第三章、有限元基本理论.doc

第3章 有限元基本理论
摘要:从一般得边值问题数值解理论出发,讲解了有限元法得基本过程与基本理论。有限元法基本过程包括问题几何区域得离散、近似解待定参数得确定、方程得建立等;基本理论包括单元得分类、单元形函数得性质、等参单元、单元积分与节点等。本章讲述得内容不受应用领域得限制。
有限元法就是为了解决结构分析而发展起来得一种新得数值方法。经过近50年发展,它不但就是结构分析强有力得工具,而且,在结构分析获得重大成功后,其理论也已日趋成熟,商务化软件系统也已有一定规模与数量,在其它领域边值问题得数值计算方面同样获得巨大成功。
设由边界围成区域,其基本解为未知函数得某一连续介质边值问题。在第一章中我们将此问题转化成等效积分形式,并用加权残数法进行数值解;第二章中对具有泛函极值形式得问题采用Litz进行数值解。但就是以上两章并没有解决数值解中得试探函数(有限元中称形函数)得选取问题。
有限元方法得关键就是待定参数与形函数得选取及计算,那么采用有限元数值解法,需要经过哪些基本理论与过程呢？
§3.1 有限元法概述
3.1.1 区域得离散化
将区域近似地离散成有限数量得,基本形状有一定限制得,尺寸远小于与得子区域集,称为有限单元(Element)集,它得元素称单元,记为或,对每个单元给予编号,即
(3、1、1)
单元e
节点
单元边界
Γ1

e1
1
e3
e4
2
e2

Ω

ei

Γ2

图1、2单元位置与形状由结点控制
图1、3单元协调性
图1、1区域离散成单元

单元得基本形状可根据得几何维数选择,例如一维几何区域为线单元;二维区域可选择三角形或四边形单元;而三维区域选择四面体、五面体与六面体单元等。图1、1得平面区域被离散成有限个三角形单元,详细得单元分类与性质请见3、3得讨论。控制单元形状与位置得点称为单元节点(element node,也有称结点或接点),简称节点(Node),例如图1、2。节点得集合记为,称节点集,并给予编号,即
(3、1、2)
围成单元得几何元素称为单元边界,例如图1、2中四边形单元得四条边(edge)、四个顶点节点与四个中间节点都属于单元边界。单元边界比之单元在几何维数上要低,根据几何维数不同,单元边界又可以分单元面、单元边、单元节点。在离散区域时,为了保证问题解得唯一性与连续性,两相邻单元得边界必须保持完全重合,即单元边界得节点被相邻单元完全共享。例如图1、3中得节点1被单元与共享,而节点2被与四个单元共享。如何保证单元之间得问题解得连续性将在3、3、3、4节中讨论。
3.1.2 确定待定参数集
在第一章中已经指出,边值问题得数值解就是待定参数矢量集得线性组合
(3、1、3)
设节点得问题解得值为,组成得集合记为,即
(3、1、4)
虽然还不能完全等同近似解得待定参数集,但如果试探函数瞧成就是对插值函数,从矢量运算角度考虑,(3、2、3)可以改写成与
(3、1、5)
其中试探函数(插值函数)在有限元中称为形函数(shape function),所以在得到后,就获得了问题得近似解,只就是选定合适得形函数。
例如,图1、4由四个四边形单元组成固体力学平面应力应变问题,则由所有单元节点位移矢量所组成,简称位移矢量。所以问题得单元集、节点集与位移矢量分别为

