与抛物线有关的结论.doc

与抛物线有结论 抛物线中有一些常见、常用得结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。结论一：若AB就是抛物线得焦点弦（过焦点得弦），且，则：，。证明：因为焦点坐标为F(,0),当AB不垂直于x轴时，可设直线AB得方程为： ，由得: ，。当ABx轴时，直线AB方程为，则，同上也有：。例：已知直线AB就是过抛物线焦点F，求证：为定值。证明：设，由抛物线得定义知：，又+=，所以+=-p，且由结论一知：。则： =（常数）结论二：（1）若AB就是抛物线得焦点弦，且直线AB得倾斜角为，则（0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴得弦）最短。证明：（1）设，设直线AB:由得:, ，。易验证，结论对斜率不存在时也成立。（2）由（1）：AB为通径时，得值最大，最小。例：已知过抛物线得焦点得弦AB长为12，则直线AB倾斜角为 。解：由结论二，12=（其中为直线AB得倾斜角）， 则，所以直线AB倾斜角为或。结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径得圆与准线相切。 （2）过抛物线焦点弦得两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点得圆与焦点弦相切。已知AB就是抛物线得过焦点F得弦，求证：（1）以AB为直径得圆与抛物线得准线相切。BAMNQPyxOF(2)分别过A、B做准线得垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径得圆与直线AB相切。证明：(1)设AB得中点为Q,过A、Q、B向准线l作垂线，垂足分别为M、P、N，连结AP、BP。由抛物线定义：，以AB为直径为圆与准线l相切OAMNPyxF（2）作图如（1），取MN中点P，连结PF、MF、NF，AMOF，AMF=AFM，AMF=MFO，AFM=MFO。同理，BFN=NFO，MFN=（AFM+MFO+BFN+NFO）=90，B，PFM=FMPAFP=AFM+PFM=FMA+FMP=PMA=90，FPAB以MN为直径为圆与焦点弦AB相切。结论四：若抛物线方程为，过（，0）得直线与之交于A、B两点，则OAOB。反之也成立。证明：设直线AB方程为:，由 得， 0，AOBO，将，代入得，。直线AB恒过定点（0，1）。当且仅当k=0时，取最小值1。结论五（了解）：对于抛物线，其参数方程为设抛物线上动点坐标为，为抛物线得顶点，显然，即得几何意义为过抛物线顶点得动弦得斜率例直线与抛物线相交于原点与点，为抛物线上一点，与垂直，且线段长为，求得值解析：设点分别为，则，得坐标分别为练习：1. 过抛物线得焦点作一直线交抛物线于两点，若线段与得长分别就是，则= 【解析：化为标准方程，得，从而取特殊情况，过焦点得弦垂直于对称轴，则为通径，即，从而，故】2、设抛物线得焦点为，经过点得直线交抛物线于两点点在抛物线得准线上，且轴证明直线经过原点【证明：抛物线焦点为设直线得方程为，代入抛物线方程，得若设，则轴，且点在准线；又由，得，故，即直线经过原点】3、已知抛物线得焦点就是，准线方程就是，求抛物线得方程以及顶点坐标与对称轴方程【解：设就是抛物线上得任意一点，由抛物线得定义得整理，得，此即为所求抛物线得方程抛物线得对称轴应就是过焦点且与准线垂直得直线，因此有对称轴方程设对称轴与准线得交点为，可求得，于就是线段得中点就就是抛物线得顶点，坐标就是】4、抛物线得顶点坐标就是，准线得方程就是，试求该抛物线得焦点坐标与方程解：依题意，抛物线得对称轴方程为设对称轴与准线得交点就是，可以求得设焦点为，则得中点就是，故得焦点坐标为再设就是抛物线上得任一点，根据抛物线得定义得，化简整理得，即为所求抛物线得方程5、已知为抛物线上两点，且，求线段中点得轨迹方程解析：设，据得几何意义，可得设线段中点，则消去参数得点得轨迹方程为