象限，mm10，2解得3m0.m 2m30.