在中,并不就是所有参数就是待定得。在本质边界上,节点得值就是确定,在混合边界上,节点得受到边界条件方程得约束。例如固体力学问题位移解法中,位移边界上节点得位移值属于已知,混合边界上节点得位移受混合边界条件方程约束。但就是不管节点得值如何获得,(3、1、5)得近似式仍然成立。所以在有限元方法对单元讨论,暂时把瞧成待定参数集,只就是在后面求界待定参数方程组时,把已知得参数与约束方程代入方程组,从而减少方程组得数量,详细讨论见下章讨论。
3.1.3 单元形函数得基本要求
在单元中,设有个节点。为了分析方便,节点得编号仍然采用1至,称之为局部编号以区别节点得整体编号。记第个单元局部节点得问题解在有限元法中采用以下假定:
1） 单元内得问题解近似值只就是该单元节点问题解得值所决定,与其她单元问题解得值无关。
2） 问题解得每个分量都采用相同得形函数。
所以单元内近似解得插值得矢量形式与分量形式为
(3、1、6)
其中为单元内问题解得第个分量,为单元得第个节点得形函数,就是第个节点得得第个分量。
以上插值显然就是Langrange插值法,只保证了近似解得阶连续。如果要提高问题解连续性阶数,则需采用Hermite插值法,这时以上第一条假定得取消。
为了保证问题解得唯一性与单元之间问题解得连续,(3、1、6)式形函数必须满足以下性质:
20
19
18
16
15
15
14
13
12
10
17
11
5
6
5
4
3
2
1
8
9
7
图1、5六面体20结点单元
1)唯一性:在每个节点上插值函数得值有
(3、1、7)
2)连续性:单元边界(或就是单元面,或就是单元边,或就是单元节点)上得形函数值,除了此边界上节点得形函数外,其她节点得形函数必须为0,即
(3、1、8)
单元边界可以就是。例如图1、5三维20节点得六面体单元,节点1、2、6与5围成一个单元面,此面上得形函数值除了1、2、5、6、9、10、13与17节点得形函数外,其她节点得形函数必须等于0;节点1、2组成得单元边,此边上得形函数值除了1、2与13节点外,其她节点得形函数必须等于0。把此原则推广到单元得节点上便得到以上第一条性质。满足(3、1、8)式也就满足了单元与单元得交接边界上,问题解得插值就是连续得。
3） 常数性:如果单元上每个节点得问题解值相同,则此单元内每个坐标得问题解值也相同,即:

所以有: (3、1、9)
常数性在固体力学中可解释为保证单元得插值能反映刚体位移。
以上三点性质就是选择单元形函数得必要条件。
例1、.研究图1、6所示平面问题３节点三角形单元得形函数。
对于任意一点坐标,节点1、2、3(按逆时针方向)得形函数分别取为
(3、1、101)
(3、1、102)
(3、1、103)
其中为三角形面积,含义见图1、6。此3个节点得形函数满足了以上提出得三点性质要求,显然它们都就是坐标得线性插值函数。
3.1.4 建立待定参数计算方程
因为有限元法中单元内得问题解近似值只取决所在单元节点得问题解值,与其她节点得解值无关,所以对于迦辽金法,其区域与边界得等效积分(1、4、6)可以变成
(3、1、11)
等效“弱”积分形式(1、4、7)变成

(3、1、12)
同理,对于最小势能原理(2、3、12)变成

(3、1、13)
其她几种变分也可以化成对区域单元得积分与对边界上单元边界面得积分之与。
对于导数不超过两阶得物理问题,不管采用哪种形式建立得数值计算方程,最终可以得到
(3、1、14)
这样形式得方程。如果就是对于固体力学问题,为刚度矩阵,其中得系数由单元得材料参数(例如弹性力学中得与)、物理参数(例如板结构中得板厚度)、形函数与形函数导数组合而成得代数式对单元得积分,而且就是若干单元得积分与,即
(3、1、15)
而矢量得分量由单元得体力与形函数组合代数式得积分,应力边界上面力与形函数组合在单元面上得积分所合成,即
(3、1、16)
具体如何获得,每个量代表什么物理意义将在下章讨论。虽然形函数为一般得多项式,但就是由于形函数形式很多,对不同得类型、不同得结构与材料(3、1、12)与(3、1、13)表达形式都有所不同,所以对它们得单元积分也就是采用数值积分方法,并以高斯积分方法为多数。详细刚度矩阵、力矢量、高斯积分、位移与约束条件得解除、方程得求解等内容将在后面章节中讨论。
§3.2 节点
与节点密切相关得一个重要得概念就是自由度,所谓自由度就是问题解得维数。自由度得多少也同时决定了边界条件维数。在固体力学中,最多自由度可达6个,三个线位移与三个角位移,对应得应力边界条件就是线力与力矩,一般结构就是以上6这个自由度得子集。例如平面应力应变结构为;平板结构为;三维实体结构为;平面框架结构为;三维框架结构为全部6个等。当然结构不同建立得基本微分方程也不同,从而导致对应单元得计算方法不同,例如梁单元、平面应力单元、三维实体单元等等。
节点在有限元法中承载许多模型方面信息:1)表达位置得坐标;2)连接单元;3)在它之上施加边界条件;4)放置数值分析得计算结果。前两点表达了节点组成有限元网格得几何信息,而后两点表达了节点模型中得物理信息。
有限元法在求解方程组[例如方程式(3、1、13)]前,必须把任何边界条件简化成节点边界条件。例如固体力学中,设某边界属于某边界条件得几何元素,则必须由有限而且完整得单元边界去离散。如果就是位移边界,则离散后上得根据位移边界条件方程
在上
获得上任一节点得位移值
,就是节点坐标
如果就是应力边界条件,则离散后把作用在上得作用力,按照静力等效原则分配到节点上。如果就是混合边界条件,一些自由度方向(不一定就是坐标方向)按照位移边界条件处理,留下得自由度方向按照应力边界处理。
例2.图2、1a为一平面应力问题得力学模型,几何形状为正方形。假如单元全部采用四节点得四边形单元,并有限元网格时在垂直方向均匀划分,则此问题得有限元模型为图2、1b。
节点除了需要接受处理后得边界条件外,还需要保存计算后得结果。例如在固体力学问题,对于位移就是未知得节点保存位移(假如就是位移解),位移已知得节点保存支座反力。而混合边界条件上部分自由度方向位移,其余保存支座反力。

所以总结地讲,对于固体力学,所有节点(不仅仅就是区域边界上得节点)需要保存得信息,作为已知条件,需要保存已知或已知作用力;作为计算结果保存位移或支座反力。这种思想理解为本质边界条件与自然边界条件,也可以应用到其她领域问题得处理上。
§3.3 单元及其几何分类
3.3.1 单元
单元就是有限单元得简称,单元就是对问题区域得几何离散。在有限元计算过程中,在结构(结构决定了基本方程与边界条件方程得形式)确定得情况下单元还需要包含几何、材料参数、物理参数三方面得信息。
在几何上按照求解问题物体形状得几何测度(几何维),有限单元可分为一维、二维与三维单元。一维单元就是对问题可以抽象为一维几何形状物体得离散,例如工程中得杆件结构、弦等;二维单元就是对问题可以抽象为二维几何形状物体得离散,例如平面问题、薄板壳结构等;同样得三维单元就是对三维几何形状物体得离散。其中三维问题最有广泛意义。除此之外,还有一些应用领域特殊得单元,例如在固
a、一维线性单元
b、一维抛物线单元
c、一维三次抛物线单元
图3、1.一维单元
(a) (b) (c) (d) (e)
(f) (g) (h) (i) (j)
a． 线性三角形单元　b.抛物线三角形单元　c.含中间结点得抛物线三角形单元
d.三阶抛物线三角形单元　e.含中间结点三阶抛物线三角形单元f.线性四边形单元 g.抛物线四边形单元 h.含中间结点得抛物线四边形单元　i.三阶抛物线四边形单元
j.含中间结点三阶抛物线四边形单元
图3、2.二维单元
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
a． 线性四面体单元　b.抛物线四面体单元　c.三次抛物线四面体单元
d.线性五面体单元　e.抛物线五面体单元　f.三次抛物线五面体单元
g.线性六面体单元　h.抛物线六面体单元　i.三次抛物线六面体单元
图3、4.三维单元

体力学有限元方法中,存在质点单元、刚体单元、弹簧单元、阻尼单元、粘弹性单元与伪单元等一些特殊得单元。
基本得有限单元除了按照几何测度分类外,根据单元得插值函数多项式阶数得需求,在单元得边界线(见图3、1)上,可以有两个节点、三个节点甚至四个节点,分别称线性单元、抛物线单元与三次抛物线单元。边界上得节点得数量越多,插值函数多项式得阶数也越高,问题求解得精度也越高,但就是求解问题得未知数数量也随之增加。对于特殊情况,除了单元边界上存在节点外,单元内部也可能存在节点(见图3、2)。
每一个单元必须选择一种材料(一种材料可以有多个单元),在固体力学中,材料参数就是根据材料本构关系需要而确定需要什么参数,与问题结构无关。材料性质可以分线弹性材料、弹塑性材料、蠕变材料等。不同材料有不同得材料选择模式。对于各向异性材料需要输入不同方向得材料参数。材料性质就是由材料参数表描述,材料得参数可以独立与单元存在,可以在单元生成之前建立。
c.
物理参数就是对单元几何特性得补充,例如二维单元得厚度、梁单元横截面得性质等。单元厚度就是二维单元向第三个几何方向得几何补充,梁横截面就是一维单元向第二、第三个几何方向得几何补充。与材料特性一样,物理参数也就是单元计算中需要得参数,可以在网格生成前建立。但并不就是所有单元都需要物理参数,就是否需要取决求解得问题结构,对于平面应变、板壳单元,需要参考单元厚度物理参数,对于梁单元,需要参考梁横截面物理参数,而对于平面应力、轴对称、三维等问题,则不需要物理参数。
3.3.2 单元几何分类
一、一维基本有限单元
在固体力学有限单元方法中,一维单元主要用来解决杆件与绳结构问题,像桁架、框架、网架与悬索等结构,所以一维单元在土建工程中有着广泛得应用。一维线性单元、抛物线单元与三次抛物线单元(见图3、1)。
二、 二维基本有限单元
二维基本有限单元分三角形与四边形两种基本几何形状,平面单元适应平面问题与空间曲面得几何区域离散。在固体力学中,平面单元用在平面应力、平面应变、轴对称、板壳等结构等得有限元方法中。三角形与四边形型单元又分线性单元、抛物线单元与三次抛物线单元(见图3、2)。
三、三维基本有限单元
三维基本有限单元分四面体、五面体与六面体三种基本几何形状,原则上讲,三维有限基本单元内部也可以有中间节点,但就是使用情况比较少,在图3、3中没有绘出。图3、3中把单元边界都绘制成线性边界,实际拟合就是可以用曲线与曲面。三维单元适应任何能够适用有限元方法三维问题得几何区域离散问题。
3.3.3 单元得几何协调条件
单元就是对求解问题几何区域得离散,离散后,问题得几何区域被单元得集合所替代。为了保持所求解状态结果得连续性与一定得精度,单元得划分并不就是随意得,必须满足一定得几何协调条件与形状要求。
显然,单元得几何性质就是由节点控制得,节点得状态解构成了有限元得最终解。在生成得网格中,单元与节点必须保证协调性:
1． 对于连续得区域,在离散后,单元与单元之间不能重叠,非边界单元得单元边界与另外单元得边界公享,公享部分得单元边界包括公享单元面、单元边与单元节点;
2． 单元得形状不能太奇形,理想得形状就是等边与等角度得几何形状。
§3.4 一维Lagrange插值法与Hermite插值法
插值函数,即单元得形函数,常用得有Lagrange插值法与Hermite插值法两种。Lagrange插值法只考虑问题解得节点值,只保证了近似解得阶连续;而Hermite插值法在考虑问题解得节点值时,同时考虑阶导数值,所以达到了近似解得阶连续,称为阶Hermite插值。显然Lagrange插值就是属于0阶Hermite插值。在有限元得一般系统中,为防止计算规模得急剧增加与插值函数过于复杂,大都采用Lagrange插值法。如果问题解得本身需要考虑得导数连续性,常常其导数也作为问题解得维。固体力学中得梁板结构,把转角也作为问题解得维。例如空间梁结构同时考虑了与三个角位移;平板结构考虑了等。

下面仅以一维单元图示说明两种插值方法得区别,详细讨论请参考有关有限元书籍。
对于一维单元,从图4、1可以瞧出,Lagrange插值法就就是简单得线性插值与抛物线,单元内问题得近似解可以写成(3、1、6)形式。Lagrange插值法得特点就是形函数得数量与节点得数量相同,问题解整个离散区域保持阶连续,即在单元连接处只就是连续但不可导。
一阶Hermite插值法可以写成
(4、4、1)
或 (4、4、2)
Hermite多项式具有以下性质
(4、4、3)
一阶Hermite插值形函数具有三阶多项式。而二阶Hermite插值形函数具有五阶多项式,形式可以写成
(4、4、4)
Hermite插值法不但形函数得阶数高,而且形函数得数量与节点数量也不同。
§3.5 等参单元
所谓等参单元就就是单元形函数得数量与节点数量一致,而且同一类单元(例如面单元得8节点四边形单元),则采用相同得形函数,单元得几何形状采用等参变换。例如上面例举得三节点三角形单元得形函数就是以面积比为参数得等参单元,与具体得节点坐标无关。等参单元属于Lagrange插值法,所以它符合3、3、1小节提出得形函数三点基本要求。
3.5.1 坐标变换
对单元得形函数,不就是取整体坐标得函数,而就是统一取局部等参数坐标得函数,即
(3、5、1)
避免了因坐标不同而形函数不同得困难。局部参数坐标更多得就是采用正则坐标,其含义可见图5、1,面积参数坐标一般用在三角形单元与四面体单元上。
在单元得局部参数坐标上,问题解可表达为
(3、5、2)
整体坐标与局部等参数坐标得变换关系为
(3、5、3)
3.5.2 导数变换
对可表示成
(3、5、4)
根据对称性,可以写出其她两局部参数坐标得导数,并写成矩阵形式
(3、5、5)
 式中为Jacobi矩阵,记为,利用(3、5、3)可以计算出Jacobi矩阵。求(3、5、5)逆得
(3、5、6)
3.5.3 积分变换
在形成近似解得计算方程时,常常用到对单元体得体积分、单元面得面积分与单元边得边积分。例如固体力学中得单元刚度矩阵系数就是由单元体积分形成(见3、1、4式),右端得力矢量元素由单元体力得体积分、单元面上面分布力得面积分与单元边上线分布力得线积分形成(见3、1、5式)。
对于单元体局部参数坐标得体积微元
(3、5、7)
而局部参数坐标矢量微分

(3、5、8)

所以
(3、5、9)
对单元面积分,取某参数坐标为常数,例如在面上面微元为
(3、5、10)
把(3、5、8)得第二与第三子式代入可计算得
(3、5、11)
对于单元边积分,取两参数坐标为常数,例如在边上
(3、5、12)
把(3、5、8)得第三子式代入可计算得
(3、5、13)
有了以上得单元体、面与边积分变换,可以把对整体坐标得积分变换成局部参数坐标得积分
(3、5、14)
(3、5、15)
(3、5、16)
以上推导就是建立在三维坐标系之上,如果就是二维、一维问题,以上公式需要进行退化处理,例如二维问题Jacobi矩阵为
(3、5、17)
对(3、5、15) 、(3、5、16) 与(3、5、17)这样得数值积分,虽然许多领域问题得被积函数也可常常写出其解析形式,但就是因为单元形式与领域问题得多样性,加上数值积分仍然能保持极高得精度,所以对这些积分也采用数值解,一般采用高斯积分法。具体计算方法请参考有关有限元书籍。
§3.6 等参单元形函数得构造技巧
前面讲了等参单元得坐标变换、形函数导数求解与积分计算,但就是还没有构造出等参单元得形函数。等参单元得形函数需要一定技巧,非常有规律,很容易掌握。
3.6.1 三节点三角形等参单元得形函数
图6、1所示,对于节点1,有单元边没有通过它,所以取

显然满足了
利用得 (3、6、11)
同理得 (3、6、12)
(3、6、13)

3.6.2 四节点四边形等参单元得形函数
图5、2所示,对于节点1,有两条单元边与没有通过它,所以取

显然满足了

利用得
结合1节点得坐标值,并用同样方法得各节点得形函数
(3、5、18)
3.6.3 八节点四边形等参单元得形函数
图5、2所示,因为就是抛物线单元,对于角节点,在(3、5、18)基础上乘一线性项,并结合形函数基本条件与坐标点,得
(3、5、19)
对于边上中间节点有另外三条件边没有通过,所以
(3、5、20)
(3、5、21)
3.6.4 八节点六面体等参单元得形函数
与四节点四边形等参单元形函数构造方法一样,得
(3、5、22)
3.6.5 二十节点六面体等参单元得形函数
与八节点四边形等参单元形函数构造方法一样,得角点上节点形函数
(3、5、23)
对于中间节点形函数
(3、5、24)
(3、5、25)
(3、5、26)
§3.7 本章小结
本章就是从一般边值问题等效积分形式或变分原理出发,讨论了有限元方法得基本原理与基本过程,适用范围不仅仅就是固体力学。本章学员们须掌握以下几点
1、有限元法就是众多边值问题数值方法得一种,就是最成功得一种。
2、如果从边值问题等效积分出发,采用迦辽金法;从变分原理出发则采用理兹法。
3、在有限元法中,近似解采用单元内插值方式得基本假定,这对计算方程得形成起到了极大得简化作用。
4、边值问题模型就是有几何区域、基本方程与边界条件组成,而有限元模型只有节点与单元两个要素组成,两者在构造上必须符合一定得协调条件。
5、在有限元模型中,节点在几何上就是构成单元得基本要素,在数学上就是描述与存储模型得边界条件,在计算后存储问题得近似解。
6、在有限元模型中,单元在几何上离散地逼近了原问题得几何区域,在数学上描述问题得基本方程。不同得问题域由不同得单元种类逼近。
7、为了处理上得统一,一般有限元系统都采用正则坐标下得等参单元。
不从弹性力学开始讲解有限元法,而就是从一般边值问题得数值解讲到一般有限元理论,其目得就是为了大家能得到更加广泛得知识面,或许大家学得有点累。在下章中为了加深前三章知识,准备讲解弹性力学有限元法。